ABCD -параллелограмм

«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ В ГИА И ЕГЭ
2012 ГОДА»
Бисярина Н. В.,
учитель математики
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ
АТТЕСТАЦИЯ ПРОДОЛЖАЕТ
СОВЕРШЕНСТВОВАТЬСЯ:
1. В КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ГИА ВКЛЮЧАЮТСЯ ЗАДАНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ.
2. В ЗАДАНИЯХ ГИА СТАНЕТ БОЛЬШЕ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, В КОТОРЫХ
ПРОВЕРЯЕТСЯ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКАЯ
КОМПЕТЕНТНОСТЬ ВЫПУСКНИКА.
КОЛИЧЕСТВО ЗАДАНИЙ:
1 часть – 18 заданий, из них 4 –
по геометрии;
2 часть – 5 заданий, из них 2 по геометрии.
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ
В
2012 ГОДУ ГОСУДАРСТВЕННОЙ (ИТОГОВОЙ)
АТТЕСТАЦИИ (В НОВОЙ ФОРМЕ) ПО
МАТЕМАТИКЕ.
Пример 1.
Укажите номера верных утверждений:
1) Диагонали параллелограмма равны.
2) Два различных диаметра окружности пересекаются в
точке, являющейся центром этой окружности.
3) Сумма углов трапеции равна 360°.
4) Площадь прямоугольного треугольника равна
произведению катетов.
5) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен
отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Ответ: 235
ОСОБЕННОСТИ ЗАДАНИЯ:
1. Для выполнения этого задания необходимо знать:
Свойства
параллелограмма.
Свойства окружности.
Свойства трапеции.
Формулу площади прямоугольного треугольника.
Формулу нахождения sin острого угла.
2. Возможность выбора нескольких вариантов.
3. Специфика задания: «Укажите номера верных
(или НЕ верных) утверждений»
ПРИМЕР 2.
Площадь треугольника АВС
равна 40. Биссектриса AD
пересекает медиану ВК в точке Е,
при этом BD:CD = 3:2. Найдите
площадь четырехугольника
EDCK.
ДАНО:
B
S = 40.
BD : CD = 3:2
НАЙТИ: SEDCK
РЕШЕНИЕ:
1. По св. медианы АК = КС = х
AB BD 3
2. По св. биссектрисы
=>


AС CD 2
AB 3
AB 3
 => АВ  2 х  3  3 хA
 =>
AС
2
2х
2
3. Рассмотрим ∆ ABK
2
АВ ВЕ 3 х


3
АК КЕ х
BC  h
K
=> ВЕ  3
КЕ
4. Пусть S – площадь ∆ АВС, тогда S  2
и S ACD 
DC  S
2S
CD
2
S
h
S ACD 
S  S
BC
BC
CB
5
Тогда S AEK  KE  S ABK  KE  AK  S 
BK
S EDCK  S ADC  S AEK
BK AC
D
E
C
DC  h
2
x
x
S
 S 
3x  x 2 x
8
2
S
2 1
16 5
  S   S (  )  S (  )  11
5
8
5 8
40 40
5. Т.о.
Ответ: 11
КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен
верный ответ
4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но
решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в
целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка,
из-за которой получен неверный ответ
3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше
критериям
0
Максимальный балл
4
О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ В ЕГЭ.
ИЗ 6 ЗАДАЧ РАЗДЕЛА С ЭКЗАМЕНА ЕГЭ 2011
ГОДА ЗАДАЧИ С2 И С4 - ПО ГЕОМЕТРИИ:
- С2 - ЗАДАЧА ПО СТЕРЕОМЕТРИИ,
- С4 - ПО ПЛАНИМЕТРИИ.
С5: НАЙДИТЕ ВСЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ А, ПРИ КАЖДОМ ИЗ КОТОРЫХ
СИСТЕМА ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ).
2
2





х

5

y

4
4


2
2



x

2

y
a

Задача является также геометрической,
соответствуя таким разделам планиметрии
как «Окружность» и «Координатный метод».
РАССМОТРИМ ЗАДАЧУ ПО ГЕОМЕТРИИ
ОДНОГО ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ 2011 ГОДА.
Задача С4 (планиметрическая, максимальный
балл — 3).
Прямая, перпендикулярная боковой стороне
равнобедренного треугольника, отсекает от него
четырехугольник, в который можно вписать
окружность. Найдите радиус окружности, если
отрезок прямой, заключенный внутри
треугольника, равен 6, а отношение боковой
стороны треугольника к его основанию равно 5/6.
ДВА РЕШЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ
ЧЕРТЕЖА.
ЗАДАЧУ МОЖНО РЕШИТЬ ЕЩЕ И БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ
ФОРМУЛ ТРИГОНОМЕТРИИ.
ЕСЛИ УЧАЩИЙСЯ ЗАМЕТИЛ, ЧТО ОКРУЖНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ
ВНЕВПИСАННОЙ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
ANM, ТО ОН МОЖЕТ НАЙТИ ЕЕ РАДИУС, ИСПОЛЬЗУЯ
ФОРМУЛУ ДЛЯ РАДИУСА ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ:
7
6
S
AM  MN
21
4
ra 



p  a AM  AN  MN 7  25  6 4
4 4
ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ:
3 БАЛЛА - ЗА ВЕРНЫЙ ОТВЕТ;
2 БАЛЛА - ЗА ВЕРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ
ОДНОГО ИЗ ДВУХ СЛУЧАЕВ;
1 БАЛЛ - ЗА РАССМОТРЕНИЕ ХОТЯ БЫ
ОДНОГО ИЗ ВОЗМОЖНЫХ СЛУЧАЕВ,
СОДЕРЖАЩЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ОШИБКУ,
ПРИВЕДШУЮ К НЕВЕРНОМУ ОТВЕТУ.
ДЛЯ РАЗВИТИЯ НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ
ПОДОБНЫХ ЗАДАЧ НЕОБХОДИМО:
1. На уроках геометрии, разобрать не простую
задачу, для которой легко создать подобную,
после чего предложить учащимся в качестве
домашнего задания самостоятельно придумать
несколько подобных задач и решить их. На
следующем уроке необходимо уделить внимание
разбору домашней работы и авторов лучших
задач поощрить положительной отметкой.
2. Решить на уроке (или задать на дом) несколько
весьма простых задач, в которых требуется
рассмотреть два или более вариантов решения.
РЕЗУЛЬТАТ РАБОТЫ:
1. Отработка навыков применения
знаний, полученных на уроках.
2. Развитие творческой
активности учащихся.
3. Выработка умений и навыков
быстрого нахождения связей
между уже решенными и новыми,
более трудными, задачами.
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ:
АВ
2
Задача 1. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем АС  3
Найдите АВ, если АС =15. (Два варианта.)
Задача 2. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем
точка С расположена вдвое дальше от одной из точек А и
В, чем от другой. Найдите АВ, если АС = 18. (Четыре
варианта.)
Задача 3. Катет прямоугольного треугольника равен 5, а
один из углов в два раза больше другого. Найдите
периметр треугольника. (Три варианта.)
Задача 4. Даны два подобных треугольника. Стороны
первого равны 8; 10 и 16. Одна из сторон второго равна 2.
Найдите периметр второго треугольника. (Три варианта.)
С4
Найти длину отрезка общей касательной к двум
окружностям, заключенного между точками касания, если
радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между
центрами окружностей равно 34.
Решение.
Возможны два случая:
В
23
Н
А
7
О
Н

В
23
О1

О
7
34
О1
34
А
ОАВО1 – прямая трапеция,
ОН=АВ - высота
ОНО1 – прямоугольный,
AB  OO 21   R  r  
AB  OO 21   R  r  
 342  162  30
 342  302  16
2
Ответ: 30 или 16
ОН=АВ - высота
2
№2
В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на
прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый
из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F.
Найдите длину отрезка EF.
Решение.
А
Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Рассмотрим 1 случай.
А
E
E
F
F
С
В
D
8ч
3ч
С
В
8ч
3ч
D
№3
В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на
прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый
из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F.
Найдите длину отрезка EF.
Решение.
А
Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Рассмотрим 1 случай.
Найдем:
BD 
3
36
8
96
 BC  , DC   BC  .
11
11
11
11
AD  DC  AC AD  DC  9

,
2
2
Из ADВ, DF  AD  BD  AB  AD  BD  15 .
2
2
Значит,
6  DC  BD 63
EF  DE  DF 
 .
2
11
Из ADC, DE 
E
F
С
В
D
8ч
3ч
В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на
прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый
из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F.
Найдите длину отрезка EF.
Решение.
А
Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Рассмотрим 2 случай.
E
F
С
В
8ч
3ч
5
96
BC   DC  8, DC  ,
8
5
96
36
BD  DC  BC 
 12  .
5
5
Из ADC, DE  AD  DC  AC  AD  DC  9 ,
2
2
AD  BD  AB AD  BD  15

.
Из ADВ, DF 
2
2
D
6  DC  BD
Значит, EF  DE  DF 
 9.
63
.
Ответ: 9 или
11
2
№2
Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14 ,
опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая,
отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и
пересекающая сторону, равную 10, в точке M . Найдите HM .
Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14.
Решение.
AB 2  BC 2  AC 2 100  144  196 1
cos B 

 .
2  AB  BC
2  10  12
5
А
АВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2.
10
14
По условию АВСНВМ, и имеют общий угол В,
значит возможны два случая.
М
1 случай. ВМН = ВАС;
С
12
Н
В
значит,
k
BH 2 1
  ,
BC 12 6
1
1
7
HM   AC   14  .
6
6
3
BH 2 1 , значит, HM  1  AC  1  14  14 .
2 случай. ВМН = АСВ; k 
 
5
5
5
AB 10 5
7
14
или .
Ответ:
3
5
№3
Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке
O , отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C
, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N . Найдите
площадь четырехугольника OMPN , если одно из оснований трапеции
втрое больше другого.
Решение.
S ABCD
Возможно два вида трапеции.
В обоих случаях:
BC  1)
ADнижнееa основание
 3a
4вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2a,

h 
 h   ah  2ah  240, ah  120.
2)
верхнее
основание
2
2
2вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2a.
Найдем площадь ОMPN:
SMONP=SAOD – SAMP – SPND.
В
С
O
Рассмотрим первый случай.
N
M
А
P
D
а
По условию BC = a, АD = 3a, аh = 120.
SMONP=SAOD – SAMP – SPND.
h
1) BOCAOD , по трем углам
k
3а
BC a 1

 .
AD 3a 3
Значит высота AOD равна
3
,h
4
тогда:
1
3
3
9
SAOD   AD  h   3ah   120  135.
2
4
8
8
2) BMCAMP , по трем углам,
k
BC
a
2

 .
AP 3a / 2 3
Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции.
1
3
1 3a 3
9
SAMP  SPND   AD  h    h 
 120  54.
2
5
2 2 5
20
SMONP=SAOD – 2SAMP =135 - 2·54 = 27.
3) Находим искомую площадь:
3а
В
С
По условию BC = 3a, АD = a, аh = 120.
SMONP=SAOD – SAMP – SPND.
h
1) BOCAOD , по трем углам
O
M
А
k
N
P а
D
Значит высота AOD равна
1
1
1
1
SAOD   AD  h   ah   120  15.
2
4
8
8
2) BMCAMP , по трем углам,
BC 3a

 3.
AD a
k
1
,h
4
тогда:
BC 3a

 6.
AP a / 2
Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции.
1
1
1 a 1
1
30
SAMP  SPND   AD  h    h   120  .
2
7
2 2 7
28
7
30
3) Находим искомую площадь:
SMONP  SAOD  2SAMP  15  2   5.
7
Ответ: 27 или 5.
В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD
делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС.
№4
Решение.
Пусть О – точка пересечения биссектрис.
По условию
B
BM 1
  1,
значит М лежит между точками В и N.
MN 7
М
N
C
O
B
М
C
N
12
O
A
D
A
Возможны два случая.
1) точка О – лежит внутри параллелограмма;
2) точка О – лежит вне параллелограмма.
Рассмотрим первый случай.
D
№4
В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD
делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС.
Решение.
Пусть О – точка пересечения биссектрис.
По условию
М
B
1,5
BM 1
  1,
значит М лежит между точками В и N.
MN 7
N
10,5
C
1,5
ВNА=NAD- накрест лежащие;
АN – биссектриса А,
12
O
A
1) ABN – равнобедренный, т.к.
D
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12,
1
1
тогда BM  BN   12  1,5.
8
8
Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5.
2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12.
Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5.
3) Значит,
ВС=ВМ+MN+NC=13,5.
Рассмотрим
первый случай.
№4
В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD
делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС.
Решение.
Рассмотрим второй случай:
точка О – лежит вне параллелограмма.
O
B
12
М
N
C
12
1)ABМ– равнобедренный, т.к.
ВMА=MAD- накрест лежащие;
12
12
АМ – биссектриса А,
значит ВMА= ВAM.
D
A
По условию
BM 1
 значит
,
MN 7
1
BM  BN ,  BN  8  12  96.
8
2) Аналогично DNC– равнобедренный,
3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108.
Ответ: 13,5 или 108.
Тогда АВ=ВМ=12.
тогда NC=DC=12.
Презентация к урокам по геометрии
по теме
«ПАРАЛЛЕЛОГРАММ»
Параллелограмм
определение
В
Четырехугольник, у которого
противолежащие стороны
попарно параллельны
называется
А
параллелограммом
ABCD –
четырехугольник
AB ║CD
BC ║AD
=> ABCD -параллелограмм
С
D
Свойства параллелограмма
В
С
O
А
D
1.Противоположные стороны попарно равны
AD=BC AB=CD
2.Противоположные углы попарно равны
 В = D
 А = С
3.Диагонали точкой пересечения делятся пополам
AO=OC BO=OD
Свойства параллелограмма
В
А
F
N
К
С
D
4.Сумма смежных углов равна180
А + В = 180
5.Биссектриса угла отсекает от него равнобедренный
треугольник.
BF – биссектриса, ∆ ABF –равнобедренный, AB=BF
6.Биссектрисы соседних углов перпендикулярны.

AF, BK – биссектрисы, AF BK
7.Биссектрисы противоположных углов параллельны или
совпадают. AF, CN – биссектрисы, AF|| CN
Признаки параллелограмма
Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и
равны, то этот четырехугольник параллелограмм.
В
ABCD – четырехугольник
AB || CD
AB = CD
С
=> ABCD- параллелограмм
А
D
Признаки параллелограмма
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно
параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм
ABCD –
четырехугольник
ВС = АD
AB = CD
В
С
=> ABCD- параллелограмм
А
D
Признаки параллелограмма
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам,
то этот четырехугольник - параллелограмм
В
ABCD –
четырехугольник
AО = CО
ВО = ОD
С
=> ABCD- параллелограмм
О
А
D
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
СУММА СОСЕДНИХ УГЛОВ РАВНА 180 ГРАДУСОВ:
Сумма расстояний между серединами противоположных
сторон выпуклого четырехугольника равна его
полупериметру.
Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме
квадратов
сторон параллелограмма:
Задачи на готовых чертежах
В
1)
С
F
В
2)
10 см
С
60
2 см
32
А
E
D
ABCD – параллелограмм
Найти  C ,  D
Ответ :С  64, D  116
А
D
ABCD – параллелограмм
Найти AD , CD
Ответ:AD=4 cм, CD=10 см
Задачи на готовых чертежах
В
F
С
25
60
С
40
N
M
NMCF – параллелограмм
Найти все углы NMCF
Ответ : F  M  115, N  C  65
А
2 см
E
3 см
ABCD – параллелограмм
Найти PABCD
Ответ : PABCD  16см
D
Задачи на готовых чертежах
В
С
F
В
С
E
60
M
5 см
F
N
А
4 см
M
NBCM – параллелограмм
Найти BF, FM
Ответ: BF=4 см, FM=5cм
А
K
ABCD – параллелограмм
PABCD
= 20 cм
Найти ME, MK
Ответ: ME=3 см, MK=7см
D
кроссворд
4
2
3
1.Четырехугольник, у
которого
противоположные
стороны попарно равны
8
1
5
11
3.Отрезок,
соединяющий две
несмежные вершины
6
9
4.Луч, делящий угол
пополам
7
10
Посмотреть ответ
8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника
9. «+»,
2.Единица измерения
угла
 - это …
10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной
стороны (множественное число).
5.Множество точек
прямой, заключенных
между двумя точками.
6.Фигура,состоящая из
двух лучей, исходящих
из одной точки.
7.Сколько сантиметров в
метре?
8.(горизонталь) Отрезок,
перпендикулярный к
стороне.
кроссворд
4
б
и
2
г
3
д
с
8
в
р
и
с
е
п а р а л л е л о г р
т
г
к
ш
д
5
р
у г о л
т
и
е
н
р
н
с
9
а
з н а
и
л
7 т о
с
10
ь
к а т
а
ы с о т а
2.Единица измерения
угла
а м м
е
д
и
к
а
н
е т ы
3.Отрезок,
соединяющий две
несмежные вершины
4.Луч, делящий угол
пополам
назад
8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника
9. «+»,
1.Четырехугольник, у
которого
противоположные
стороны попарно равны
 - это …
10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной
стороны (множественное число).
5.Множество точек
прямой, заключенных
между двумя точками.
6.Фигура,состоящая из
двух лучей, исходящих
из одной точки.
7.Сколько сантиметров в
метре?
8.(горизонталь) Отрезок,
перпендикулярный к
стороне.
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 7 – 9
КЛАССЕ ВЛЕЧЕТ ЗА СОБОЙ РАЗВИТИЕ
ОБРАЗНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО
МЫШЛЕНИЯ, ЧТО ЯВЛЯЕТСЯ ОДНИМ
ИЗ ВАЖНЕЙШИХ ФАКТОРОВ В
ДОСТИЖЕНИИ УСПЕХА В
ДАЛЬНЕЙШЕМ ОБУЧЕНИИ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, НЕОБХОДИМОЙ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА 2012.
1. ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ.
2. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ ГОСУДАРСТВЕННОГО СТАНДАРТА ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ.
МАТЕМАТИКА. ОСНОВНОЕ ОБЩЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ.
3. МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС. ПОДГОТОВКА К ГИА 2012. ПОД РЕД. Ф. Ф. ЛЫСЕНКО, Ф. Ю.
КАЛАБУХОВА.
4. ГЕОМЕТРИЯ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА В 9 КЛАССЕ. А. Д. БЛИНКОВ, Т. М.
МИЩЕНКО.
5. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ / И.Р. ВЫСОЦКИЙ [И ДР.]; ПОД
РЕД. А.Л. СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. — М.: 1 НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ, 2010.
6. ГОРДИН Р.К. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧА С4. ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ / ПОД РЕД. А.Л.
СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. - М.: МЦНМО, 2011.
7. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ, 10 КЛАСС: ЗАДАЧНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧРЕЖДЕНИЙ С УГЛУБЛЕННЫМ И ПРОФИЛЬНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ / ПОД НАУЧ. РЕД. А.Р.
РЯЗАНОВСКОГО. - М.: ДРОФА, 2003-2011.
8. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ: КОНТРОЛЬНЫЕ И ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ. 10-11
КЛАССЫ. - М.: ДРОФА, 2007.
9. ЗВАВИЧ Л.И., РЯЗАНОВСКИЙ А.Р. ГЕОМЕТРИЯ В ТАБЛИЦАХ. 7-11 КЛ.: СПРАВ, ПОСОБИЕ. — М.:
ДРОФА, 1997-2011.
10. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ. 10 КЛАСС: УЧЕБ. ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧРЕЖДЕНИЙ С УГЛУБЛЕННЫМ И ПРОФИЛЬНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ / ПОД НАУЧ. РЕД. А.Р.
РЯЗАНОВСКОГО. - М.: ДРОФА, 2003-2011.
11. СМИРНОВ В.А. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧА С2. ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ / ПОД РЕД.
А.Л. СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. - М.: МЦНМО, 2011.
12. ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ.
СПАСИБО ЗА
Спасибо за
ВНИМАНИЕ
!
внимание!