График функции y=f(x + t)

Функции у = sin x, у= соs, их свойства
Преобразование графиков
тригонометрических функций путем
параллельного переноса
Преобразование графиков
тригонометрических функций путем
сжатия и расширения
Практическое применение
преобразований графиков
тригонометрических функций
Графиком функции у = sin x является синусоида
Свойства функции:
1. D(y) =R
2. Периодическая (Т=2p)
3. Нечетная (sin(-x)=-sin x)
4. Нули функции:
у=0, sin x=0
при х = pn, nZ
y=sin x
2
5. Промежутки знакопостоянства:
У>0 при х  (0+2pn; p+2pn), nZ
У<0 при x  (-p+2pn; 0+2pn), nZ
y = sin x
3
6. Промежутки монотонности:
функция возрастает на
промежутках
вида: [-p/2+2pn; p/2+2pn], nZ
y = sin x
Промежутки монотонности:
функция убывает на
промежутках
вида: [p/2+2pn; 3p/2+2pn], nZ
4
7. Точки экстремума:
Хмах= p/2 +2pn, nZ
Хмin= -p/2 +2pn, nZ
y=sin x
8. Область значений:
Е(у) = [-1;1]
5
Найти наименьшее и наибольшее значения
функции y  sin x на заданном промежутке
(- 3π/2; 3π/4 )
y  sin x
унаим= - 1
унаиб= 1
Найти наименьшее и наибольшее значения
функции y  sin x на заданном промежутке
(- π; π/3 ]
y  sin x
унаим= - 1
унаиб= √3/2
Преобразование: y = sin(x + t)
сдвиг у=f(x) по оси х влево, t > 0
y
1
p
t
-1
x
p
Преобразование: y = sin(x + t)
сдвиг у=f(x) по оси х вправо, t < 0
y
1
t
-1
p
x
p
Построить график функции
p

y  sin  x  
4

y  sin x
Параллельный перенос графика вдоль
оси Ох
График функции y = f(x + t)
получается параллельным
переносом графика функции y=f(x)
по оси х на |t| единиц масштаба
влево, если t > 0
и вправо, если t < 0.
Преобразование: y = sinx + m
Сдвиг у= sinx по оси y вверх, m > 0
y
m
1
-1
x
p
p
Преобразование: y = sinx + m
Сдвиг у= sinx по оси y вниз, m < 0
y
1
p
-1
m
x
p
Построить график функции
y  sin x  1
y  sin x
Параллельный
перенос графика
вдоль оси Оу
График функции y=f(x)+m
получается параллельным
переносом графика функции y=f(x),
вверх на m единиц, если m>0,
или вниз, если m<0.
Построить график функции
p

y  sin  x    1
3

p

y  sin  x  
3

y  sin x
Вывод:
График функции y=f(x + t) + m
может быть получен из графика
функции y=f(x) с помощью двух
последовательных сдвигов
на t единиц вдоль оси Ох и на m
единиц вдоль оси Оу.
Преобразование графиков
тригонометрических функций путем
сжатия и растяжения
График функции у =k f (x) получается из графика
функции у = f(x) путем его растяжения в k раз
(при k>1) вдоль оси ординат
График функции у = k f (x) получается из
графика функции у = f(x) путем его сжатия в k
раз (при 0<k<1) вдоль оси ординат
18
Построить график функции
y  2 sin x
y  sin x
y  0,5 sin x
Преобразование графиков
тригонометрических функций
путем сжатия и растяжения
График функции у = f (kx) получается из
графика функции у = f(x) путем его сжатия в
k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс
График функции у = f (kx) получается из
графика функции у = f(x) путем его
растяжения в k раз (при 0<k<1) вдоль оси
абсцисс
20
Построить график функции
y = cosx
y = cos2x
y = cos 0,5x
Графики функций у = -f (x) получаются
из графиков функций
у = f(x) путем их зеркального
отображения относительно оси абсцисс
синус – функция нечетная,
поэтому sin(-kx) = - sin (kx)
косинус –функция четная,
значит cos(-kx) = cos(kx)
22
y
y  cos x
y  х 1
1
 2p  3p  p
2
p

2
-1
x=0
x
p
2
cosx =1+ x
у
p
3p
2
2p
y
y  cos x 1
yx
x=0
2
1
 2p  3p  p
2
p

2
-1
x
p
2
p
cosx – 1 =
у
2
x
3p
2
2p
y
y  sin x
y  x 1
x  [0;  )
1
 2p  3p  p
2
p

2
-1
sinx <
у
x
p
2
p
3p
2
x +1
2p
p
cos (x  ) +0,5 =
2
x
p
2
y
p

2
 2p
т
3p

2
1
p
-1
p
2
5p p
6
x
3p
2
2p
p
2
1

sin(x
)<–
3
2
5p p


6
2
 2p
т
3p

2
y
1
7p
6
p
-1
p
2
p
x
3p
2
2p
Умение строить графики нам нужны при …
 решении уравнений;
 решении неравенств;
 решении заданий, связанных с исследованием
свойств функций.