Многогранники (математика).

Подготовили :
Скиба Татьяна,
Китурко Маргарита.
11 «Ф/м-2»
Многогранник - геометрическое тело,
ограниченное со всех сторон плоскими
многоугольниками, называемыми
гранями. Стороны граней называются
ребрами многогранника, а концы ребер
— вершинами многогранника. По числу
граней различают четырехгранники,
пятигранники и т. д.
Многогранник называется выпуклым,
если он весь расположен по одну
сторону от плоскости каждой из его
граней. Выпуклый многогранник
называется правильным, если все его
грани — правильные одинаковые
многоугольники и все многогранные
углы при вершинах равны.
Существует 5 видов правильных
многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр,
додекаэдр, икосаэдр.
Призма — это многогранник,
у которого две грани
(основания призмы) —
равные многоугольники с
соотвественно
параллельными сторонами.
Остальные грани —
параллелограммы,
плоскости которых
параллельны одной прямой.
Параллелограммы и т.д. называются боковыми гранями. Высотой
призмы называется перпендикуляр опущенный из любой точки одного
основания. на плоскость другого. Призма называется треугольной
четырехугольной и т.д., смотря по тому, лежит ли в основании
треугольник, четырехугольник и т.д.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания,
то — призма прямая. Если нет — призма наклонная. Если в прямой
призме основание — правильный многоугольник — призма правильная.
Перпендикулярное сечение призмы — это такое сечение, которое
образовано плоскостью перпендикулярной к её боковому ребру.
Параллелепипед — это призма, основание
которой — параллелограмм.
Параллелепипед имеет шесть граней и все
они параллелограммы. Противоположные
грани попарно равны и параллельны.
Параллелепипед имеет четыре диагонали.
Все диагонали Параллелепипеда
пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой пополам. Основанием
параллелепипеда может быть любая грань.
Параллелепипед, четыре боковые грани
которого — прямоугольники, называется
прямым. Прямой параллелепипед, у которого
все шесть граней прямоугольники называется
прямоугольным. Прямоугольный
параллелепипед, все грани которого
квадраты, называется кубом. Все ребра куба
равны.
Площадь поверхности
прямоугольного
параллелепипеда:
S= 2(Sa+Sb+Sc)= 2(ab+ bc+ ac)
Объем прямоугольного
параллелепипеда:
V= SоснH= abc
Пирамида — это многогранник, у которого
одна грань — основание пирамиды —
произвольный многоугольник, а остальные —
боковые грани — треугольники с общей
вершиной, называемой вершиной пирамиды.
Перпендикуляр опущенный из вершины
пирамиды на ее основание, называется
высотой пирамиды. Пирамида называется
треугольной, четырехугольной, и т.д., если
основанием пирамиды является треугольник,
четырехугольник и т.д. Если основание
пирамиды — правильный многоугольник, а
высота опускается в центр основания, то —
пирамида правильная. В правильной пирамиде
все боковые ребра равны, все боковые грани
равные равнобедренные треугольники. Высота
треугольника боковой грани правильной
пирамиды называется — апофема правильной
пирамиды..
Сечение параллельное основанию
пирамиды делит пирамиду на две
части. Часть пирамиды между ее
основанием и этим сечением — это
усеченная пирамида. Это сечение
для усеченной пирамиды является
одним из её оснований. Расстояние
между основаниями усеченной
пирамиды называется высотой
усеченной пирамиды.
Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида,
из которой она была получена, была правильной. Все боковые
грани правильной усеченной пирамиды — это равные
равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани
правильной усеченной пирамиды называется — апофема
правильной усеченной пирамиды
 Для
пирамиды:
Sполн=Sбок+Sосн;
V= SоснH;
Sбок= pа; (а- апофема)

Для усечённой пирамиды:
Sпол=Sбок+S1+S2;
V= H(S1+
+S2);
Sбок= (p1+p2).
Правильные многогранники - удивительные символы
симметрии, привлекавшие внимание множества выдающихся
мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.
Греческая математика, в которой впервые появилась теория
многогранников, развивалась под большим влиянием
знаменитого мыслителя Платона. Одним из существенных черт
его учения является рассмотрение "идеальных" объектов абстракций. Математика, взяв на вооружение идеи Платона, со
времен Евклида изучает именно абстрактные, "идеальные"
объекты. Однако и сам Платон, и многие древние математики
вкладывали в термин "идеальный" не только смысл
"абстрактный", но и смысл "наилучший". В соответствии с
традицией, идущей от древних математиков, среди всех
многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями
правильные многоугольники. Правильные многогранники —
это такие многогранники, все грани которых — равные
правильные многоугольники. и в каждой вершине сходится
одно и тоже число граней. В каждый правильный многогранник
можно вписать шар. Около каждого правильного
многогранника можно описать шар.
Правильный многогранник,
составленный из 4
равносторонних
треугольников. Из
определения следует, что все
ребра тетраэдра имеют
равную длину, а грани равную площадь. Тетраэдр
состоит из: 4 вершин, 6 ребер,
4 граней.
S=a²√3; V=
; R=
; r=
.
Куб или гексаэдр составлен
из 6 квадратов. Каждая из
8 вершин куба является
вершиной 3 квадратов,
поэтому сумма плоских
углов при каждой вершине
равна 270°. Куб состоит из:
6 вершин, 12 ребер, 8
граней.
S=6a² V=a³
R=
;
r= .
Правильный многогранник,
составленный из 8
равносторонних
треугольников. Октаэдр
имеет 6 вершин, 12 ребер и
8 граней.
S=2a²√3; V=
R=
; r=
;
.
Это правильный многогранник,
составленный из двенадцати
равносторонних пятиугольников.
Додекаэдр имеет 20 вершин и 30
ребер. Вершина додекаэдра
является вершиной трех
пятиугольников, таким образом,
сумма плоских углов при каждой
вершине равна 324°.
S=
; V=
R=
; r=
;
.
Правильный выпуклый
многогранник, составленный из
20 правильных треугольников,
имеет: 12 вершин, 30 ребер и
20 граней.
S=5a²√3; V=
R=
;
; r=
.
Существует семейство тел,
полуправильных выпуклых
многогранников, или
архимедовых тел. У них все
многогранные углы равны,
все грани - правильные
многоугольники, но
нескольких различных типов.
Существует 13 или 14 архимедовых тел (число
неточное, поскольку псевдоромбокубоктаэдр
иногда не причисляют к этому семейству). Кроме
того, имеют равные многогранные углы и
правильные грани нескольких типов тела из двух
бесконечных семейств - призмы и антипризмы.
Ещё три тела –
псевдоромбокубоктаэдр,
правильная n-угольная призма и
n-угольная антипризма вместе с
этими 13 телами образуют класс
изогонов.
«Мой дом построен по законам
самой строгой архитектуры. Сам
Эвклид мог бы поучиться, познавая
геометрию сот», — говорит пчела в
«Тысяче и одной ночи»
Ма́уриц Корне́лис Э́шер (17 июня 1898 — 27
марта 1972) — нидерландский художникграфик. Известен прежде всего своими
концептуальными литографиями, гравюрами
на дереве и металле, в которых он мастерски
исследовал пластические аспекты понятий
бесконечности и симметрии, а также
особенности психологического восприятия
сложных трёхмерных объектов.
Леонардо да Винчи (Leonardo da
Vinci) (1452-1519) известен
своими достижениями в качестве
изобретателя и художника.
В его записных книгах
содержатся первые из известных
примеров анаморфного
искусства, использующего
искаженные сетки перспективы.
Его наклонные анаморфные
изображения представляют
объекты, которые должны
рассматриваться под углом,
чтобы они выглядели
неискаженными.