(81.2 КБ)

реклама
Собственные
векторы
Собственные векторы
х – собственный вектор
Оператора f, если
f(x)=kx
матрицы оператора в некотором базисе,
если
Ax=kx
k – собственное число
Свойства собственных векторов
• 1. Собственный вектор имеет единственное
собственное число.
• 2. Если x: fx=kx, то f(sx)=k(sx).
• 3. Если x1, x2 - линейно-независимые и :
fx1=kx1 , fx2=kx2, то f(x1 + x2)=k(x1 + x2).
• 4. Если fx1=k1x1 , fx2=k2x2,
, то x1 и x2 –
линейно-независимые векторы.
Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор
f комплексного линейного пространства имел
собственный вектор с собственным числом k 
k – корень характеристического уравнения f.
Опр. Собственные числа линейного оператора –
собственные числа матрицы этого
оператора.
Простое собственное число, m-кратное
Пример. Найти собственные числа собственных
векторов оператора f, заданного в некотором базисе
матрицей
Характеристическое уравнение оператора
или
.
Характеристические числа
являются собственными числами собственных векторов
Теорема 2. Пусть в n-мерном
пространстве оператор f задан матрицей
A, k – собственное число оператора f.
Если r=rang (A-λE), то n-r линейнонезависимых собственных векторов
оператора f с собственным числом k.
Пример. Найти собственные векторы линейного оператора f,
заданного в некотором базисе матрицей
• Характеристическое уравнение оператора
корни этого уравнения:
• Все корни – собственные числа.
• Найдем собственный вектор, отвечающий
как решение ОСЛУ
• Собственный корень
• Аналогично собственный вектор, отвечающий
Скачать