Учимся решать планиметрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание №16. Треугольники Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна, МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область 1 Задачи - теоремы C b Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке (ортоцентре) Если известны стороны треугольника , то или , где - высота, проведенная к стороне , S – площадь треугольника, определяемая по формуле Герона. 2 Задачи - теоремы Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. C х b 2х 3 Задачи - теоремы Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника, а длина её равна половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение. 4 Задачи - теоремы Биссектриса угла треугольника делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, т. е. 5 Задачи - теоремы C N M Если прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке M, а сторону BC в точке N, то треугольники ABC и MNC подобны. Следствие: CM: MA = CN: NB. A B 6 Задачи - теоремы Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному треугольнику. Пусть и b – катеты, h – высота, проведенная к гипотенузе c прямоугольного треугольника, и проекции катетов на гипотенузу. Тогда b Следствие: C 7 Рекомендации при решении задач по геометрии: • внимательно прочитать условие задачи, • построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный), • дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки, • определить зависимости между элементами, • рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия. 8 Разные решения одной задачи Задача. Найти периметр прямоугольного треугольника, катеты которого относятся как 3:4, а длина биссектрисы прямого угла равна . Решение. Введем обозначения: ∠С =90⁰, CL = A 4k L BC = 3k,AC = 4k,AB = 5k (k- коэффициент пропорциональности), AL:LB = 4:3 ( по свойству биссектрисы треугольника), Искомый периметр P=12k C B 3k 9 1 способ (Высота, проведенная к гипотенузе) A 1. Проведем высоту CH 2. ∆ CBH~∆ ABC с коэффициентом 3/5 3. Поэтому BH = 9k/5, CH = 12k/5 5k 4. ∆ CLH: LH= BL – BH = 15k/7 – 9k/7 =12k/35 4k L H C По теореме Пифагора: B k= 14 3k P = 12k = 12∙14 = 168 Ответ: 168. 10 2 способ. Формула CL = CP+PL. A 1. Проведем отрезок BD так, чтобы CD=CB = 3k D 2. Образуются равнобедренные прямоугольные треугольники CDP и CBP. k 5k L P 3k 3. По теореме Пифагора из ∆ BLP: 45⁰ 45⁰ C 3k CL = CP+PL, B , P = 12k = 168. 11 3 способ. Формула CL = CO+OL. A 1. Проведем OT⊥ AB, где O - центр вписанной окружности (инцентр) 2. CL = CO+OL 3. Вычислим радиус вписанной окружности L T O N k 2k k 4. 5. Из ∆OLT ( ∠OTL = 90⁰) по теореме Пифагора: C k M 2k B 6. CL = CO+OL, k=14 12 4 способ. Теорема косинусов 1. Применим теорему косинусов в ∆CBL A k=14 4k L 45⁰ B C 3k 13 5 способ. Теорема синусов A 1. Очевидно, что sin∠ABC = sin∠CBL = 4/5 2. По теореме синусов из ∆CBL 5k 4k L k=14 45⁰ B C 3k 14 6 способ. Формула биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла A 5k L 4k 45⁰ k=14 45⁰ B С 3k 15 7 способ. Формула биссектрисы A 4k C L B 3k 16 8 способ. Метод площадей. A По свойству площадей: 4k L 45⁰ 45⁰ C B 3k 17 9 способ. Векторный метод AL:LB = 4:3 ( по свойству биссектрисы треугольника) A 4k C L B 3k 18 Критерии оценивания выполнения задания № 16 19 Задача №1 В равнобедренном треугольнике ABC AC – основание. На продолжении стороны BC за точку B отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD. a) Докажите, что AB - биссектриса угла CAD. b) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6. Решение. D Если принять угол при основании равнобедренного треугольника ABC за α, то угол ABD, как внешний угол треугольника, B будет равен 2α 2α Так как по условию углы CAD и ABD равны, то угол DAB, как и угол BAC, равен α, то есть AB – биссектриса угла CAD. A α α C 20 ∆ ABD ~ ∆CAD (по двум углам) ∠ABD = ∠CAD ∠ DAB = ∠DCA D Значит, Так как по условию AB=5, AC=6,то 2α B Из имеем Возвращаемся в следующую пропорцию: α A Ответ: α α C 21 Задача №2 В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK: BK = 1:2. Точка E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P. a) Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади. b) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120. Решение. a) Докажем, что треугольники APC и BPC имеют равные площади. B 1. Найдем, в каком отношении точка P делит отрезок AK 2. Проведём через K прямую , параллельную CE T 2x E KT║CE 3. По теореме о пропорциональных отрезках BK:KC = BT:TE, то есть BT:TE = 2:1 K P x A Но тогда и AE:ET = 3:1 C А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и AP:PK = 3:1 22 ∆ APC и ∆PKC имеют общую высоту, проведённую из вершины С, поэтому B Аналогичным образом, T 2x ∆BPC и ∆PKC имеют общую высоту, проведенную из вершины P, поэтому E P K y Итак, равенство x 3y A C очевидно. 23 b)Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120. Заметим, что в силу того, что совпадают высоты, проведенные к равным сторонам AE и BE B Пусть Тогда 2x E 2S 6S P 3y 3S K y Sx ∆APB и ∆BPK имеют общую высоту, проведенную из точки B, поэтому x C A То есть По условию , поэтому 12S = 120, то есть S = 10. А значит, Ответ: 60 24 Задача №3 В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM,CP. a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный. b) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6. Решение. a) ∆CPA = ∆ AKC (по гипотенузе и острому углу) AC –общая, ∠A =∠C (углы при основании равнобедренного треугольника) B Тогда CK=AP. ∆APM = ∆CKM по двум сторонам и углу между ними (AM=CM, AP=CK, ∠A =∠C) P K Отсюда следует, что PM=KM, то есть ∆ KMP равнобедренный C A M 25 b) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь ∆KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6. B 1. Из ∆ PBC (∠P =90⁰): cos ABC = 0,6 = PB:BC 2. Пусть тогда PB = 6x, BC = 10x. Очевидно, AP = CK=4x 3. Из ∆ PBC (∠P =90⁰): 6x 6x 4. Из ∆APC (∠P =90⁰): 5. Заметим , sinB = 0,8 (из ∆ PBC) и sinA = P K (из ∆APC) 6. 8x 4x 4x C A M Ответ: 50 26 Задача №4 Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24. a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. b) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB. Решение. B a) Пусть AC = x, тогда BC = 24 - x По условию S = 72, то есть S = 72 С ? A Так как sinC ≠ 0, то Для существования x необходимо, чтобы D ≥ 0. Так как , то , Так как sinC > 0, то приходим к неравенству Таким образом, ∆ ABC - прямоугольный , , то есть ∠ C = 90⁰. 27 Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB. b) Мы доказали, что sinC = 1. AC = x = 12, BC = 24 - x = 12 B Таким образом, ∆ ABC – прямоугольный, равнобедренный (∠A = ∠B = 45⁰). 45⁰ y Обозначим сторону квадрата MNPQ, вписанного в равнобедренный треугольник ABC за y, тогда гипотенуза AB = 3у M 12 y y 45⁰ Q 45⁰ y y 45⁰ 45⁰ y 45⁰ C Поэтому N A P 12 Ответ: 28 Задача №5 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN. a) Докажите, что углы ACB и MNB равны. b) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см. Решение. C 1. Замечаем, что ∆ ACM и ∆ CAN имеют общую гипотенузу, значит, точки A, N, M, C лежат на одной окружности α Пусть ∠ACB =α, тогда ∠ CAM =90⁰-α M ∠ CAM = ∠CNM (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу) 90⁰-α Значит, ∠CNM = 90⁰-α. ∠BNM =90 ⁰ - ∠CNM = 90⁰-(90⁰-α)=α α B Итак, N A ∠ ACB = ∠ BNM 29 b) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см. Решение. C ∆ BNM ~∆ BCA по двум углам ( ∠B - общий, ∠ ACB =∠MNB = α) α Итак, , но с другой стороны из ∆BNC, ∠N=90⁰ M Рассмотрим ∆BMN. По теореме синусов: R=3 α B N Ответ: 8. A 30 Спасибо за сотрудничество! 31