Тождественно истинные

Тождественно истинные,
тождественно ложные и
эквивалентные
высказывания
Если высказывание истинно при всех значениях входящих
в него переменных, то такое высказывание называется
тождественно истинным или тавтологией
(обозначается константой 1).
Например, высказывание
Демократ — это человек, исповедующий демократические
убеждения всегда истинно, т. е. является тавтологией.
Прогноз погоды на завтра может быть, например, таким:
Дождь будет или дождя не будет.
Такое предсказание будет всегда истинным, хотя вряд ли кого
устроит. Его математическая запись:
A v ¬А
Проверить, является ли сложное высказывание тождественно
истинным, можно по таблице истинности.
Мы видим, что во многих случаях, когда трудно установить, верно ли мы
рассуждаем, всегда ли будет истинно наше утверждение, удобно применять
средства математической логики.
Если высказывание ложно при всех значениях
входящих в него переменных, то такое
высказывание называется тождественно
ложным (обозначается константой 0).
Например, высказывание
Сегодня среда, а это — второй день недели
является тождественно ложным.
Тождественно ложным является и следующее высказывание
Компьютер включен, и компьютер не включен
(выключен )
Его математическая запись:
A /\ ¬А
Если значения сложных высказываний совпадают на всех
возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие
высказывания называют равносильными, или
тождественными, или эквивалентными.
Равносильность высказываний А и В записывается с помощью знака
равенства (=):
А=В.
Высказывания А и В равносильны (А = В) тогда и только тогда, когда их
эквивалентность А <=> В является тождественно истинным высказыванием.
В качестве примера рассмотрим два высказывания:
,
X = Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от
него.
X=¬(А /\ В).
Y = Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.
Y=¬А v ¬ В).
Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных
высказываний Х и У, достаточно построить их таблицы истинности.
Объединим эти две таблицы в одну:
1
А
2
¬А
(1)
В
0
0
1
1
3
0
1
0
1
4
¬В
(2)
1
1
0
0
5
А&В
(1)&(2)
1
0
1
0
0
0
0
1
6
X= ¬(А&В)
(5)
1
1
1
0
7
Y= ¬А v ¬В
(3)v(4)
1
1
1
0
8
Х Y
(6) (7)
1
1
1
1
Существуют два варианта рассуждений:
1. Так как значения сложных высказываний X (5-й столбец) и Y (6-й
столбец) совпадают на всех возможных наборах значений входящих в
них переменных, то по определению X равносильно Y.
2. Так как 8-й столбец содержит одни единицы, то эквивалентность X
и Y тождественно истинна, значит Х и Y равносильны.