Теорема Виета Секция «Созидательная сила великих открытий в математике»

Теорема Виета
Секция «Созидательная сила великих открытий в математике»
Автор:
Плющев Иван Олегович
9 а класс
МБОУ СОШ №12
Руководитель:
Прокофьева Тамара Александровна
учитель математики
1 квалификационной категории
МБОУ СОШ №12
изучить биографию Франсуа Виета;
изучить подробности его великого открытия в
области математики;
разобраться с формулировками теоремы Виета;
сделать подборку задач, в которых
используется теорема Виета;
найти задачи с параметрами, в которых удобно
использовать теорему Виета;
посмотреть задачи ЕГЭ, в которых может быть
использована теорема;
попробовать весь найденный материал
привести в определенную систему.
Теорема
Виета
Знаменитая теорема,
устанавливающая связь
коэффициентов многочлена с
его корнями, была
обнародована в 1591 году.
Теперь она носит имя Виета.
Сам автор формулировал её
так: «Если B+D, умноженное на
А, минус А в квадрате равно BD,
то А равно В и рано D».
Теорема Виета.
Если числа
х1
и х2
- есть корни квадратного уравнения
ах 2  вх  с  0,
то для них выполнены равенства
х1  х2  
х1  х2 
Доказательство.
Пусть
х1
с
.
а
в
,
а
х2
и
являются корнями квадратного уравнения, т. е.
х1, 2 
в
D
,
2а
тогда вычислим сумму и произведение корней:
х1  х2 
х1  х2
в
D
в D
в


2а
2а

в D в D
в2 
D



2
2а
2а
4а
Теорема доказана.

2


D в
2а

D

в
,
а
в2  D
в 2  в 2  4ас
4ас
с



.
2
2
2
4a
4а
4а
а
Обобщенная теорема Виета.
х1
Для того чтобы
и
х2
были корнями уравнения
ах2  вх  с  0
необходимо и достаточно выполнения равенств
х1  х 2  
в
а
и
х1  х 2 
с
а
.
Из теоремы Виета при
а 1
следует утверждение для корней приведенного квадратного уравнения.
В этом случае обратная теорема часто используется для устного подбора корней уравнения.
Теорема Виета для кубического уравнения
х1 , х 2 , х3
Пусть
корни уравнения
ах  вх  сх  d  0
3
а0
2
,
тогда
в

 х1  х2  х3   а ,

с

 х1 х2  х1 х3  х2 х3  ,
а

d

 х1 х2 х3   а .

Теорема Виета для уравнения четвертой степени.
Пусть
х1 , х2 , х3 , х4
- корни уравнения
ах 4  вх 3  сх 2  dх  т  0,
а  0,
тогда
в

 х1  х2  х3  х4   а ,

х х  х х  х х  х х  х х  х х  с ,
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
 1 2
а

х х х  х х х  х х х  х х х   d ,
1 2 4
1 3 4
2 3 4
 1 2 3
а

т
 х1 х2 х3 х4  .
а

Теорема Виета для алгебраического уравнения п степени.
Пусть
х1 , х 2 ,..., х n
- корни уравнения
аn x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  0,
ап  0
, тогда
an 1

x

x

...

x


,
2
n
 1
an

an  2

x
x

x
x

...

x
x

,
1 3
n 1 n
 1 2
an


an 3
x
x
x

x
x
x

...

x
x
x


,
 1 2 3
1 2 4
n  2 n 1 n
an

......................................................

 x x x ...x x   1n a0 .
n 1 n
 1 2 3
an


Зависимость между коэффициентами и корнями уравнения
авс0
х1  1
Решить уравнение
и
, тогда
х2 
с
а
132 х 2  247 х  115  0
132  247
 115  0,
,
х1  1, х2 
.
115
132
авс0
х1  1
и
, тогда
х2 
с
а
Решить уравнение
345 х 2  137 х  208  0
345  137  208
,  0,
х1  1, х2 
.
208
345
Задача
Дано квадратное уравнение
x 2  px  q  0
Составить квадратное уравнение, корни которого втрое больше корней данного уравнения.
Решение. Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения.
По теореме Виета
x1  x2   p
и
x1  x 2  q
.
По условию корни искомого уравнения равны
y1  3x1
и
y 2  3x 2
Отсюда
y1  y 2  3 x1  x2   3 p
и
y1  y 2  9 x1 x2  9q
По теореме, обратной теореме Виета получаем
x 2  3 px  9q  0
Ответ.
x 2  3 px  9q  0
Задача с параметром
При каком значении параметра т три действительных корня уравнения х  9 х  25 х  т  0
образуют возрастающую арифметическую прогрессию?
3
2
Решение. Пусть а – первый член арифметической прогрессии, с– разность арифметической прогрессии,
с0
По формулам Виета
а  а  с   а  2с   9,

аа  с   а  с а  2с   аа  2с   25,
аа  с а  2с   т;

а  с  3,

2
2
3а  с   с  25;
а  с  3,
 2
2
3а  6ас  2с  25;
с 2  2.
отсюда
с0
По условию
с
2
,
, тогда
а 3
2
m  aa  c a  2c   21.
Ответ. 21.
.
•
С помощью теоремы Виета можно решать задачи следующего
содержания:
подбирать устно целые корни приведенного квадратного
уравнения;
проверять с помощью обобщенной теоремы Виета полученные
корни квадратных уравнений при , не подставляя их в
исходное уравнение;
используя зависимости между коэффициентами, подбирать
устно корни уравнений с большими коэффициентами,
дающими громоздкие вычисления с помощью дискриминанта;
различные задачи на зависимость между коэффициентами и
корнями уравнений;
исследовательские задачи с параметрами;
задания из разных разделов алгебры и геометрии,
первоначально не связанных с решением уравнений;
задания из математических олимпиад по теме «Многочлены» и
«Алгебраические уравнения»;