Повторение алгебры в 11 классе (подготовка к ЕГЭ) Учитель Богдашкина В.А. С. Троицкое, 2012 год Создания условий для осознанного решения тригонометрических уравнений. Формирование взаимоконтроля. навыков усвоения самоконтроля и Развитие устной математической речи. Обеспечение условий для развития умения решать тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников: сравнивать, обобщать и анализировать Устный счет у П/2 П 0 рад 0 3п/2 х - П/2 Sin x = 1 cos x = 0 sin x = - 1 tg x = 0 cos x = 1 ctg x =0 sin x = ½ cos x =√3/2 sin x = - √3/2 cos x = -1/2 Уравнения , приводимые уравнениям Однородные уравнения Разложение на множители Замена переменной Метод вспомогательного угла Понижение степеней к квадратным Определите вид уравнения и укажите способ его решения: а) sin x = 2 cos x; б) sin x + cos x = 0; в) 4 cos 3x + 5 sin 3x = 0; г) 1 +7 cos²x + 3 sin²x = 0; д) sin 3x – cos 3x = 0; е) sin x cos x + cos²x = 0 sin²x - cos²x = cos4x sin²x-cos²x =cos4x , - (cos² - sin²x )=cos4x , -cos2x = cos²2x - sin²2x, -cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x), -cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0, -2cos²2x – cos2x +1 = 0, 2cos²2x + cos2x -1 = 0. Заменим сos2x на У , где |У|1 Тогда 2 у² +у -1 = 0, D =1 - 4•2•(-1) =9, У =1/ 2, у = -1. Выполним обратную замену Cos2x =1/ 2 , 2x =±arccos1/2 =2Пn , n € Z, 2x ±П/3 +2Пn. n € Z, X =±П/6+Пn, n € Z. cos2x = -1, 2x = П+2Пn, n € Z, x=П/2+Пn, n € Z. Ответ: X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n € Z. a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0. При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются. аsin²x+ bsinx cosx + ccos²x= 0 где а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠0. если в этом уравнении есть одночлен аsin²x, то делим уравнение на cos²x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0). b sin x cos x + c cos²x = 0 , где b ≠ 0, с ≠0. (т.е. в уравнении нет одночлена a sin²x), то уравнение решается путем разложения на множители. Решение простейших уравнений Решим уравнение sin x cos x 0 6 6 Уравнение однородное, так как степени слагаемых, содержащих переменные одинаковые (1;0) a sin x b cos x c 4 sin x 3 cos x 5. Решить уравнение 4 sin x 3 cos x 5. Здесь a 4, b 3, c 5, a 2 b2 5 Поделим обе части уравнения на 5: 4 3 sin x cos x 1. 5 5 4 cos, Введем вспомогательный аргумент , такой, что уравнение можно записать в виде 5 3 sin . Исходное 5 sin x cos cos x sin , 1 sin( x , ) 1 4 4 откуда x 2n, где arccos , x arccos 2n, n Z 2 5 2 5 Ответ: x 4 arccos 2n, n . 2 5 3sin²x+sinx cos x=2cos²x Делим на sin²x обе части уравнения 3+cosx/ sinx=2cos²x/sin²x Известно ,что ctg x= cos x/sin x Получим 3+ctgx=2ctg²x Пусть a=ctg x 3+a=2a² 2a²-a-3=0 a1=1,5 a2=-1 Получим ctg x=1,5 ctg x=-1 X=arcctg1,5+Пn x=3П/4+Пm 2(1+tgx) - 3 =5 1+tgx Пусть y=1+tgx 2y - 3 =5 Y 2y²-3=5y y≠0 2y²-5y-3=0 y1=3 , y2=-0,5 1+tgx=3 1+tgx=-0,5 tgx=2 tgx=-1,5 X 1=arctg2+Пn x 2=-arctg1,5+Пk 4sin²x-sin2x=0 4sin²x-2sinx cosx=0 2sinx(2sinx-cosx)=0 Sinx=0 или 2sinx-cosx=0 x1=Пn 2sinx-cosx=0 sinx sinx 2-ctgx=0 ctgx=2 X2=arcctg2+Пk Cos3x+sin3x=1 √A²+B²=√1²+1²=√2 Делим обе части уравнения на √2 1 cos3x+1 sin3x=1 √2 √2 √2 Пусть cosφ=1/√2 , sinφ=1/√2,φ=П/4 cosφ cos3x+sinφ sin3x=1/√2 Cos(3x-φ)=1/√2 3x-φ=±П/4+2Пn 3x=±П/4+φ+2Пn, X=±П/12+П/12+2Пn/3 4 4 Sin x+cos x=1/2 (Sin²x)²+(cos²x)²=1/2 Известно,что sin²(x/2)=1-cosx, cos²(x/2)= 2 =1+cosx 2 1-cos2x ²+ 1+cos 2x ² =1 2 2 2 1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=2 2cos²x=0 cosx=0 X=П/2+Пn - учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 классы» под редакцией А.Г. Мордковича - интернет-ресурсы