Тема: Понятие высказывания. Основные логические операции. Высказывания и высказывательные формы Высказывание — это любое предложение какого-либо языка (утверждение), содержание которого можно определить как истинное или ложное. Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может. Примеры высказываний: • 1) {Город Вашингтон — столица США} (истинное высказывание); • 2) {Число 2 является делителем числа 7} (ложное высказывание); • 3) {3 + 5 = 2 4} (истинное высказывание); • 4) {2 + б > 10} (ложное высказывание); • 5) {II + VI > VIII} (ложное высказывание); • 6) {Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8} (ложное высказывание); • 7) {Two plus six is eight} (истинное высказывание); • 8) {Na — металл} (истинное высказывание). Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием. Если это условие не выполняется, высказывание называется сложным. Они обозначаются заглавными латинскими буквами: А = {Аристотель — основоположник логики}. В = {На яблонях растут бананы}. Примеры сложных высказываний: 1) {В автобусе можно доехать до школы и почитать журнал}; 2) {Число 376 четно или двузначно}; 3) {Неверно, что Солнце движется вокруг Земли}; 4) {Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3}. А = {Аристотель — основоположник логики}. В = {На яблонях растут бананы}. Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0. Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180 градусам» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным. Логические операции Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.(логическое умножение) Таблица истинности конъюнкции A B AB 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум элементарным высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно. (логическое сложение) Таблица истинности дизъюнкции A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 1 1 1 Строгая дизъюнкция (двойное «или»), которой в естественном языке соответствует связка «либо..., либо...»). A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 1 1 0 Импликация — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно (логическое следование). Таблица истинности импликации A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 1 1 0 1 Эквиваленция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. (равнозначность) Таблица истинности эквиваленции A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 1 0 0 1 Отрицание — это логическая операция, которая каждому данному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, которое истинно, если данное высказывание ложно, и ложно, если данное высказывание истинно. (инверсия) Таблица истинности отрицания A А 0 1 1 0 Логические операции имеют следующий приоритет: действия в скобках, отрицание, , v, =>,<=>.