Сверхмассиврные объекты.

Семинар 2:
Сверхмассивные объекты и теория
относительности
1. L. Susskind. Topics in string theory. Lecture 2.
2. Slava G. Turyshev, Viktor T. Toth, Jordan Ellis, and Craig B. Markwardt Support for
temporally varying behavior of the Pioneer anomaly from the extended Pioneer 10 and 11
Doppler data sets
(англ.) // Phys. Rev. Letters. — 2011.
3. Аномальное ускорение обнаружено в четырех космических миссиях
// Lenta.ru. — 03.03.2008.
4. K. Schwarzschild Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen
Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. —
1916. — 189—196.
Рус. пер.: Шварцшильд К. О гравитационном поле точечной массы в эйнштейновской
теории // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 199—207.
5. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. —
М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de
beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. —
1916. — D.25. — Biz.163—180.
6. Эйнштейн А. Памяти Карла Шварцшильда // Эйнштейн А. Собрание научных
трудов. М.: Наука, 1967. Т. 4. С. 33—34.
Примеры регистрации и возможных
признаков неучтенной массы
Является ли изучение сверхмассивных
объектов в чистом виде работой «на
завтрашний день» или присутствие
«неучтенной» массы возникает в
практических задачах? В какой-то мере
сверхмассивным объектом является наше
Солнце. Именно для него возможно
наблюдение искривления светового луча от
звезд, расположенных на примой,
проходящей вблизи от солнечного диска
при затмениях.
Как показывает изучение траекторий летательный аппаратов, за годы,
прошедшие с момента их запуска, с ними могут происходить как отклонения от закона
Кеплера, так и другие флуктуации кинетической энергии, наиболее известным из которых
является «феномен ускорения Вояджеров», заключающийся в ускорении аппаратов в
сторону Солнца (10-10см/с2), или аномальное ускорение аппаратов при их маневрах в
гравитационном поле Земли (4 случая). Если «феномен Вояджеров» как-то объясняют
теоретически, то для 2го случая разумных трактовок пока не поступало.
Сверхмассивный объект «черная дыра».
Черная дыра (ЧД) является классическим примером сверхмассивного объекта.
Разберемся, что такое ЧД. ЧД это продукт эволюции звезд, который получается на
поздних стадиях эволюции звезды, когда силы лучевого давления уже не могут больше
уравновешивать силы гравитационного сжатия.
Тогда звезда сжимается и происходит вдавливание электронов в ядра атомов,
и вещество переходит в так называемое нейтронное состояние, плотность которого
может по разным оценкам достигать от 10^17 г на метр кубический и выше (в
миллиарды раз). Земля при такой плотности имела бы размеры с горошину.
U=mMG/r; E=mv2/2; при v=c E=mc2/2; E=U  r=2GM/c2,
Где G - грав. Пост., с – скорость света, U - потенциальная энергия тела в силе тяжести.
Определенный таким образом радиус называется радиусом Шварцшильда
(РШ), или горизонтом событий.
Для того, чтобы разобраться со свойствами ЧД, напишем ее метрику. Для этого
начнем с метрики «плоского» (неискривленного пространства).
Уравнение движения светового луча и метрика пространства
В ТО пространство четырехмерно. Уравнение световой вспышки,
распространяющейся из начала координат выглядит как:
dX=cdt
X2=c2t2
По всем координатам: с2dt2=dx2+dy2+dz2
Очевидно, что с2dt2-dx2+dy2+dz2=0
Обозначим однако эту величину как тау квадрат и назовем ее интервалом.
Тогда уравнение tau2=0 будет являться уравнением движения света!
Для упрощения запишем только по иксу:
Вспомним, что физики всегда рисуют ось икс направленной вправо, а ось времени
направленной вверх.
Метрика ЧД
Возьмем метрику ЧД. Для сферически симметричной и не вращающейся ЧД такую
метрику описал Шварцшильд, и ее называют метрикой ШШ.
Установим скорость света равной 1, и
выберем ось таким образом, чтобы
углы равнялись нулю.
М – масса ЧД. Rs=2МG/c2 радиус ШШ.
Далеко от ЧД: знаменатель
уменьшается настолько, что метрика
становится метрикой плоского
Пространства.
Световой конус будущего
t
t=x
x
Световой конус прошедшего
Путешествие светового луча к поверхности ЧД
При r=2MC мы на так называемом горизонте. Поговорим о поведении светового
луча. Вдоль светового луча dw2=0. По какой траектории движется световой луч?
Диаграмма Пенроуза вращающейся ЧД показывает, что свет, попадающий на
вращающуюся световую орбиту вокруг ЧД вне РШ может выйти наружу и нести
информацию о событиях, происшедших во Вселенной в прошлом.
Световые лучи начнут замедляться. Прямо на горизонте световые лучи остановятся и
перестанут двигаться вообще.
Это легко видно из формул метрики ШШ.
Расст. От РШ
Откуда видно, что промежуток времени dt между событиями на луче,
Приближающемся к СШ, становится равным бесконечности.
Справедливо и обратное. Чтобы выйти с горизонта, Луч света должен затратить
бесконечно большое Время.
Очевидно, что в сходной ситуации окажется не только луч
Света, но и наблюдатель, приближающийся к РШ под
действием гравитации. Под действием метрики ШШ он
испытает замедление времени, вытекающее из
преобразований Лоренца. Это замедление будет
асимптотически приближаться к замедлению времени
светового луча, поскольку их скорости будут иметь
тенденцию к асимптотическому совпадению.
Выражение массы через тензор энергии-импульса
ЧД и парадокс информации
В связи с этим, возникает парадокс информации. Информация, падающая на
поверхность ЧД исчезает, поскольку свет никогда не выйдет обратно , а сама ЧД
испаряется за счет теплового излучения (согласно С. Хокингу). Более глубокие
знания о ЧД и физике космоса, возможно, объяснят этот парадокс.
Вопросы, связанные с ЧД, и в основном касаются
горизонта. Поговорим о кв. мех. ЧД. Вспомним, что проф.
Хокинг заявил, что все, что падает на пов. ЧД... и никогда
не попадает обратно. Т.О. вся информация, которая
попадает на ЧД теряется. Она становится все ближе и
ближе к горизонту.
Мы говорим, что ЧД со временем испаряется. ТО, значит ли это, что информация
исчезает, или где-то прячется на пов. ЧД? Почему же ЧД испаряется?
Заметим, что никакая информация не может выходить за пределы ЧД. Но ЧД испускает
тепловое излучение. Раз они излучают, значит масса становится меньше, и в конце концов
они испарятся. Что же произойдет с информацией?
Бакенштнейн ввел понятие энтропии ЧД. Давайте поговорим об энтропии и
информации.
Представим себе, что у нас есть сетка, в каждой ячейке которой либо может
либо быть атом, либо нет. Это аналогично нулям и единицам, то есть бинарному числу.
Число бинарных чисел называется информацией о системе. Информация
характеризуется битами. Все можно описать битами. Всю информацию в данной
комнате можно зашифровать с помощью битов.
Базовая идея в физике состоит том, что информация не исчезает. Возьмём 2
похожие системы и заставим их эволюционировать со временем. Они по-прежнему
будут оставаться различными. Но информация, которая требуется для того, чтобы
описать состояние данной системы с течением времени, остается постоянной, и
различие между системами так же никогда не исчезнет.
ТО может показаться, что информация исчезает . Представим себе корабль,
идущий через океан. След через некоторое время исчезнет . Но если бы могли
посмотреть очень внимательно, мы бы заметили, что импульс, который корабль
передал каждой молекуле воды, перераспределился между другими молекулами, и
информация осталась, просто мы не можем ее увидеть. Это зависит от качества
микроскопа и способности измерять импульс огромного количества разных молекул.
как же можно зашифровать информацию в нулях и единицах?
Смысл энтропии это как раз и есть количество информации, которая запрятана с
системе. Напомним, dE=TdS.
Возьмем компьютер. вся информация в компьютере зашифрована в виде 0 и 1.
Допустим, мы хотим избавиться от бита информации, записанного на жестом диске
компьютера. С точки зрения компьютера, информацию можно стереть, но с точки зрения
физики информацию стереть нельзя. Бит, который мы стерли с жёсткого диска, немного
нагрел атмосферу, и тем самым никогда не исчез. ТО E=T.
Обозначим энтропию S/ E=T. Удалим 2 бита. Комата нагреется на 2E=2T. И т.д.
Но один удаленный бит это изменение энтропии. следовательно вместо того, что
написано, можно написать  E=T  S. или dE=TdS
Эти идеи восходят в прошлое к Больцману в 19 век, Вернемся обратно к ЧД.
Информация, которая накапливается на горизонте, становится недоступной. Тем не менее
Бакенштейн сумел подсчитать энтропию ЧД .
Допустим, что мы посылаем биты информацию на ЧД и пытаемся понять,
насколько раздуется ЧД.
Это аналогично тому, что мы по каплям капаем воду в ведро и пытаемся
определить как повысится уровень воды в ведре. Как нам так дозировать информацию,
чтобы точно быть уверенными в том, что количество информацию точно равно 1?
Для этого мы прибегнем к трюку. Вспомним,
что радиус ЧД равен R=2MG. Если радиус
фотона меньше радиуса ШШ, то фотон
привнесет так же информацию о том угле, с
которым он прилетел.
с точки зрения кв. мех. фотон становится
неопределённым тогда, когда его длина
волны становится равной радиусу ШШ.
Будем иметь в виду, что когда свет с длиной
волны больше, чем размеры ЧД, такой
фотон отражается. ТО мы должны брать
фотон с дл волны в точности равной радиусу
горизонта. При этом энергия фотона равна
скорость на импульс.
А энергия , требуемая чтобы запрятать 1 бит это температура. Когда добавляем энергию,
добавляем массу по формуле эйнштейна.
Пойдем немного дальше, и подсчитаем, как добавка 1 бита увеличивает радиус ЧД. Для
этого разделим на 2 эм джи. Изменение площади при
Добавлении одного бита это и есть энтропия.
Заметим, что все фотоны идут на изменение площади,
Поскольку они никуда не проваливаются. Ничто не
Может пересечь горизонт в обозримое время.
ТО площадь горизонта пропорциональна количеству информации и энтропии.
Энтропия ЧД огромна, она больше, чем энтропия любого другого объекта сравнимых
размеров. Значение того, что пост. планка находится в знаменателе, имеет смысл, что в
классической физике энтропия ЧД бесконечна ( в класс физике пост. планка равна
нулю).
Таким образом, ЧД имеет энтропию, и эта энтропия огромна.
Выводы
1. Метрика ЧД объясняет, почему на ее поверхности происходит замедление
времени.
2.Наличие горизонта приводит к парадоксу потери информации на поверхности ЧД
(Вселенная не эволюционирует).
3. ЧД имеет энтропию, которую можно подсчитать исходя из ее массы.
4. Таким образом, мы накопили немного знаний о ЧД, которые помогут в
дальнейшем при ее характеристике.