Повторные независимые испытания. Формула Бернулли Повторные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в каждом испытании не зависит от реализации исходов в предыдущих испытаниях. Рассмотрим испытания с двумя возможными исходами А и А, где А означает, скажем, «успех», а А − «неудачу», причем в каждому испытании вероятность p успеха и вероятность q = 1 – p неудачи постоянны. Серия независимых испытаний называется схемой испытаний Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода А и А, и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний. Если же произведено n испытаний, то получим 2𝑛 возможных исходов. Итак, пространство элементарных событий в n испытаниях имеет 2𝑛 точек, являющихся последовательностями, состоящими из n комбинаций символов А и А, например АААА… АА. Каждая такая последовательность представляет собой один возможный исход составного события. Поскольку испытания независимы, то вероятности перемножаются, т.е. для события АААА… АА имеем Р(АААА… АА) = qppq…pq. Обозначим через 𝑃𝑛 𝑚 вероятность появления 𝑚 раз события А успех в серии из n независимых испытаний. p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи. 𝑚 𝑚 𝑛−𝑚 𝑃𝑛 𝑚 = 𝐶 ∗ 𝑝 ∗𝑞 𝑛 где 𝑚 𝐶𝑛 = 𝑛! 𝑚!∗ 𝑛 −𝑚 ! q=1-p В самом деле, вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз и, следовательно, не появится n-m раз равна 𝑝𝑚 ∗ 𝑞 𝑛−𝑚 . Но событие А может наступить при любом m из n возможных испытаний. Так как число возможных комбинаций m элементов из n равно 𝐶 𝑚 , то по формуле 𝑃 𝐴 + 𝐵 = 𝑛 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 искомая вероятность 𝑃𝑛 𝑚 = 𝑚 ∗ 𝑞 𝑛−𝑚 . 𝐶𝑚 ∗ 𝑝 𝑛 Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события. Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. p = 0.75 q = 0.25 m=3 n=6 Для поиска вероятности воспользуемся формулой 𝑚 ∗ 𝑞 𝑛−𝑚 Бернулли 𝑃𝑛 𝑚 = 𝐶 𝑚 ∗ 𝑝 𝑛 𝑃6 3 = 𝐶 36 ∗ 0.753 ∗ 0.256−3 = 0.13 Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.3. Найти вероятность двух попаданий при пяти выстрелах. p = 0.3 q = 0.7 m=2 n=5 Стрельба по мишени есть последовательность независимых испытаний (выстрелов). Тогда по формуле Бернулли расчитаем вероятность: 𝑃5 2 = 2 𝐶5 ∗ 0.752 ∗ 0.255−2 = 0.308