1 - stanuprofi.ru

ЛОГИКА В ИНФОРМАТИКЕ.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ
ЛОГИКУ
ЛОГИКА
(ОТ ДР.ГРЕЧЕСКОГО
ΛΟΓΟΣ — МЫСЛЬ)
— НАУКА О ЗАКОНАХ
ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО
МЫШЛЕНИЯ

Пример логической задачи: Пока трое
мудрецов спали под деревом, озорной
ребенок покрасил их головы в красный
цвет. Проснувшись, каждый мудрец
обнаружил дело рук ребенка на головах
своих друзей. Естественно они начали
смеяться. Внезапно один замолчал.
Почему?
Логика, развиваемая с помощью
математических методов,
получила название математической
логики.
 Эта наука исследует соотношения
между основными понятиями
математики, на основе которых
доказывается истинность
математических утверждений.

Формы мышления
◦ Понятия (например, треугольник,
компьютер). Понятие фиксирует основные,
существенные признаки объекта.
◦ Простые высказывания – суждения,
выраженные в форме повествовательных
предложений. Высказывание может быть
либо истинно, либо ложно.

Простому высказыванию поставим в соответствие логическую
переменную Х (У, Z), которая принимает значение 1, если
высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно.
Например:
«Два умножить на два равно четырем»
- истинное высказывание, ему
соответствует значение логической
переменной 1: Х=1.
 « Два умножить на два равно пяти» ложное высказывание, ему
соответствует значение логической
переменной 0: У=0.

Сложные высказывания
Высказывание, состоящее из
нескольких простых высказываний,
которые связаны с помощью
логических союзов «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ,
ТО» и др., является сложным.
 Пример: Солнце встало (Х), и птицы
запели (У).

Логические выражения и
логические операции



Джордж Буль
(1815-1864)
английский
математик и логик
Логическое выражение можно
рассматривать как логическую функцию,
аргументами которой являются
логические переменные.
Функция и аргументы могут принимать
только два значения: «истина» или
«ложь» – 0 или 1.
Функции такого вида называются
булевыми по имени Джорджа Буля (18151864).
Унарные функции (операции)


Унарные функции имеют один аргумент.
Отрицание - логическая операция инверсии
(логическое «НЕТ», «противоположное»
исходному. Обозначается X или Х, читается «не
X».
Таблицы истинности:
X
0
1
X
1
0
ЛОЖЬ = 0, ИСТИНА = 1 или
X
ЛОЖЬ
ИСТИНА
X
ИСТИНА
ЛОЖЬ
Бинарные функции
Бинарные функции имеют два аргумента

Дизъюнкция (логическое «ИЛИ», логическое
сложение) - логическая операция по своему
применению максимально приближённая к союзу «или»
в смысле «или то, или это, или оба сразу».
 Обозначается X  Y (или X  Y), читается « X или Y».
Таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
1
1
1
Бинарные функции
продолжение

Конъюнкция (логическое "И", логическое
умножение) - логическая операция, по своему применению

максимально приближённая к союзу "и". Обозначается X  Y
(или X  Y, X & Y), читается « X и Y», таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
0
0
1
Бинарные функции
продолжение

Штрих Шеффера (операция И-НЕ) — обозначается
X | Y, таблица значений:
X
0
0
1
1
Генри Морис
Шеффер
(1882 — 1964)
американский
логик
Y
0
1
0
1
X|Y
1
1
1
0
Штрих Шеффера можно выразить через отрицание и
конъюнкцию: X | Y =  (X  Y)
Чтобы это показать, построим таблицу для конъюнкции и
инвентируем результат:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
0
0
1
 (X  Y)
1
1
1
0
Бинарные функции
продолжение

Стрелка Пирса (операция ИЛИ-НЕ) — означает «ни X,
ни Y», обозначается X ↓ Y, таблица значений:
X
0
0
1
1
Чарльз
Сандерс Пирс
(1839 — 1914),
американский
философ, логик,
математик.
Y
0
1
0
1
X↓Y
1
0
0
0
Стрелку Пирса можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:
X ↓ Y =  (X  Y)
Чтобы это показать, построим таблицу для дизъюнкции и
инвентируем результат:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
1
1
1
 (X  Y)
1
0
0
0
Бинарные функции
продолжение

Импликация (implication (англ.) - следствие,
вывод) - логическая операция, по своему применению
приближенная к союзам «если… то…». Обозначается X  Y (или
X  Y), таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
1
1
0
1
Пример: если фигура А квадрат, то фигура А — прямоугольник
Бинарные функции
продолжение

Эквивалентность — логическая операция.
Обозначается X ≡ Y (или X ↔ Y), означает «X то
же самое, что Y», «X эквивалентен Y», «X тогда
и только тогда, когда Y». Таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
X≡Y
1
0
0
1
Все названные бинарные
функции можно представить в
одной таблице

X
Тождественная
единица, тождественная истина,
Y
0
XY XY X|Y X↓Y XY X≡Y
тождественное "ДА". Таблица истинности:
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
Есть и другие бинарные операции. Всего бинарных операций - 16.
Тернарные функции

Функция трёх аргументов Fm = Fm(X,Y,Z) - широко известная
мажоритарная функция. Мажоритарная функция
(отображающая большинство) Fm принимает значение
«истина», в тех случаях, когда два или три её аргумента
истинны. Иными словами, таблица истинности функции
отражает торжество большинства единиц.
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
Fm
0
0
0
1
0
1
1
1
Алгебра логики
СВОЙСТВО
ДЛЯ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
АНАЛОГИЯ ДЛЯ ОПЕРАЦИЙ С ЧИСЛАМИ
коммутативность
(переместительный закон)
XY=YX
XY=YX
a+b=b+a
ab = ba
ассоциативность (сочетательный
закон)
(X  Y)  Z= X  (Y  Z)
(X  Y)  Z= X  (Y  Z)
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
дистрибутивность
(распределительный закон)
X  (Y Z) =(XY) 
(XZ)
a(b + c) = ab + ac
закон двойного отрицания
Х=Х
-(-a) = a
закон исключения третьего
Х  Х = 1
законы де Моргана (общая
инверсия )
 (X  Y) = Х  Y
 (X  Y) = Х   Y
Закон непротиворечия
Х  Х = 0
Правила исключения констант:
1) Для логического сложения,
2) Для логического умножения.
Х  1 = 1, Х  0 = X
Х 1 = Х, Х  0 = 0
Раскрытие импликации
X→Y=XY
Раскрытие эквивалентности
X↔Y=(XY)(XY)
Законы легко проверяются с помощью
таблиц истинности для обеих частей
равенств на всех наборах переменных.

Пример:
законы де Моргана можно проверить, построив таблицу значений для:
 (X  Y), Х  Y,  (X  Y), Х   Y
Огастес де
Морган
(1806-1871),
шотландский
математик и
логик.
X
Y
(XY)=X↓Y
X
Y
Х  Y
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
X
Y
(XY)=X|Y
X
Y
Х  Y
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Приоритет логических операций
Пример.
¬АВСD
=
(( ¬ А)  В)  (С  D).
-A  B+C  D
=
((- A)  B) + (C  D)
приоритет для операций с
приоритет логических операций
числами
1) инверсия
1) отрицание
2) конъюнкция
2) умножение
3) дизъюнкция
3) сложение
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для
изменения порядка действий используются скобки.
Решение логических задач с
помощью теории булевых
функций
Условия логической задачи следует записать в виде логической
функции.
 Далее упрощают полученную формулу, что приводит к ответу.
 Пример: На кафедре биофизики в каждой из двух аудиторий
может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет
физики. На дверях аудиторий студенты-шутники повесили
таблички, про которые известно, что либо они обе истинны,
либо ложны. На первой аудитории повесили табличку « По
крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается
кабинет информатики», а на второй аудитории – табличку с
надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории».
Определите, какой кабинет размещается в каждой из
аудиторий.

Переведем условие задачи на язык алгебры логики.
 Так как в каждой из аудиторий может находиться
кабинет информатики, то пусть:
 А – « В первой аудитории находится кабинет
информатики»
 В – « Во второй аудитории находится кабинет
информатики»
 Отрицания этих высказываний:
  А – « В первой аудитории находится кабинет
физики»
  B – « Во второй аудитории находится кабинет
физики»


Высказывания на табличках:

На первой двери – « По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается
кабинет информатики», соответствует логическому выражению:

Х=АВ

На второй двери - «Кабинет физики находится в другой аудитории»:

У= А

Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на табличках
одновременно истинные, соответствуют функции эквивалентности:

(Х ↔ У) = 1

Раскроем функцию эквивалентности:

(ХУ )  ( ХУ) = 1

Подставим вместо Х и У соответствующие им выражения:

((АВ) А )  ( (АВ)А) = 1

Упростим первую и вторую части выражения отдельно:

(АВ) А =( А А)  ( В А) , в соответствии с правилом дистрибутивности.

В соответствии с законом непротиворечия:

( А А)  ( В А) = 0 ( В А)

В соответствии с правилом исключения констант:

0 (В А) = ( В А)

В соответствии с законом Де Моргана и законом двойного отрицания:

( (АВ)А) = (АВА) = (А  А В)

В соответствии с законом непротиворечия:

(А  А В) = (0 В) = 0

В результате преобразования первого и второго слагаемых получаем:

( В А)  0 = 1

В соответствии с правилом исключения констант:

( В А) = 1

Что означает, что справедливы следующие высказывания:

В – « Во второй аудитории находится кабинет информатики»,

 А – « В первой аудитории находится кабинет физики».
Логические
схемы
Компьютеры выполняют программы (или алгоритмы). При

выполнении программы логические элементы компьютера
оперируют с сигналами, представляющими собой
электрические импульсы. На вход логического элемента
поступают сигналы – аргументы, на выходе появляются
сигналы-функции.
 Любая логическая функция может быть представлена в виде
комбинации трёх базовых, поэтому логические схемы
компьютера, производящие обработку или хранение
информации, могут быть собраны из базовых логических
элементов, как из кирпичиков.
•«Кирпичик» - ВЕНТИЛЬ
Базовые логические элементы реализуют три
базовые логические операции:



Логический элемент «И»(конъюнктор) – логическое
умножение;
Логический элемент «ИЛИ»(дизъюнктор) –
логическое сложение;
Логический элемент «НЕ» (инвертор) – инверсию.
дизъюнктор
XY
конъюнктор
XY
инвертор
X
Пример: Схемы, выполняющие бинарные функции,
изображены в таблице:
дизъюнктор
XY

конъюнктор
XY
штрих Шеффера
 (X  Y)
стрелка Пирса
 (X  Y)
В компьютерах первого поколения логические схемы делали на
электронных лампах, в компьютерах второго поколения - на
транзисторах, сейчас для создания логических схем используют
большие интегральные схемы.
Рассмотрим подробнее принцип
работы логического элемента «И»
(Рис. 1.1):
На входы Х1 и Х2 логического элемента подаются четыре пары
сигналов, а на выходе получается последовательность из четырёх
сигналов, значения которых определяются в соответствии с
таблицей истинности операции логического умножения.
Пример. Построить
логическую схему
соответствующую
логическому выражению
AvBA
Правило построения логических
схем.
1) Определить число логических
переменных.
2) Определить количество базовых
логических операций и их порядок
3) Изобразить для каждой логической
операции соответствующий ей
вентиль.
4) Соединить вентили в порядке
выполнения логических операций.
А
1
&
0
1
1
В
0
1
Пример. По логической схеме
получить логическое выражение:
В
&
1
С
А

Решение: Первым (слева) стоит
конъюнктор BС. Выход конъюнктора
и А - входы для следующего
дизъюнктора Av(BС). Последним
стоит инвентор. Получаем:  (AvBC).
Алгоритм синтеза цифрового
устройства
Задать словесное описание автомата.
 Определить количество входов и
выходов.
 Составить таблицу истинности.
 Записать структурную формулу.
 Начертить структурную
(функциональную схему).

Составьте функциональную схему
работы цифрового устройства:
 Для оповещения зрителей на
соревнованиях по тяжелой атлетике
(штанга) используется транспарант
«Вес взят правильно». Транспарант
освещается, получив сигнал от троих
судей: старшего и двоих помощников.
Вес считается взятым правильно, при
единодушии всех судей или двоих при
условии, что один из судей – старший.
Пример логической схемы персонального компьютера,
разработанного А.Ф.Волковым из г. Днепродзержинска в 1985 г. и
печатная плата машины Pentagon - 1024 SL, реализованная на базе
ПЛИС FPGA EP2C8Q208C8N .
pentagon.nedopc.com
Обработка любой информации на компьютере
сводится к выполнению процессором различных
арифметических и логических операций

. Для этого в состав процессора входит
так называемое арифметикологическое устройство (АЛУ). Оно
состоит из ряда устройств,
построенных на рассмотренных выше
логических элементах. Важнейшими из
таких устройств являются триггеры,
полусумматоры, сумматоры,
шифраторы, дешифраторы,
счетчики, регистры.
Сумматор
 Сумматор - это электронная
логическая схема, выполняющая
суммирование двоичных чисел
поразрядным сложением. Сумматор
является центральным узлом
арифметико-логического устройства
процессора.

Составим таблицу логических значений для сумматора, где А, В —
слагаемые, Р и Y — перенос и цифра разряда для суммы
соответственно:
Заметим, что Р — это функция, реализующая операцию конъюнкции
двух переменных A и В, а Y - отрицание операции эквивалентности:
Р = А & В; Y = (A v В) & ¬(А & В).
Входы
Выходы
A
B
P
Y
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Эта схема называется полусумматором, так как в ней отсутствует
третий вход — перенос из предыдущего разряда.
Триггер.
 Основной принцип работы ячеек оперативной
памяти – это хранение информации. Она
энергозависима и просто держит сигнал,
никаких преобразований здесь не
происходит. Основным элементом схемы,
удерживающей сигнал, является триггер.
 Триггер – электронная схема, применяемая
для хранения одного бита информации.
 Триггер имеет два устойчивых состояния,
одно из которых соответствует двоичной
единице, а другое — двоичному нулю.

Самый распространённый тип триггера — так называемый RSтриггер (S и R, соответственно, от английских set — установка, и
reset — сброс). Условное обозначение триггера — на рис.
Шифратор и дешифратор.
 Шифратор и дешифратор являются
типовыми узлами ЭВМ. Шифратор
(кодер) преобразует единичный сигнал
на одном из входов в n-разрядный
двоичный код.
