Задачи с параметром

Школьный курс
«Задачи с параметром»
• Основные разделы
•Тематика занятий
•Задачи вступительных и выпускных
экзаменов
Последовательность разделов
курса.
1. Метод ветвления.
2. Квадратный трехчлен.
3. Графический способ в задачах с
параметром.
Первое знакомство с параметром.
Уравнения и неравенства с
числовыми
коэффициентами.
1)5 x  9  0
2)2 x  5x  3  0
2
2x  x
3) 2
0
2 x  3x  1
4)  3 x  1
2
5)2 x  5x  3  0
2
Уравнения и неравенства с
параметрами.
1)ax  9  0
2)ax  5 x  3  0
2
ax 2  x
3)
0
2
2 x  3x  1
4) ax  1
5)ax 2  5 x  3  0
Метод ветвления
Уравнения и неравенства с
Запись
ответа:
числовыми
коэффициентами.
Если
a  0, то
решений нет,
5x  9  0
а если a  0,
9
то x   .
a
9
x
5
Уравнения и неравенства с
параметрами.
ax  9  0
Если a  0, то уравнение
имеет вид 9  0,
поэтому решений нет.
Запись ответа:
9
x .
a
0
Если a  0,
9
то x   .
a
Ось
значений
параметра
Решений нет
Метод ветвления
Уравнение
с числовыми
Запись
ответа:
коэффициентами.
25
0
12
2 x  5x  3  0
2
D  25  24  1
3
x1  1 и x2 
3 2
x
x1, 2 
5
5  25  12a
2a
Уравнение с параметром.
ax 2  5 x  3  0
параметр
Если a  0,
Если a  0,
то уравнение
линейное
то уравнение
квадратное
 5x  3  0
6
x
3
5
x
5
Решений нет
D0
D  25 12a
D0
25
25
при a 
при
a

12
12
5  25  12a
6
x1, 2 
x1,2 
2a
5
D0
25
при a 
12
решений
нет
Метод ветвления
2
ax Уравнение
 x  0 с числовыми
 x  0
 
 2 коэффициентами.
ax  1  0
2 x  3 x  1  0
2
 x  1; 0,5
2x  x

2 x  3x  1
2
0
Если a  0, тогда
2

2
x
x0
 x  0
 2
.
 1x  
0 3 xx100
2
 x  1; 0,5
Тогда
Уравнение с параметром.
ax  x
0
2
2 x  3x  1
2
Если a  0, тогда
 x  0


1

x


a

 x  1; 0,5
0 1
Если a  1 или 2, тогда
 x  0
 корень x  1  посторонний
x  0.
 x  0,5 
a
 x Ответ
 1; 0,5 : x  0.
Если a  1 или 2,
тогда
x  0

1
x 
a

2
параметр
x0
x  0 или x 
1
a
Метод ветвления
Неравенство с числовыми
коэффициентами.
Неравенство с параметром.
 3x  1
1
x
3
0
x
1
a
x  любое
ax  1
Если a  0,
Если a  0,
1
то x 
то неравенство
a
имеет вид
параметр
0  1, поэтому
x  любое
1
x
a
Если a  0,
1
то x 
a
Метод ветвления
Неравенство с числовыми
коэффициентами.
2Если a  0,
то неравенство
2 x  5x  3  0
Неравенство с параметром.
ax  5 x  3  0
2
Если a  0, то неравенство квадратное
линейное
 5x  3  0
Ветви вверх
3
x
5
1
x
Ветви вниз
1,5
Ответ : x  1;1,5.
D<0 D=0 D>0 D<0
D=0 D>0
Исследуем знаки дискриминанта и направление ветвей
параболы в зависимости от значений параметра
D  25  12a 
1) D  0, если a 
25
25
25
; 2) D  0, если a  ; 3) D  0, если a  .
12
12
12
25
12
0
x1
5  25  12a
2a
x2
x
5  25  12a
2a
x1
5  25  12a
2a
x2
параметр
x
5  25  12a
2a
x
x
xв
3
5
x
xв 
6
5
Метод ветвления.
Уравнения и неравенства с
числовыми
коэффициентами.
2 x  ax
0
2
2 x  3x  1
2x  x
0
2
2 x  3x  1
2
2
Нули числителя:
x  0
 x  0,5

+
0
Нули
знаменателя:
x  1
 x  0,5

_
_
0,5
Ответ:
Ответ : x  0;0,5  0; 1.
+
1
Уравнения и неравенства с
параметрами.
Метод ветвления.
Уравнения и неравенства с параметрами.
2 x  ax
0
2
2 x  3x  1
2
x  0
Нули

числителя:  x  a

2
Нули
x  1
знаменателя: 
 x  0,5
0
0,5
a
2
1
_
+
+
+
_
+
a
2
0
a
0 2
0,5_ 1
+
_ +
a
2
0
_
+
0
0
0,5
_
+
1
_
0,5
+
1
+
0,5  a 1
_
+
+
2
_
+
0,5 a 1
2
+
2 x 2  ax
0
2
2 x  3x  1
Второй этап отработки метода ветвления.
(2a  1) x  5x  3  0
2
Определим
вид
уравнения
2а+1=0,уравнение
линейное
2а+1≠0, уравнение
квадратное
Вычисляем
дискриминант
Дискриминант
Дискриминант
Дискриминант
отрицательный
равен нулю
положительный
Метод ветвления
(дополнительные задачи)
Уравнения и неравенства с
числовыми коэффициентами.
Уравнения и неравенства с
параметрами.
Расположение корней квадратного
трехчлена (методическая
составляющая).
При каких значениях
параметра оба корня
уравнения
2
2
x  6ax  2  2a  9a  0
больше 3?
Решение:
D  9a 2  2  2a  9a 2  2a  2
x1,2  3a  2a  2
3a  2a  2  3
2a  2  3a  3
2a  2  (3a  3)2

a  1
Расположение корней квадратного
трехчлена.
• Задача 1 типа.
Найти все значения
параметра, при
которых корни
квадратного
трехчлена лежат по
разные стороны от
заданного числа.
• Задача 2 типа.
Найти все значения
параметра, при
которых корни
уравнения лежат по
одну сторону от
заданного числа.
Расположение корней по разные
стороны от числа
• Ветви вверх
Ветви вниз
M
x1
f (M )  0
x2
x1
M
x2
f (M )  0
Расположение корней по одну
сторону от числа
• Корни справа от числа
M
• Корни слева от числа
xв
x1
xв
x2
 D  0,

 f ( M )  0,
x  M
 в
x1
M
x2
 D  0,

 f ( M )  0,
x  M
 в
Расположение корней по одну
сторону от числа
Корни справа от числа
Корни слева от числа
x2
x1
M
x
x1 в
x2
 D  0,

 f ( M )  0,
x  M
 в
xв
 D  0,

 f ( M )  0,
x  M
 в
M
Задачи на расположение корней
квадратного трехчлена
Задача 1.
При каких значениях параметра оба корня
уравнения
x  6ax  2  2a  9a  0
2
2
больше 3?
Задача 1.
При каких значениях
параметра оба
корня уравнения
больше 3?
xв  3a
3
x1
x 2  6ax  2  2a  9a 2  0
Решение:
 D  0,
9a 2  (2  2a  9a 2 )  0,


2
f
(
3
)

0
,

 9  18a  2  2a  9a  0,
x  3
3a  3
 в

x2
Задача 2.
• При каких значениях параметра оба корня
уравнения
x  ax  2  0
2
лежат на интервале (0;3)?
Задача 2.
При каких значениях
параметра оба корня
уравнения
лежат на интервале (0;3)?
2
x  ax  2  0
a
xв 
2
0
Решение:
a 2  8  0,
 D  0,

20
 f ( 0)  0



 9  3a  2  0,


 f (3)  0,
a

0  xв  3
0


3
 2
x1
3
x2
Задача 3.
При каких значениях параметра
один корень уравнения
ax  x  1  0
2
больше 2, а другой меньше 2?
Задача 3.
При каких значениях
параметра один
корень уравнения
больше 2, а другой
меньше 2?
ax  x  1  0
Решение:
1 случай
a  0,

 f ( 2)  0
2
x1
x2
2
Тогда получим
a  f ( 2)  0
2 случай
a  0,

 f ( 2)  0
x1
2
x2
Задача 4.
При каких значениях параметра
из неравенства
ax  (a  1) x  3  0
2
следует неравенство
x2 ?
1 случай
Решения
2 случай
Задача 4.
(переформулировка)
2
Если x решение
неравенства
x1
x2
Решений нет
ax  (a  1) x  3  0,
2
то
x  2.
Решения
3 случай
Решение:
Рассмотрим все случаи
расположения парабол.
4 случай
x1
x2
Решения
1 случай
Задача 4.
Решения
2 случай
2
Если x решение
неравенства
x1
ax  (a  1) x  3  0,
2
то
x  2.
Решение:
Общее
a0
условие
Для первого
случая
 D  0,

 f (2)  0,
x  2
 в
x2
Решений нет
Для второго
случая
D0
Задачи, сводящиеся к исследованию
расположения корней квадратного
трехчлена.
• Задача 1.
Найти все значения параметра,
при которых уравнение
x  2  2  2a  2x
имеет единственный корень.
• Задача 1.
Найти все значения
параметра, при
которых уравнение
x  2  2  2a  2x
имеет единственный
корень.
Решение:
Упростим
2  2a  2 x  ( x  2)2 ,

x  2  0
 x 2  2ax  2  0,

x  2
• Задача 1.
2 случай
Переформулировка:
Полученная система должна
иметь единственное
решение.
 D  0,

 xв  2
2
 x  2ax  2  0,

x  2
2
xв
1 случай
2
x1
2
x2
x1
x2
 f ( 2)  0

  f ( 2)  0
  xв  2
Задачи, сводящиеся к исследованию
расположения корней квадратного
трехчлена.
• Задача 2.
Найти все значения параметра, при которых
уравнение
36  (8a  5)  6  16a  20a  14  0
x
x
2
1) Имеет 2 различных корня ;
2) не имеет корней
3) имеет единственный корень.
• Задача 2.
Найти все значения
параметра, при
которых уравнение
Переформулировка 1:
уравнение (*) должно
иметь два
x
x
2
36  (8a  5)  6  16a  20a  14  0
положительных корня.
имеет 2 различных
корня.
Решение:
Переформулировка 2:
Оба корня квадратного
трехчлена должны
x
Замена 6  t  0
лежать справа от нуля.
t 2  (8a  5)  t  16a 2  20a  14  0 *
• Задача 2.
Найти все значения
параметра, при которых
0
оба корня квадратного
t1
трехчлена лежат справа от
нуля.
t 2  (8a  5)  t  16a 2  20a  14  0
 D  0,

 f (0)  0,
t  0
в
tв
t2

64a 2  80a  25  64a 2  80a  56  0,

2
16
a
 20a  14  0,

 8a  5

0
 2
• Задача 2.
Найти все значения
параметра, при
которых уравнение
Переформулировка 1:
уравнение (*) не
должно иметь
x
x
2
36  (8a  5)  6  16a  20a  14  0
положительных
не имеет корней.
корней.
Переформулировка 2:
Решение:
Корни квадратного
x
Замена 6  t  0
трехчлена не должны
лежать справа от нуля.
t 2  (8a  5)  t  16a 2  20a  14  0 *
Задача:
Корни квадратного
трехчлена не должны
лежать справа от нуля.
1 случай
t 2  (8a  5)  t  16a 2  20a  14  0
*
Корней нет
2 случай
tв
t1
tв
0
t2
D0
t1
 D  0,

 f (0)  0,
t  0
в
t2  0
tв
0
tв  0
Задачи, сводящиеся к исследованию
расположения корней квадратного
трехчлена.
• Задача 3.
Найти все значения параметра, при
которых уравнение
4 2
x
x2
x
1 x
 7  p  4  22
имеет решение.
• Задача 3.
Найти все значения
параметра, при которых
уравнение
4 2
x
x2
x
1 x
 7  p  4  22
имеет решение.
Решение:
Замена 2 x  t  0
4 1
2
t  4t  7   2  p
t t
1
Замена y  t   2
t
Свойства функции f(x)=x+1/x
2
1
• Задача 3.
Найти все значения
параметра, при которых
уравнение
4 2
x
x2
x
y
 2  4 y  7  p  0,
y  4y  5 p  0
2
1 x
 7  p  4  22
имеет решение.
2
Переформулировка –
Уравнение должно иметь корни,
больше или равные 2.
Решение:
2 t0
4 1
2
t  4t  7   2  p
t t
1
Замена y  t   2
t
Замена
x
-2
2
y
2
 2  4 y  7  p  0,
y2  4 y  5  p  0
f ( 2)  0
485 p  0
p  17
-2
2
Задачи, сводящиеся к исследованию
расположения корней квадратного
трехчлена.
• Задача 4.
Найти все значения параметра,
при которых неравенство


log 1 x  ax  1  1
2
2
выполняется для любого значения
x0
• Задача 4.
Найти все значения параметра, при которых
2

log
x
 ax  1  1
1
неравенство
2
выполняется для любого значения x  0
Множество решений
неравенства
x0
• Задача 4.
Найти все значения
параметра, при
которых неравенство
log 1 x 2  ax  1  1


2
выполняется для
любого значения x  0
Решение:
1
x  ax  1  ,
2
1
2
x  ax   0
2
2
1 случай Решения
0
x1
x2
 D  0,

 f (0)  0,
x  0
 в
Графический способ решения задач
с параметром.
Графический тренажер.
Определить вид графиков следующих
функций:
1) y  x  a
2) y  a x
3) y  x  a
4) y  x  a
7)
a
5) y 
x
y  x a  x b
6)
y
6
xa
График функции f(x)=[x-a]+[x-b].
ba
a
b
Найти количество корней в следующих
уравнениях в зависимости от параметра
• 1)
1
x3 4  x a
2
• 2)
x  a  2x  2  3
• 3)
9 x  xa
• 4)
x 1  x  a
2
2
Графический способ решения задач
с параметром.
2 решения
3 решения
1
x3 4  x a
2
2 решения
1 решение
3 решение
Графический способ решения задач
с параметром.
y  2x  2  3
x  a  2x  2  3
нет решений
x  a  2x  2  3
2 решения
1 решение
1 решение
3
-4
-1
2 решения
2
Графический способ решения задач
с параметром.
9 x  xa
2
y  9  x2
нет решений
2 решения
1 решение
нет решений
Графический способ решения задач
с параметром.
x 1  x  a
2
y  x2  1
1 способ:
a3
2 решения
a2
y  xa
1 решение
3 решения
2 решения
1 решение
a1
Графический способ решения задач
с параметром.
y  x 1  x
2
x 1  x  a
2
2 способ:
2 решения
3 решения
3 решения
2 решения
1 решение
Нет решений
Задача с заданными условиями.
• Найти все значения параметра, при
которых уравнение
2 x  6  2 x  8  ax  12
имеет единственный корень.
Задача
• Найти все значения
параметра, при которых
уравнение
2 x  6  2 x  8  ax  12
имеет единственный корень.
Решение:
a
x3  x4  x6
2
 f ( 3)  7
 f ( 4)  7

a
 2  1

a  1
 2
7
6
3
4
Задачи с двумя подвижными ГМТ.
• Задача 1.
Найти все значения параметра, при
которых уравнение
5 x  3a  x  a  4 x  a
2
1) не имеет решений;
2) имеет бесконечно много решений.
• Задача 1.
Найти все значения параметра, при которых уравнение
5 x  3a  x  a 2  4 x  a
1) не имеет решений;
2) имеет бесконечно много решений.
Решение:
5 x  3a  x  a 2  a  4 x 
введем
функции
f1  5 x  3a  x  a
f2  a  4 x
2
Решение:
Рассмотрим точки преломления
функции
f1  5 x  3a  x  a 2
Задачи с двумя подвижными ГМТ.
• Задача 2.
Найти все значения параметра, при
которых существует ровно 3 решения
уравнения
xa  22x a
2
Задачи с двумя подвижными ГМТ.
• Задача 2.
Найти все значения
параметра, при
которых существует
ровно 3 решения
уравнения
xa  22x a
2
Графический прием – нахождение
значения функции в точке.
• Задача 1.
Уравнение
2 p  3x   p  3x  1  0
2
имеет корень. Найти все значения
параметра,при которых число его
корней равно числу корней уравнения
2x 1

21  p
1
x 3 3
Графический прием – нахождение
значения функции в точке.
• Задача 2.
Найти все значения параметра,
при которых уравнения
1
2
 8 x
x  4x  a  4 и
ax
имеют корни, причем
количество корней в каждом
уравнении одинаково.
• Задача 3.
Найти все значения параметра,
при которых решение
неравенства
x  3  4a x
содержит не менее двух и не
более четырех простых чисел.
• Задача 4.
Найти все значения параметра, при
которых уравнение
x
2


 3 x  2 x 2  7 x  12  1 
5 x  ax  a  6a  3
2
имеет корни как большие -2, так и
меньшие -2.