а и b

ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ К РЕШЕНИЮ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
8 класс
учитель математики ГБОУ СОШ №949
ЮАО г. Москвы
Николаева Ольга Ивановна
Прямоугольный треугольник
С
а и b – катеты;
a
b
hc
A
bc
D
ac
с – гипотенуза;
В
c
hc – высота, проведенная
к гипотенузе;
aс и bc – проекции
катетов на гипотенузу.
•
Задача по теории вероятностей
В прямоугольном треугольнике задано шесть
элементов ( слайд 1). Задача состоит в том,
чтобы по двум заданным элементам, найти
остальные неизвестные отрезки. Сколько задач
можно рассмотреть?
Решение: Всего элементов 6, задано 2 элемента.
Для решения задачи нам надо найти
С
𝟐
𝟔
=
𝟔!
𝟐! 𝟔−𝟐 !
==
𝟔!
𝟐!𝟒!
=
𝟒!𝟓∙𝟔
𝟐!𝟒!
=
𝟓∙𝟔
𝟐
=15. Ответ:15.
15 задач на нахождение элементов
прямоугольного треугольника
(данные элементы)
1. a, b
2. a, c = 10. b, c (делаем аналогично №2)
3. ac, bc
4. ac, hc = 11. bc, hc (делаем аналогично №4)
5. ac, a = 12. bc, b (делаем аналогично №5)
6. ac, b = 13. bc, a (делаем аналогично №6)
7. ac, c = 14. bc, c (делаем аналогично №7)
8. hc, a = 15. hc, b (делаем аналогично №8)
9. hc, c
Задачи №№10-15 предлагаем для самостоятельного решения.
Теоретический материал.
Подобие прямоугольных треугольников
∆ACD∆ ABC  ∆CВD
1)∆ACD∆ ABC
Запишем пропорцию
сторон:
С
a
b
hc
A
bc
D
c
ac
В
𝑨𝑪
𝑨𝑩
𝑨𝑪
𝑨𝑩
𝑪𝑫
𝑨𝑫
=
=
𝑩𝑪
𝑨𝑪
𝑨𝑫
=
, получим
𝑨𝑪
АС2 = АВ∙АD, т е
b2=c∙bc или b= c∙bc
Подобие прямоугольных
треугольников
2)∆CВD∆ ABC
Запишем пропорцию
сторон:
С
a
b
hc
A
bc
D
c
ac
В
𝑩𝑪
𝑨𝑩
𝑩𝑪
𝑨𝑩
𝑩𝑫
𝑪𝑫
=
=
𝑩𝑪
𝑨𝑪
𝑩𝑫
=
, получим
𝑩𝑪
ВС2 = АВ∙ВD, т е
а2=c∙аc или а= c∙аc
Подобие прямоугольных
треугольников
3) ∆ACD∆ CBD
Запишем пропорцию
сторон:
С
a
b
hc
A
bc
D
c
ac
В
𝑨𝑪
𝑪𝑫
𝑨𝑫
=
=
𝑪𝑩
𝑩𝑫
𝑪𝑫
𝑪𝑫
𝑨𝑫
=
, получим
𝑩𝑫
𝑪𝑫
СD2 = ВD∙АD, т е
hc2=ac∙bc или hc= ac∙bc
Формулы для решения задач, на
вычисление элементов прямоугольного
треугольника
•
• 6. с =ac + bc
Решение прямоугольного
треугольника
Задача №1
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: a, b.
НАЙТИ: с, ас, bс, hс.
• РЕШЕНИЕ:
• 1) по т. Пифагора:
с = а𝟐 + 𝒃𝟐 ;
• 2) сл.6 а2 = с∙ ас, т е
ас = а2 / с ;
В
• 3) сл. 8 с = ас + bс, т е
bс = с – ас ;
• 4) сл. 7 hс = ас ∙ bс .
Задача №2
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: a, с.
НАЙТИ: b, ас, bс, hс.
• РЕШЕНИЕ:
• 1) по т. Пифагора:
b = 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 ;
• 2) сл.6 а2 = с∙ ас, т е
ас = а2 / с ;
В
• 3) сл. 5 b2 = с∙ bс, т е
bс = b2 / с ;
• 4) сл. 7 hс = ас ∙ bс .
Задача №3
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: ac, bc.
НАЙТИ: с, а, b, hс.
• РЕШЕНИЕ:
• 1) сл. 8 с = ас + bс;
• 2) сл. 7 hс = ас ∙ bс ;
• 3) сл.6 а2 = с∙ ас, т е
В
а = с∙ ас;
• 4) сл. 5 b2 = с∙ bс, т е
b=
с∙ bс.
Задача №4
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: ac, a.
НАЙТИ: с, hc, b, bс.
• РЕШЕНИЕ:
• 1) сл.6 а2 = с∙ ас, т е
с = а2 / ас;
• 2) сл. 8 с = ас + bс; т е
В b с = с – а с;
• 3) сл. 7 hс = ас ∙ bс ;
• 4) сл. 5 b2 = с∙ bс, т е
b=
с∙ bс.
Задача №5
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: ac, c.
НАЙТИ: a, b, bс, hс.
• РЕШЕНИЕ:
• 1) сл.6 а2 = с∙ ас, т е
а = с∙ ас;
• 2) по т. Пифагора:
b = 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 ;
• 3) из формулы
В
а∙ b = c ∙ hc, т е
а∙ b
hc =
;
c
4) сл. 8 с = ас + bс; т е
b с = с – а с.
Задача №6
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: ac, b.
НАЙТИ: с, а, bс, hс.
• РЕШЕНИЕ:
1) сл. 8 с = ас + bс;
• 2) сл. 5 b2 = с ∙ bс
Для решения этой задачи
нужно рассмотреть систему:
с = а с + b с,
В
b 2 = с ∙ b с;
Подставим во 2 уравнение
значение с и получим
квадратное уравнение:
bc2 + acbc- b2 =0
Предлагаем решить его
самостоятельно.
Задача №7
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: ac, hс.
НАЙТИ: с, а, b, bс.
• РЕШЕНИЕ:
• 1) сл. 7 hc2=ac∙bc
bc = hc2 / ac;
• 2) сл. 8 с = ас + bс;
• 3) сл.6 а2 = с∙ ас, т е
В а = с∙ а ;
с
• 4) сл. 5 b2 = с∙ bс, т е
b=
с∙ bс.
Задача №8
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: a, hс.
НАЙТИ: с, ас, b, bс.
• РЕШЕНИЕ:
• 1) из ∆ CDB по т.
Пифагора
ас = а𝟐 − 𝒉𝒄𝟐
• 2) сл. 7 hc2=ac∙bc
bc = hc2 / ac;
В • 3) сл. 8 с = ас + bс;
• 4) сл. 5 b2 = с∙ bс, т е
b = с∙ bс.
Т е найдя ас в 1) задача
сводится к №7
Задача №9
С
a
b
hc
A
bc
D
ac
c
ДАНО: c, hс.
НАЙТИ: a, ас, b, bс.
• РЕШЕНИЕ:
1) сл. 8 с = ас + bс;
• 2) сл. 7 hc2=ac∙bc
Для решения этой задачи
нужно рассмотреть систему:
с = а с + b с,
В
hc2=ac∙bc;
Подставим во 2 уравнение
значение с и получим
квадратное уравнение:
bc2 – с bc+ hс 2 =0
Предлагаем решить его
самостоятельно.
Задачи для самостоятельного
решения (проверка знаний)
с= 10
ас =3,6
bc = 6,4
hc = 4,8
с= 16
bc = 7
b=4 𝟕
hc = 3 𝟕
с= 13
hc = 6
а =2 𝟏𝟑
b = 3 𝟏𝟑
bc = 4
с= 16
а= 8 𝟑
hc = 4 𝟑
ас =16
bc = 9
с= 25
b = 15
Литература
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов Геометрия, 7-9
изд. – М. : Просвещение, 2008.
2. Геометрия. 7-11 классы: развернутое тематическое
планирование. Базовый уровень. Линия Л. С. Атанасяна
Авторы-составители: Салова Т. А.