Алгебра - Смоленский строительный колледж

Программа по математике
для поступающих на базе 9 классов
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
На экзамене по математике поступающие должны показать.
1) четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и
геометрии, умение доказывать теоремы и выводить формулы;
2) умение четко проводить математические рассуждения в устном и письменном
изложении,
3) уверенное владение основными умениями и навыками, предусмотренными
программой, умение применять их при решении задач
Программа по математике для поступающих состоит из трех разделов.
В первом из них представлен перечень основных понятий и фактов алгебры и геометрии,
которые должны знать поступающие.
Второй раздел содержит теоремы и формулы, которые надо уметь доказывать.
Содержание теоретической части экзаменационных билетов основывается на вопросах этого
раздела.
В третьем разделе указаны основные математические умения и навыки, которыми
должны владеть поступающие.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ
АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
Натуральные числа и нуль. Чтение и запись натуральных чисел. Сравнение натуральных
чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Квадрат и куб
числа.
Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального числа. Четные и
нечетные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9. Деление с остатком. Простые и
составные числа.
Разложение натурального числа на простые множители,
Наибольший общин делитель, наименьшее общее кратное.
3, Обыкновенная дробь. Чтение и запись дробных чисел. Сравнение обыкновенных
дробей. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная части числа. Основное
свойство дроби. Сокращение дробей Сложение, вычитание, умножение и деление
обыкновенных дробей. Среднее арифметическое нескольких чисел. Основные задачи на
дроби.
Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей. Сравнение десятичных дробей.
Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Приближенное
значение числа. Округление чисел. Проценты. Основные задачи на проценты.
Положительные и отрицательные числа Противоположные числа. Модуль числа, его
геометрический смысл. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Сложение,
вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел.
Понятие о числе как о результате измерения. Рациональные числа. Представление
рациональных чисел в виде периодических бесконечных десятичных дробей.
Свойства арифметических действий.
Числовые выражения. Применение букв для записи выражений. Числовое значение
буквенного выражения. Вычисление по формулам. Буквенная запись свойств
арифметических действии. Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок,
приведение подобных слагаемых.
Пропорция. Основное свойство пропорции. Понятие о прямой и обратной
пропорциональности величин. Решение задач с помощью пропорций.
Составление и решение линейных уравнений. Изображение чисел на прямой Координата
точки Прямоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки.
1
Действительные числа
1) Понятие об иррациональных числах. Действительные числа. Числовые неравенства и их
свойства По членное сложение и умножение числовых неравенств.
2) Измерение величин. Абсолютная и относительная погрешности приближенного
значения. Запись чисел в стандартном виде. Выполнение арифметических действии над
приближенными значениями.
3) Квадратный корень.
4) Радианное измерение углов. Синус, косинус, тангенс произвольного угла.
Т о ж д е с т в е н но е п р е о б р а зо в а н ие в ы р а ж е н и й
1. Многочлен. Степень многочлена. Сложение, вычитание и умножение многочленов.
Разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного умножения.
2. Применение формул сокращенного умножения к разложению многочленов на
множители.
3. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители
4. Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Сокращение алгебраических
дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей.
Тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений.
5. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Степень с целым показателем.
Свойства квадратных корней. Преобразования выражений, содержащих квадратные
корни.
6. Корень n-й степени и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
2
2
sin L
/cos L.
7. Основные тригонометрические тождества: sin L + cos L = 1 ; tqa =
8. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы члена и суммы первых членов
прогрессии.
Урав нения и неравенства
1) Уравнения. Корни уравнения. Линейные уравнения с одним неизвестным. Квадратное
уравнение: формулы корней. Решения рациональных уравнений.
2) Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
и его геометрическая интерпретация Решение простейших систем, содержащих
уравнение второй степени. Решение текстовых задач методом составления уравнений и
систем.
3) Линейное неравенство с одним неизвестным. Система линейных неравенств с одним
неизвестным. Решение неравенств второй степени с одним неизвестным. Решение
рациональных неравенств, метод интервалов.
Э лементар ные функ ции
1) Функция. Область определения функции. Способы задания функции. График функции.
Возрастание и убывание функций. Четные и нечетные функции.
2) Функции: y = kx + b , y = x n ( n - натуральное число), y-ax 2 +bx + c , y = k / x ,
у =|х| ; у = x .Их свойства и графики.
2
Геометрия
Геометрические фигуры и их свойства
1) Начальные понятия планиметрии. Геометрические фигуры. Понятие об аксиомах и
теоремах. Понятие об обратных теоремах.
2) Смежные и вертикальные углы и их свойства. Пересекающиеся и параллельные прямые.
Признаки параллельности прямых. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельности
и перпендикулярности прямых.
3) Треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема
Пифагора.
4) Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб,
квадрат, их свойства. Трапеция. Правильные многоугольники.
5) Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства.
6) Свойство серединного перпендикуляра к отрезку; окружность, описанная около
треугольника. Свойство биссектрисы угла; окружность, вписанная в треугольник.
7) Понятие о равенстве фигур. Признаки равенства треугольников.
8) Понятие о подобии фигур. Признаки подобия треугольников.
9) Примеры преобразования фигур, виды симметрии.
10) Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Геометрические величины
1)
2)
3)
4)
Длина отрезка и ее свойства. Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой.
Величина угла и ее свойства. Измерение вписанных углов.
Длина окружности. Длина дуги. Число я.
Понятие о площади, основные свойства площади. Площади прямоугольника, треугольника,
параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур (без доказательства).
Площадь круга и его частей.
Элементы тригонометрии
1) Синус, косинус, тангенс угла.
2) Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теоремы синусов и
косинусов. Решения треугольников.
Координаты и векторы
1) Прямоугольные координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками
плоскости с заданными координатами. Уравнения прямой и окружности.
2) Вектор. Длина и направление вектора. Угол между векторами. Коллинеарные вектора.
Сложение векторов и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства. Разложение
вектора по осям координат. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов и его
свойства Проекция вектора на ось.
3
II. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ
Алгебра
1. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
2. Корень n-й степени и его свойства.
3. Формула л-го члена арифметической профессии.
4. Формула n-го члена геометрической профессии.
5. Функция у = кх , ее свойства и график.
6. Функция у = к/ х , ее свойства и график.
7. Функция у = kx+b, ее свойства и график.
8. Функция у = х , ее свойства и график.
9. Функция у = ах2 + Ьх + с, ее свойства и график.
10. Решение квадратных уравнений. Формулы корней квадратного уравнения.
11. Разложение квадратного трехчлена на множители.
12. Формулы сокращенного умножения: а2 — b2 (a ± b)2.
13. Решение линейных уравнений и сводящихся к ним (на конкретных примерах).
14. Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств (на конкретных примерах).
 a1 x  b1 y  c1

a x  b2 y  c2
15) Решение системы уравнений:  2
16) Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
17) Формулы двойного угла.
Геометрия
1) Свойства равнобедренного треугольника.
2) Свойства биссектрисы угла.
3) Признаки параллельности прямых.
4) Теорема о сумме углов треугольников.
5) Признаки подобия треугольников.
6) Свойства параллелофамма и его диагоналей.
7) Свойства прямоугольника, ромба и квадрата.
8) Окружность, описанная около треугольника.
9) Окружность, вписанная в треугольник.
10) Теорема о вписанном угле в окружность.
11) Свойство касательной к окружности.
12) Теорема Пифагора.
13) Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° , 60° .
14) Сложение векторов и его свойства.
15) Скалярное произведение векторов и его свойства.
16) Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции.
17) Уравнение прямой и окружности.
18) Теорема синусов.
19) Теорема косинусов.
4
III. ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Экзаменуемые должны:
владеть навыками вычислений при выполнении действий с рациональными числами
(натуральными, целыми, обыкновенными и десятичными дробями);
уметь выполнять тождественные преобразования основных типов алгебраических
выражений (многочленов,1 дробно-рациональных выражений, выражений содержащих
степени и корни), тригонометрических выражений;
уметь решать уравнения, неравенства и их системы первой и второй степени и неравенства,
приводящие к системам первой и второй степени, а также решать задачи на составление
уравнений или их систем;
уметь строить графики функций, предусмотренных программой;
уметь изображать геометрические фигуры и производить простейшие построения на
плоскости;
владеть навыками измерения и вычисления длин, углов и площадей, применяемых для
решения разнообразных геометрических и практических задач.
Тренинговые практические задания по математике
Тема I. «Отношения и пропорции»
1. НАЙТИ НЕИЗВЕСТНЫЙ ЧЛЕН ПРОПОРЦИИ:
1
2
3 : x  1 : 0,75
№ 1.1.
7
7
2
2
№ 1.2. 1 : 1,25  3 : y
3
3
1
7
2 : 2,75  z : 1
№ 1.3.
4
15
3
11
№ 1.4. 2 : x  4,4 :
5
13
2
44 : k  6,03 : 0,09
№ 1.5.
3
№ 1.6. А : 5,1 = 3,5 : 8,5
№ 1.7.
№ 1.8.
№ 1.9.
№ 1.10
№ 1.11.
№ 1.12.
2. ВЫРАЗИТЬ ВЕЛИЧИНУ ИЗ ДАННОГО РАВЕНСТВА:
bc
№ 2.1. a  ; c  ?
d
№ 2.2. а = k .(cb + dе); b – ?
p
№ 2.3. m  n  ; b  ?
b
ab
 d  f ; a ?
№ 2.4.
c
№ 2.5. F = 1,8C + 32; C – ?
1
3
2 : y  1 : 1,5
7
7
0,087 : 0,06 = 5,8 : Х
2
y(2  y) 5  16 y

12
2
0,3( y  3) 1,2 y
 1
1 13
33
2,12  a 0,1  a

2
4
0,3  a 0,1  a

3
5
№ 2.6. S = π . r2;
r–?
s
№ 2.7. v  ; t  ?
t
at 2
; t ?
№ 2.8. S 
2
V  V0
; V0  ?
№ 2.9. S 
t
3. Задачи на проценты.
№ 3.1. ЧИСЛО 600 УВЕЛИЧИЛИ НА 10%, РЕЗУЛЬТАТ УМЕНЬШИЛИ НА 10%. КАКОЕ ПОЛУЧИЛОСЬ
ЧИСЛО?
№ 3.2. ЦЕНА ТОВАРА БЫЛА 340 РУБ., ПОТОМ ОНА УВЕЛИЧИЛАСЬ НА 10% И ЕЩЕ НА 10%.
КАКОВА ТЕПЕРЬ СТАЛА ЦЕНА?
5
№ 3.3.
В
БАНК ПОЛОЖИЛИ 1000 РУБ. ПОД 3% ГОДОВЫХ. КАКОЙ БУДЕТ СУММА ЧЕРЕЗ ДВА
ГОДА?
№ 3.4. ПОСЛЕ СНИЖЕНИЯ ЦЕНЫ НА 20% ПРИБОР СТАЛ СТОИТЬ 160 РУБЛЕЙ. КАКОВА БЫЛА ЕГО
ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ЦЕНА?
№ 3.5. СКОСИЛИ 32% ЛУГА, ПОСЛЕ ЧЕГО ОСТАЛОСЬ ЕЩЕ 136 ГА. КАКОВА ПЛОЩАДЬ ЛУГА?
№ 3.6. УЧЕНИК ИЗРАСХОДОВАЛ 70% ИМЕЮЩИХСЯ У НЕГО ДЕНЕГ, ПОСЛЕ ЧЕГО У НЕГО
ОСТАЛОСЬ 12 РУБ. СКОЛЬКО ДЕНЕГ БЫЛО У УЧЕНИКА ПЕРВОНАЧАЛЬНО?
№ 3.7. ОТРЕМОНТИРОВАНО 29% ВСЕХ ПАРТ, ПОСЛЕ ЧЕГО ОСТАЛОСЬ ЕЩЕ 284 ПАРТЫ. СКОЛЬКО
ПАРТ В ШКОЛЕ?
№ 3.8. РАЗНОСТЬ ДВУХ ЧИСЕЛ 1,4; 15% ОДНОГО ИЗ НИХ И 25% ДРУГОГО В СУММЕ ДАЮТ 1,89.
НАЙДИТЕ ЭТИ ЧИСЛА.
№ 3.9. СУММА ДВУХ ЧИСЕЛ РАВНА 145; 7% ОТ ПЕРВОГО ЧИСЛА И 4% ОТ ВТОРОГО В СУММЕ
РАВНЫ 7,2. НАЙТИ ЭТИ ЧИСЛА.
№ 3.10. КАРТОФЕЛЬ СОДЕРЖИТ 20% КРАХМАЛА. СКОЛЬКО КАРТОФЕЛЯ НУЖНО ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ
14,8 КГ КРАХМАЛА.
№ 3.11. В КЛАССЕ 18 МАЛЬЧИКОВ, ЧТО СОСТАВЛЯЕТ 45% ВСЕХ УЧАЩИХСЯ КЛАССА. СКОЛЬКО
ДЕВОЧЕК В КЛАССЕ.
№ 3.12. СЕМЬЯ ЗАГОТОВИЛА НА ЗИМУ 238 КГ ОВОЩЕЙ: КАРТОШКУ, КАПУСТУ И ЛУК.
КОЛИЧЕСТВО КАПУСТЫ СОСТАВЛЯЕТ 44% ОТ МАССЫ КАРТОФЕЛЯ, А ЛУК СОСТАВЛЯЕТ
1
3
ОТ МАССЫ КАПУСТЫ. В КАКОМ КОЛИЧЕСТВЕ ЗАГОТОВЛЕН КАЖДЫЙ ВИД ОВОЩЕЙ?
№ 3.13. СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ ОТ ЧИСЛА 3,25 СОСТАВЛЯЕТ ЧИСЛО 1
4
?
9
Тема II. «Формулы сокращенного умножения и их применение»
1. Раскройте скобки в выражении, используя формулы сокращённого умножения.
№ 1.1.
№ 1.2.
№ 1.3.
№ 1.4.
№ 1.5
№ 1.6.
(а + х)2
(B – Y)2
(6х – 3)2
(7У + 5)2
(8х + 3у)2
(6Т2 – 4П)2
№ 1.7.
№ 1.8.
№ 1.9.
№ 1.10.
№ 1.11.
№ 1.12.
(9р – 2q3)2
(10z3 + 3t2)2
(3а – 1)(3а + 1)
(6х – 2)(6х + 2)
(10т – 4)(10т+4)
(4х2–2у2)(4х2+2у2)
№ 1.13.
№ 1.14.
№ 1.15.
№ 1.16.
№ 1.17.
№ 1.18.
(10а3–5b2)(10а3+5b2)
(3n4 –т4)( 3n4+т4)
(х – 1)(х2 + х + 1)
(х – 2)(х2 +2х + 4)
(Х +3)(Х2 – 3Х + 9)
(Х+4)(Х2–4Х+16)
2. УПРОСТИТЕ ВЫРАЖЕНИЕ, ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ, И НАЙДИТЕ
ЕГО ЗНАЧЕНИЕ ПРИ ДАННОМ ЗНАЧЕНИИ ПЕРЕМЕННОЙ.
№ 2.2. (Х – З)З –(Х + 3)(Х – 3) ПРИ Х = – 0,1
№ 2.1. (а + 3)2 –(а – 2)(а + 2) при а = –3,5
3. ВЫЧИСЛИТЕ НАИБОЛЕЕ РАЦИОНАЛЬНЫМ СПОСОБОМ:
№ 3.1 532 - 432;
№ 3.2.
144 2  18 2
№ 3.3.
1532  90 2
7,8  8,7  7,8  1,3
№ 3.4.
100
910
137  1232
2
4. Разложите на множители:
6
№ 4.1. а2 – 25
№ 4.2. b2 – 81
№ 4.3. 49Х2 – 121А2
№ 4.4. А2С4 – 9
№ 4.5. Х4 – 1
№ 4.6. 25 – N6
№ 4.7. 3а2 – 12
№ 4.8. 9B3 – B
№ 4.9. а3 +8
№ 4.10. B3 – 27
№ 4.11. с3 – 64
№ 4.12. D3 + 125
№ 4.13.
№ 4.14.
№ 4.15.
№ 4.16.
№ 4.17.
5a2 + 10ab + 5b2
3M2 + 3N2 – 6MN
4m3 – 4n3
13A3 – 13B3
m2 –2n – m – 4n2
5. СОКРАТИТЕ ДРОБЬ:
xz  3 yz
x 2  3xy
3m  6n
№ 5.2.
12n  6m
pq 4  cq 4
№ 5.3.
cq 3  pq 3
y2  x2
№ 5.4.
x 2  2 xy  y 2
№ 5.1.
№ 5.5.
1 2 p
1 4 p  4 p2
c 2  18c  81
№ 5.6.
9c
3
a 8
№ 5.7. 2
a  2a  4
125 y 3  1
№ 5.8.
1  5 y  25 y 2
4t 2  2t  1
8t 3  1
27 5  27 4
№ 5.10. 8
9  97  96
9 23  9 22  9 21
№ 5.11.
2714  2713
№ 5.9.
6. Упростите выражение:
1
х2

2
х
х
2т  1 3т  1

№ 6.2.
т
т2
1 2 р р2 1
№ 6.3.
 4 2
р5
р
р
№ 6.1.
№ 6.4.
№ 6.5.
№ 6.6.
№ 6.7.
№ 6.8.
№ 6.9.
№ 6.10.
№ 6.11.
№ 6.12.
№ 6.13.
1  5d 2 d  5 1
 4  3
d6
d
d
3
5

x y x y
p  2 p 1

p 1 p  3
m
n

mn mn
a 1
a

2a  8 a  4
3c  2
5

2
c  4c  4 c  2
2m  7
2

2
m  10m  25 m  5
№ 6.14.
№ 6.15.
№ 6.16.
№ 6.17.
№ 6.18.
№ 6.19.
№ 6.20.
7
1
b 2  18
 3
b  3 b  27
y2  4
1

3
y 8 y 2
3a (16  3a ) 3(1  2a ) 2  9a


2  3a
3a  2
9a 2  4
2
2
a b
ab
:
2
x  3x 3x  9
m3  m2
y2
 2
y4
m m
2
c  49 2c  14
:
10cd
5d
2
5a
5a
:
2
a  16 a  4
2b 
ab


  ( a  b)
ab
 a
n
 m
 mn
 2
 2

 n  mn m  mn  m  n
a 2  25
1
a 5
 2
 2
a  3 a  5a a  3a
 pq
p  p3  q3
№ 6.21.  2
 2
 : 3
2
 p  pq q  pq  p  pq
7. Упростите выражение и найдите его значение при заданном значении переменной:
№ 7.1.
a 2  58
6
при а = 12

a 8
a 8
№ 7.2.
d2 2
1

d 1 d 1
ПРИ D = 4
Тема III. «Квадратные корни. Преобразование выражений,
содержащих квадратные корни»
1. Исключите рациональность в знаменателе дроби:
4
5 1
№ 1.1.
5
12
№ 1.2.
10
2 3
2. Упростите выражение:
№ 1.3.
№ 2.1. 5 128  3 2  6 72
3

5  1 1  0,75 5
№ 2.5. 
4

0,27а  75а  48а
№ 2.6.
№ 2.2.
№ 2.3.

 12  3 
5 12  2 48  2 27  3  20
3 8  128  800  2  20
2
2
3 2
№ 1.4.



№ 2.4.
3. Докажите, что верно равенство:
62 5
1
5 1
3 2
1
52 6
№ 3.1.
№ 3.2.
№ 3.3.
3 3 6  3 6  3
№ 3.4.
7  40  5  2
№ 3.5.
2 3 
3 1
2
4. Упростите выражение:
№ 4.1.
81а 2 , если а > 0
№ 4.2.
№ 4.5. a  b
24х 2 , если х < 0
№ 4.6.  5 у 6
8т 2 п 2 , если т < 0, п > 0
3
№ 4.4. b  5 2
, если b > 5
b  10b  25
№ 4.3.
1
, где a + b < 0
a  2ab  b 2
1
, где у < 0
81 у 10
2
№ 4.7. х 2 49х 6 , где х ≥ 0
Тема IV. «Степень с рациональным показателем»
1. Представить степень с дробным показателем в виде корня:
2
№ 1.1. 5 3
№ 1.4.
у
2
2 23
1
№ 1.2. 3 3
3
№ 1.3. х 4
8
13
№ 1.5.  
 3
№ 1.7.
№ 1.6. B1,5
№ 1.9.
2а 
1
3
3
№ 1.8. а  х 5
х  у 
2
3
№
2
1.10.
№ 1.11. 3а  b 4
3
2
х3  у3
1
1
№ 1.12. x 2  y 2
2. Представить заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:
№ 2.1.
№ 2.2.
7
1,3
№ 2.3.
2
3
№ 2.5.
5
4аb 2
№ 2.7.
11
4
5c 2
а4
№ 2.4.
5
36
№ 2.6.
3
a 2  b2
№ 2.8.
5
ab
3. Вычислите:
3
№ 3.1. 49
1
2
№ 3.4. 25
1
№ 3.2. 1000 3
№ 3.5. 9
1
 34
№ 3.7.  3 
 8
1
2
2
2 12
№ 3.8. 0,0013
11
№ 3.3. 27 3
№ 3.10 8
№ 3.9. 4
№ 3.6. 0,16 2
 13
№ 3.11. 32
 12
№ 3.12 16
 15
 14
4. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении
переменной:
а 5  а 8
№ 4.1.
при а = 6
а 2
2
а 6
№ 4.4. 3 2 при а =
3
а а
с 7  с 3
№ 4.2.
при с = 4
с6
№ 4.7. а 7  а 5  при а =
№ 4.8. а 3  
2
1
5
№ 4.5. с 5  с 3  при с =
1
3
1
2
1
а 9
№ 4.3. 2 5 при а =
2
а а
9
1
а
№ 4.6.
при а =

3
2
а2
 
1
при а = 0,1
а 5
5. Вычислите:
№ 5.1. (27 . 3–4)2
№ 5.2.
6 4  6 9
6 12
№ 5.4.
54  49 3
7 7  253
8112  10 7
№ 5.8.
10 5  2717
2 5  8 2
16 1
319  27 5
№ 5.6.
93
№ 5.3. 16 . (2–3)2
№ 5.5.
7 7  7 8
7 13
№ 5.7.
6. Представить заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:
№ 6.1.
7 1
№ 6.2.
12
b 5
№ 6.3.
1
4
x
№ 6.4.
3
1
3
a 2
7. Сравните:
1
1
№ 7.1. 2 2 и 3 2
1
1
1
№ 7.2. 0,3 2 и 0,5 2
1
№ 7.3. 5 2 и 5 3
1
8. Упростите выражение:
1
1
№ 8.1. с 2  с 2
 
1
№ 8.4. а 5  a 6
№ 8.7. c
9
1
2
1
2
2
№ 7.4. 7 2 и 7 6
7
№ 8.10. y 3  3 y 2
1
1
№ 8.2. b 3  b 2
2
3
№ 8.3. a  a
1
6
 
a 
№ 8.5. b
1
2
№ 8.6.
3
2
1
3
№ 8.8.
p 
3
3
2
9
№ 8.11. z 4  4 z
1
4
3
№ 8.9. x 2  x
№ 8.12.
4
c3  4 c
9. Найдите значение выражения:
№ 9.1. 3  9 0, 4  5 3
№ 9.2. 4 3  2 3  8 9
№ 9.4. 27  64
1

№ 9.5.   811 
 16

1
1
3
10. Упростите выражение:
№ 10.1.
х
 23
5
 х3
12
№ 10.2.
3
у7  у
4
7
1
№ 9.3. 8 3 16 3  3 4
 14
 1

№ 9.6.   0,04 
 36

 12
 12
c 
№ 10.3.
 
у 
6
х5
1
1
2
4
 23
2
1
1
c6 c2
11. Представьте в стандартном виде число:
№ 11.1. 275
№ 11.2. 3432
№ 11.3. 8
№ 11.4. 10000
№ 11.5. 12,343
№ 11.6. 125,1
№ 11.7.
№ 11.8.
№ 11.9.
№ 11.10. 0,012
№ 11.11. 0,00014
№ 11.12. 0,5555
2745,08
7,355
0,355
12. Выполните действия, переходя к стандартному виду чисел:
№ 12.1. 230000 . 0,00017
№ 12.2. 0,0000252
№ 12.3.
№ 12.4.
0,000001253
1200002 . 0,000023
13. Сравните:
№ 13.1. (1,3 . 10–2) . (3 . 10–1) и 0,004
2,4 10 4
№ 13.2.
и 0,012
2 10 3
№ 13.3. (2,1 . 10–1) . (4 . 10–2) и 0,008
2,8 10 6
№ 13.4.
и 0,14
2 10 4
14. Представьте выражение в виде суммы:

№ 14.2. a  b  a  b 
№ 14.3. b  c  b  c 

1
1
1
 
№ 14.8. 1  c 
№ 14.9. x  3 x  3
№ 14.10. a  b  a  a  b  b 
№ 14.11. d  1 d  1
№ 14.12. a  b  a  a  b  b 
1
№ 14.1. x 2  y 2  x 2  y 2
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
4
2
3
3
4

№ 14.4. x 0,5  y 0,5  x 0,5  y1,5

a
1

 2b 
№ 14.6.
1
2
1
2

1
2
2
1
3
1
2
1
2
2
   2c
1
3
1
2

1
2
1
1
3
1
№ 15.2. x 4  x 3
10
1
2
1
2
1
2
1
3
15. Упростить выражение:
№ 15.1. 1  c 2
2
1
3
2
1
№ 14.5. m 2  n 2
1
№ 14.7. 1  b 2
2
3
  2x
2
1
3
7
12
1
3
2
3
  2x  y
b  c  b  c 
a  b   a  b 

1
2
1
№ 15.3. x 2  y 2
№ 15.4.
№ 15.5.
1
2
1
2
1
4
1
3
2
1
3
1
4
1
3
2
1
3
x  1 x 1 x  1
a  5a  10a
a  b  a  b  a  b 
1
4
№ 15.6.
2
3
№ 15.7.
2
1
4
2
1
2
1
4
№ 15.8.
1
2
2
1
8
1
4
1
8
1
8
1
8
16. Разложите на множители:
1
1
1
1
№ 16.1. 2  2 2
№ 16.2. 3  3 2
№ 16.3. a  a 2
№ 16.4. b 3  b
17. Сократите дробь:
1
№ 17.1.
1
4  32
1
x2  y2
№ 17.4.
x y
1
2
3 3
1
x  x2
№ 17.2.
2x
1
1
2
a b2
№ 17.3.
a b
10
№ 17.7.
1
b2 5
№ 17.5.
b  25
1
1
c  2c 2  d 2  d
№ 17.6.
cd
1
10  10 2
mn
№ 17.8.
2
1
18. Найдите значение выражения:
№ 18.1.
5
1
5
1
1
x6  x3
2x 2
1
№ 18.3.
при х = 9
 1
x  4 x2  2
2
2
№ 18.4. 1
при у = 100
 1
4
4
y 3 y 3
при х = 1,44
x6  x3
2
№ 18.2.
m 3  2,25
1
m 3  1,5
при т = 8
19. Упростите выражение:
3
a b
1
3
a2 b2

№ 19.1. 1
1
a b
a2 b2
3
№ 19.2.
№ 19.3.
3
a2 b2
1
2
a b
1
2
x
1
2
x y
1
2

№ 19.4.
a
a b
1
2
1
2
a  a b  b

1
a2  b2
1
1
 2a 2  b 2
1
2
1

a2
1
2
a b
№ 19.5.
1
1
2
2

q
p


1
1
1
 p  p 2  q 2 q  p 2  q 12

1
2

b
1
 pq 2  p 2  q


pq

1
1
x  y2
Тема V. «Линейные уравнения и неравенства»
1. Решите уравнения:
№ 1.1.
№ 1.9.
11(у–4) +10(5–3у) –3(4–3у)= – 6
11
1
a  a 2 b2
y
1
2
1
2
m3  m3 n3  n3
5 x
4x 1
 3x 
2
2
5
1
№ 1.10.
№ 1.2. 10(3Х–2) –3(5Х+2) +5(11–4Х)= 25
№ 1.3.
3 x  12 8  x

0
17
17
3
7
4  20 y 2


2 y 1 2 y 1 1 4 y 2
y5
y 5
y  25
 2
 2
№ 1.12. 2
y  5 y 2 y  10 y 2 y  50
3
1
28


№ 1.13.
1 x 1 x 1 x2
5
3
20

 2
№ 1.14.
x2 x2 x 4
x2
3
3

1  2
№ 1.15.
x 1 x  2
x x2
№ 1.11.
№ 1.4. (3Х–1)2 –2Х = (3Х+2).(3Х–2) + 1
№ 1.5.
3  2x x
2x 1
 1 
x
2
3
4
№ 1.6. (2Х+3)2 –3(Х+2)= 2Х(2Х+1) –3(Х–2)
№ 1.7.
3
7
10


y2 y2 y
5  x x 1
x2

3
x
3
2
6
№ 1.8. (5Х–3)2 +2(3Х–1)= (5Х–1).(5Х+1) –3(2Х–3)
2. Решите неравенства:
№ 2.1.
№ 2.2.
№ 2.3.
№ 2.4.
№ 2.5.
№ 2.6.
5(х – 1) + 7 ≤ 1 – 3(х + 2)
4(а + 8) – 7(а – 1)  12
4(b – 1,5) – 1,2 > 6b – 1
1,7 – 3(1 – m) < –(m – 1,9)
a(a – 4) – a2 > 12 – 6a
(2x – 1).2x – 5x < 4x2 – x
№ 2.7. (a – 1)2 – (a – 7).(a – 3) < 2a + 0,8
4 x
 5x  0
№ 2.12.
№ 2.16.
5
x  3 2x 1

4
№ 2.13. x 
№ 2.17.
5
10
2x 1 x  3

1
№ 2.14.
№ 2.18.
4
2
5x
0
№ 2.15.
№ 2.19.
1 x
№ 2.8. (3x – 1)2 – 3x(1,2 – 3x) > 8x + 177
2  3x
0
№ 2.9.
18
12  5 x
0
№ 2.10.
42
3 x 2 x

0
№ 2.11.
4
3
x4
4  5x
0
0
№ 2.20.
x
x
3
№ 2.21. (3x – 4).(x – 1) ≤ 0
0
№ 2.22. (22 – x).x ≥ 0
x2
5
№ 2.23. (1 – 3x).(1 – 2x) > 0
0
№ 2.24. (x + 1).(5 + 2x) > 0
1 x
№ 2.25. (1,8 – x).(3 + x2) > 0
2x  1
0
№ 2.26. (15 – 2x).(4x2 + 1) <
x
0
12
Тема VI. «Квадратные уравнения и неравенства»
1. Решить неполное квадратное уравнение:
№ 1.1. х2 +5х = 0
№ 1.2. 2Х2 – 9Х = 0
№ 1.3. –2х2 +11 = 0
№ 1.4. 6х2 = 0
2. Решите уравнение:
№ 2.1. 4х2 – 3х + 7 = 2х2 + х + 7
№ 2.2. (2х + 3).(3х + 1) = 11х + 30
№ 2.3. 1 – 2х + 3х2 = х2 – 2х + 1
№ 2.5. 25х2 + 10х + 1 = 0
№ 2.6. 4х2 + 10х – 6 = 0
№ 2.7. 3х2 – 8х + 5 = 0
1
1
№ 2.8. x 2  x   0
3
4
№ 2.4. (5х + 2).(х – 3) = –13(2 + х)
3. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:
№ 3.1. х2 +х –2=0
№ 3.2. х2 +2х –4=0
№ 3.3. х2 +5х +9=0
№ 3.4. 2х2 –х –3=0
4. Составьте квадратное уравнение по заданным корням:
№ 4.1.
х1=4; х2=2
№ 4.2.
х1= 23 ; х2= 1 12
№ 4.3.
№ 4.4.
х 1= 2 ;
х2= – 2
х1=4– 3 3 ; х2=4+ 3 3
5. Найдите значение k, при котором квадратное уравнение имеет два одинаковых корня:
№ 5.1. х2 – 2kх + 1 = 0
№ 5.2. 3х2 – 2kх – k + 6 = 0
6. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ K, ПРИ КОТОРОМ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ 3Х2–3KХ–K +6=0 НЕ ИМЕЕТ КОРНЕЙ.
7. НАЙДИТЕ КОРНИ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА И РАЗЛОЖИТЕ ЕГО НА МНОЖИТЕЛИ:
№ 7.1. 3Х2 – 5Х – 2
№ 7.2. 5Х2 + 3Х – 2
8. СОКРАТИТЕ ДРОБЬ:
x 2  2x  6
x4
x6
№ 8.2.
2
x  8 x  12
x2  7x  6
3x 2  x  2
2x 2  x 1
№ 8.4. 2
x  4x  5
№ 8.1.
№ 8.3.
№ 8.5.
3a 2  5a  2
a 2  2a
9. Решите уравнение:
№ 9.1. (2х – 1)(х + 3)–2(3х – 1)=(х – 1)2
№ 9.2. (3х – 1)(х + 4)–2(3х – 2)=(х + 2)2 –4х– 1
№ 9.3. (2х + 3)(х – 2)–3(2х + 1)=(х – 2)2 + 4(х – 1) –1
10. Упростите выражение:
2
5
 2
2 x  1 2 x  3x  2
№ 10.1.
№ 10.2.
7
5

5 x  3x  2 5 x  2
2
11. Решите неравенство:
№ 11.1. 2х2 – х – 6  0
№ 11.3. –2Х2 – 5Х + 18 ≤ 0
№ 11.5. –2х2 + х ≤ – 6
№ 11.2. 3Х – 7Х + 4 ≤ 0
№ 11.4. 5х ≥ 4 – 8х
№ 11.6. Х2 + 7 < 0
2
2
13
Тема VII. «Уравнения и неравенства, содержащие модуль»
1. Запишите в виде двойного неравенства:
№ 1.1. |X| < 4
№ 1.2. |X| ≤ 8
2. РЕШИТЕ ДВОЙНОЕ НЕРАВЕНСТВО, ЗАПИСАВ ЕГО В ВИДЕ СИСТЕМЫ ДВУХ НЕРАВЕНСТВ:
№ 2.1. 2 < Х–5≤ 10
№ 2.2. 0 ≤ Х+6 < 20
№ 2.3. 0,2 ≤ 2Х–4 <
4
5
№ 2.4. 0,1 < 3Х+5 ≤
3
4
3. РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВА:
№ 3.1. |X| <
1
5
№ 3.2. |X| ≤ 0,8
№ 3.3. |X + 3| ≤ 4,5
№ 3.4. |X – 4| < 5 14
№ 3.5. |3X + 4| < 8
№ 3.6. |3 – 5X| ≤ 0,5
№ 3.7. |4X + 8| ≤ 8
№ 3.8. |–7 + 2X| ≤ 1
№ 3.9. Х + 2|X – 3| ≤ 2
№ 3.10. |X + 5| ≤ 2Х + 4
4. ПОКАЖИТЕ НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ НЕРАВЕНСТВА:
№ 4.1. |X|  3
№ 4.2. |X|  1
№ 4.3. |X| ≥
1
2
№ 4.4. |X| ≥
3
4
5. Решите неравенства:
№ 5.1. |x – 1|  5
№ 5.3. |x + 4| ≤ 0,5
№ 5.5. |x + 5| ≥ 0,8
№ 5.2. |X + 1|  4
№ 5.4. |2X – 1|  3
№ 5.6. |3X – 3|  5
Тема VIII. «Системы уравнений и неравенств.»
1. Решите систему уравнений:
5 x  3 y  14
№ 1.1. 
2 x  y  10
x  2 y  5
№ 1.2. 
2 x  3 y  9
№ 1.7.
 5 x  7 y  6

2 x  7 y  76
№ 1.3.
2 x  y  2

3x  2 y  3
№ 1.4.
3x  4 y  55

7 x  y  56
4 x  3 y  12

№ 1.11.  4
 3 x  y  4
4 x  7 y  30
№ 1.5. 
4 x  5 y  90
7 x  6 y  32
№ 1.6. 
7 x  5 y  230
x  y  8
№ 1.15. 
 xy  12
4 x  5 y  1
№ 1.8. 
2 x  2,5 y  5
 xy  2
№ 1.12. 
x  y  1
3x  5 y  11
№ 1.9. 
9 x  15 y  33
5x 2  2 y  3
№ 1.13. 
x  3y  4
2 x 2  y 2  41
№ 1.16.  2
2
 x  3 y  52
 x 2  3х  4 y  20
№ 1.17.  2
 x  2 х  y  5
7 x  5 y  65
№ 1.10. 
35x  25 y  84
 x  3 y  11
№ 1.14. 
2
2 x  y  14
 у 2  3x  y  1
№ 1.18.  2
 у  6x  2 y  1
2. Решите системы неравенств:
14
x  5
№ 2.1. 
x  7
7  2 x  0
№ 2.9. 
6 x  20  0
x  0

№ 2.2. 
1
 x  2
2 x  4  0
№ 2.10. 
4  3 x  0
x  1
№ 2.3. 
x  5
x  8
№ 2.4. 
 x  12
7 y  42
№ 2.5. 
2 y  4
3x  18  0
№ 2.6. 
4 x  12
№ 2.7.
8 y  48

 3 y  12
7 x  14  0
№ 2.8. 
2 x  8
x x
 3  4  7
№ 2.17. 
1  x  0
 6
 x
1  4  x
№ 2.18. 
x  x  4  1
5

x

 x  4  2
№ 2.19. 
 x 1  x  2  1
 2
3
2 x  4  0
5 x  1  0
№ 2.12. 
№ 2.20.  2
3 x  6  0
 x  7 x  12  0
5x  10  15
0,4 x  1  0
№ 2.13. 
№ 2.21.  2
2,3x  4,6
x  x  6  0
7 x 2  x  3  0
5 x  7  14  3x
№ 2.14. 
№ 2.22. 
 4 x  5  29  2 x
2 x  3  7
2 x  8  0
№ 2.11. 
2 x  3  0
№ 2.15.
3x  3  2 x  1

3x  2  4 x  2
№ 2.23.
5x 2  2 x  1  0

2( x  3)  ( x  8)  4
1  12 x  3x  1
№ 2.16. 
2  6 x  4  4 x
ТЕМА IX. «УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КАК
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ УЧАСТОК ЗЕМЛИ ПЛОЩАДЬЮ 24 А ОБНЕСЁН ИЗГОРОДЬЮ, ДЛИНА КОТОРОЙ
200М. НАЙДИТЕ ДЛИНУ И ШИРИНУ ЭТОГО УЧАСТКА.
Два каменщика выполнили работу за 4 дня. За сколько дней мог выполнить эту работу
каждый из них, работая отдельно, если одному из них потребовалось бы на 6 дней
меньше, чем другому?
ТЕПЛОХОД, СОБСТВЕННАЯ СКОРОСТЬ КОТОРОГО 18 КМ/Ч, ПРОШЁЛ 50 КМ ПО ТЕЧЕНИЮ И 8 КМ
ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ, ЗАТРАТИВ НА ВЕСЬ ПУТЬ 3 Ч. КАКОВА СКОРОСТЬ ТЕЧЕНИЯ РЕКИ?
Две бригады, работая совместно, могут выполнить заказ за тот же срок, что и третья
бригада, работая одна. Сколько дней требуется на выполнение этого заказа каждой
бригаде, если третья бригада может выполнить заказ на 9 дней раньше первой и на 4 дня
раньше второй?
ОДИН ИЗ КАТЕТОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА 1 СМ МЕНЬШЕ ГИПОТЕНУЗЫ И НА 1 СМ
БОЛЬШЕ ДРУГОГО КАТЕТА. НАЙДИТЕ ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА.
В строительном колледже для проведения письменного экзамена по математике было
заготовлено 400 листов бумаги. Но так как на экзаменах по предыдущим предметам
отсеялось 20 человек, то каждому абитуриенту смогли дать на 1 лист бумаги больше, чем
предполагалось. Сколько человек сдавало экзамены по математике?
ИЗ НЕКОТОРОГО ПУНКТА ВЫШЛИ ОДНОВРЕМЕННО ДВА ОТРЯДА. ОДИН НАПРАВЛЯЛСЯ НА СЕВЕР,
ДРУГОЙ НА ВОСТОК. СПУСТЯ 4 Ч РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ОТРЯДАМИ БЫЛО РАВНО 24 КМ, ПРИЧЁМ
ПЕРВЫЙ ОТРЯД ПРОШЁЛ НА 4,8 КМ БОЛЬШЕ, ЧЕМ ВТОРОЙ. С КАКОЙ СКОРОСТЬЮ ШЁЛ КАЖДЫЙ
ОТРЯД?
15
8. От деревни до станции велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно со скоростью
10 км/ч. Найдите расстояние от деревни до станции, если известно, что на обратный путь
он затратил на 1 час больше, чем на путь от деревни до станции.
ТЕМА X. «ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА»
1. НАЙДИТЕ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ:
№ 1.1. У = Х2 + 8
№ 1.7.
4x 1
№ 1.2. y 
5
1
№ 1.3. y 
x2
№ 1.4.
№ 1.5.
y
y  x 2  5x
№ 1.13.
y
10 x
( x  1)( x  2)
5
9 x
x
y
№ 1.9.
x  6x  8
x2
№ 1.10. y 
y  2x  x 2
№ 1.11.
1 2
№ 1.6. y 
x 3
3
№ 1.15.
2
y
x
( x  12)(6 x  3)
y
№ 1.16. y 
x 2  8 x  15
3
x (7  x )
x 2  3x  4
16  x 2
№ 1.14. y 
№ 1.8. y  x  5 x  6
2
№ 1.17.
x2
x  5x  4
2
x2
5  2x
y
4  x2
№ 1.18. y 
1  2x
1
№ 1.12. y 
x( x  5)
2. Функция задана формулой у = 1 – 4х. Вычислите: f(2); f(5); f(–1); f  14  .
3. Найдите область значений функции:
№ 3.1. У = 2Х + 5
№ 3.2. У = Х2
№ 3.3. У = Х2 + 3
№ 3.4. У = Х2 – 5
4. ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ НА ЧЁТНОСТЬ, НЕЧЁТНОСТЬ:
№ 4.1. У = 2Х2 + 3
№ 4.2. У = 3Х3 + 7Х
№ 4.3. У = 2|X| + 3
№ 4.5. F(Х) = 2Х3 – 1
№ 4.6. F(Х) = – Х3 + 2
№ 4.7. F(Х) = 2|X|
№ 4.4. F(Х) = – Х2 + 2
№ 4.8. F(Х) =
1
x  2x
3
5. ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛОЙ ФУНКЦИЮ, ОБРАТНУЮ ДАННОЙ И ПОСТРОИТЬ ГРАФИКИ ВЗАИМНО-ОБРАТНЫХ
ФУНКЦИЙ:
№ 5.1. У=3Х+6
№ 5.2. У =2Х – 4
№ 5.3. Y = 4X – 8
№ 5.4. y 
1
x5
3
6. ПОСТРОИТЬ ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ:
№ 6.1. У = – Х2 + 1,5
№ 6.3. У = – 2Х2 + 6Х – 6
№ 6.2. у = х + х – 6
2
№ 6.4.
№ 6.5. У = |2X – 3|
у=–х+4
№ 6.6. у =
x2 3
7. Постройте графики «кусочных» функций и укажите число корней уравнения f(х) = р, где р
– любое действительное число:
 х 2 , если x  1

№ 7.3. f ( x )   1
 ,если x  1
х
 x , если x  2
№ 7.1. f ( x)  
 ( x  3) 2 ,если x  2
( х  4) 2  2, если
№ 7.2. f ( x)  
 x ,если x  3
x  3
8. Решите графически уравнение:
16
№ 8.1. x 2 
6
x
№ 8.2.
2
 2x  3
x
№ 8.3.
x  6 x
ТЕМА XI. «ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ГРАФИЧЕСКИЙ
СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ»
1. НАЙДИТЕ КОРНИ УРАВНЕНИЯ:
3x  x 2 2 x 2  3
№ 1.1.

x
2
6
x 2  2x x  4
№ 1.2.

x4
x4
2
4
3

 2
x  5 x  5 x  25
y  14
5
1
 2

№ 1.6.
3
y 8 y  2y  4 y  2
№ 1.5.
5x  7 4x  3

x3
x
9
 2x 1
№ 1.4.
x3
№ 1.3.
№ 1.7.
3 y 2  y  24
 2
9  y2
2. Решите графически уравнение или систему уравнений:
№ 2.1. х2 – 6х + 5 = 0
№ 2.4. –х2 + 4 = (х – 2)2
( x  2) 2  ( y  1) 2  25
№ 2.7. 
 x  2  y  6
№ 2.2. х2 = – х
№ 2.5. x 2  3  x  1
№ 2.8.
x  2 y  6

3x  2 y  6
x 2  y 2  1
№ 2.10. 
 y  2x  1
8

y 
№ 2.11. 
x
 x  2  y
 x 2  4 x  y  1
№ 2.13. 
 y  x  2  5
 x 2  y  2
№ 2.14. 
 y  x
№ 2.3. х2 = 2 – |х|
№ 2.6. 3x 3  x  2
 y   x 2  3
№ 2.9. 
 y  2 x 2
 x 2  y 2  9
 y  x  3
№ 2.12. 
ТЕМА XII. «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ»
1. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму
первых 11 членов этой прогрессии.
2. Первый и четвёртый члены арифметической прогрессии соответственно равны 1,2 и 1,8.
Найти сумму первых шести её членов.
3. Вычислить: 7,5+9,8+12,1+ ... +53,5.
4. Найти сумму всех двузначных положительных чисел.
5. Найти пятый член арифметической прогрессии 19; 15; …
6. В арифметической прогрессии (an) а2 = –2; d = 3. Найдите а10.
1
7. В геометрической прогрессии первый член равен 64, знаменатель равен . Найти пятый
4
член прогрессии.
1
8. В геометрической прогрессии первый член равен 486, знаменатель равен . Найти сумму
3
четырёх первых членов этой прогрессии.
9. Знаменатель геометрической прогрессии равен (–2), сумма её первых пяти членов равна
5,5. Haйти пятый член этой прогрессии.
10. Первый член геометрической прогрессии равен 150, четвёртый 1,2. Найти пятый член
прогрессии.
17
11. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию равна 111. Второе число
больше первого в 5 раз. Найти первое число.
12. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м
больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?
13. Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал скорость на 50 м в минуту. Какова
была скорость поезда в конце двадцатой минуты?
ТЕМА XIII. «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИИ»
1. УПРОСТИТЕ ВЫРАЖЕНИЕ:
№ 1.1. (1 – SIN T)(1 + SIN T)
№ 1.2. 1 – SIN2T + COS2T
№ 1.3. SIN2T – TG T.CTG T
sin t
sin t
1  sin t
2  sin 2 t  cos 2 t

№ 1.4.
№ 1.5.
№ 1.6.
 tgt  ctgt
1  cos t 1  cos t
1  cos 2 t
3sin 2 t  3 cos 2 t
2. По заданному значению функции найдите значение остальных тригонометрических
функций:
2
4 
t 
,
5 2
3
 t  2
№ 2.2. cos t = 0,6;
2
№ 2.1. SIN T =
№ 2.3. TG T =
3

; 0t
4
2
№ 2.4. ctg t = 
8 
t 
;
15 2
3. Построить графики функций:
№ 3.1.


y  sin  x  
3



№ 3.3. y  cos x  
2



№ 3.4. y  cos x    2
6

№ 3.2. y  sin x  1
ТЕМА XIV. «ЗАДАЧИ ПЛАНИМЕТРИИ»
1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 7 см, а основание 5см. Вычислите
периметр треугольника.
2. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 7 см, а периметр 17 см.
Вычислите боковую сторону АВ.
3. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС;  АВС=90О; АD=ВD=DС;  ВАD=640. НАЙДИТЕ  DСВ.
В
A
C
D
4. В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ СDВ С ОСНОВАНИЕМ СВ; DА – МЕДИАНА,  D = 1200. НАЙДИТЕ УГЛЫ
△АDС.
5. В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ СDВ (СD = BD)  ВDС = 1200; БОКОВАЯ СТОРОНА РАВНА
ОПРЕДЕЛИТЬ ВЫСОТУ DА.
6. ВD - МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА АВС;
ТРЕУГОЛЬНИК DАВ – РАВНОСТОРОННИЙ.
ОПРЕДЕЛИТЬ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА СDВ.
В
18
12 СМ.
A
C
D
7. Радиус окружности с центром в точке О равен 7 см, угол ВАО равен 600. Найдите хорду
АВ.
8. ИЗ ТОЧКИ С К ОКРУЖНОСТИ С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ О ПРОВЕДЕНЫ КАСАТЕЛЬНАЯ CМ (А- ТОЧКА КАСАНИЯ) И
СЕКУЩАЯ CN;  NCM= 280. ОПРЕДЕЛИТЕ ДРУГИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ОАС.
9. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ МN ТРАПЕЦИИ АВСD С ОСНОВАНИЯМИ AD =12 СМ И BC =4 СМ ПЕРЕСЕКАЕТ ДИАГОНАЛЬ ВD В
ТОЧКЕ К. ЧЕМУ РАВНЫ ОТРЕЗКИ МК И KN?
10. Сторона равностороннего треугольника равна 8 см. Найдите его медиану.
11. ДИАГОНАЛИ РОМБА РАВНЫ 12 СМ И 16 СМ. НАЙДИТЕ ЕГО СТОРОНУ.
12. В ОКРУЖНОСТИ С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ О ПРОВЕДЕНА ХОРДА АВ. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ ЦЕНТРА ОКРУЖНОСТИ
ДО ХОРДЫ АВ, ЕСЛИ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ РАВЕН 13 СМ, А ХОРДА АВ= 24 СМ.
13. В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ГИПОТЕНУЗА АВ РАВНА 13 СМ, КАТЕТ АС РАВЕН 12 СМ, КАТЕТ СВ РАВЕН
5 СМ. НАЙДИТЕ СИНУС УГЛА В.
14. ДАН ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АСВ. ГИПОТЕНУЗА АВ РАВНА 10 СМ, COSB = 0,25. НАЙДИТЕ
В
D
15. ТРЕУГОЛЬНИК АFС И DFB ПОДОБНЫ.
С
F
ЗАПИШИТЕ ОТНОШЕНИЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ СТОРОН.
КАТЕТ СВ.
А
16. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АВF И CDF ПОДОБНЫ,
ПРИЧЁМ АВ=ВF; AB//DC. ИЗВЕСТНО, ЧТО АF=I5 СМ,
AВ=12 СМ; DC=3 СМ.. ОПРЕДЕЛИТЕ
КОЭФФИЦИЕНТ ПОДОБИЯ.
А
В
F
С
D
17. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ОСНОВАНИЕ АС=8 СМ, А ВЫСОТА, ОПУЩЕННАЯ НА AC РАВНА 7 СМ. НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ
ТРЕУГОЛЬНИКА АВС.
18. НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА АВС (АВ=ВС), ЕСЛИ АВ=5СМ, АС=8 СМ.
19. В ПАРАЛЛЕЛОГРАММЕ АВСD СТОРОНЫ РАВНЫ 4 СМ И 7 СМ, А УГОЛ МЕЖДУ НИМИ РАВЕН 450 НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
20. НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА, ЕСЛИ ЕГО ДИАГОНАЛЬ РАВНА 8 СМ.
21. СТОРОНА КВАДРАТА РАВНА 12 СМ. ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ ВПИСАННОГО В НЕГО КРУГА.
22. ПРЯМЫЕ АВ И СD, НА КОТОРЫХ ЛЕЖАТ БОКОВЫЕ СТОРОНЫ ТРАПЕЦИИ АВСD, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ТОЧКЕ К; АВ=16
СМ; ВС:АD=5:9. ВЫЧИСЛИТЕ: А) ДЛИНУ ОТРЕЗКА ВК; Б) ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.
23. МЕНЬШЕЕ ОСНОВАНИЕ ВС ТРАПЕЦИИ АВСD РАВНО 12 СМ; АВ=СD; УГОЛ D РАВЕН 450; ВЫСОТА ТРАПЕЦИИ
РАВНА 8 СМ. ВЫЧИСЛИТЕ: А) ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ; Б) ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКОВ АОD И ВОС (О ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДИАГОНАЛЕЙ ТРАПЕЦИИ).
24. ОКРУЖНОСТЬ РАЗДЕЛЕНА НА ДВЕ ДУГИ, ПРИЧЁМ ГРАДУСНАЯ МЕРА ОДНОЙ ИЗ НИХ В ТРИ РАЗА БОЛЬШЕ ГРАДУСНОЙ
МЕРЫ ДРУГОЙ. ЧЕМУ РАВНЫ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ЭТИМ ДУГАМ?
25. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ОТМЕЧЕНЫ ТОЧКИ D И Е, КОТОРЫЕ ЯВЛЯЮТСЯ СЕРЕДИНАМИ СТОРОН АВ И ВС
СООТВЕТСТВЕННО. НАЙДИТЕ ПЕРИМЕТР ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА ADEC, ЕСЛИ АВ=24 СМ; ВС=32 СМ; АС=44 СМ.
26. ДИАГОНАЛЬ КВАДРАТА РАВНА 26 СМ. НАЙДИТЕ ПЕРИМЕТР ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА, ВЕРШИНЫ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ
СЕРЕДИНАМИ СТОРОН КВАДРАТА.
27. В РАВНОСТОРОННЕМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ОТМЕЧЕНЫ ТОЧКИ М, N И D, КОТОРЫЕ ЯВЛЯЮТСЯ СЕРЕДИНАМИ СТОРОН
АВ; ВС И АС СООТВЕТСТВЕННО. НАЙДИТЕ ПЕРИМЕТР ПАРАЛЛЕЛОГРАММА AМNP, ЕСЛИ ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА
МВN РАВЕН 27 СМ.
28. НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ВПИСАННОГО В ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК, СТОРОНА КОТОРОГО РАВНА 4 СМ.
29. ОДИН ИЗ УГЛОВ ОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН 300,
ТРЕУГОЛЬНИКА – 600. УСТАНОВИТЕ, ПОДОБНЫ ЛИ ТРЕУГОЛЬНИКИ.
А ОДИН ИЗ УГЛОВ ДРУГОГО
30. ЧЕРЕЗ ТОЧКИ М И К, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ СТОРОНАМ АВ И ВС △АВС СООТВЕТСТВЕННО, ПРОВЕДЕНА ПРЯМАЯ МК,
ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ СТОРОНЕ АС. НАЙДИТЕ ОТРЕЗОК СК, ЕСЛИ ВС= 12 СМ; МК=8 СМ; АС=16 СМ.
31. ИЗ ТОЧКИ D, ЛЕЖАЩЕЙ НА КАТЕТЕ АС ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА АСВ, ОПУЩЕН НА ГИПОТЕНУЗУ АВ
19
ПЕРПЕНДИКУЛЯР DE. НАЙДИТЕ ОТРЕЗОК AD, ЕСЛИ АВ=15 СМ; ВС=9 СМ; AE=4 СМ.
32. ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ОСНОВАНИЮ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА АВС, ПЕРЕСЕКАЕТ БОКОВЫЕ СТОРОНЫ
АВ И АС В ТОЧКАХ М И N. ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТРЕУГОЛЬНИК МAN РАВНОБЕДРЕННЫЙ.
33. В ПАРАЛЛЕЛОГРАММЕ АВСD ПРОВЕДЕНА ДИАГОНАЛЬ ВD И ОТРЕЗОК AF (F ВС), ПЕРЕСЕКАЮЩИЙ BD В ТОЧКЕ
О. ИЗВЕСТНО, ЧТО ВО=6 СМ; OD=18 СМ. ОПРЕДЕЛИТЕ СТОРОНУ AD, ЕСЛИ АВ= 15 СМ; ВС=9 СМ; AE=4 СМ.
34. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ТОЧКА М ЯВЛЯЕТСЯ ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИССЕКТРИС. УГОЛ ПРИ ВЕРШИНЕ А РАВЕН 640,
А ПРИ ВЕРШИНЕ С РАВЕН 420. НАЙДИТЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА AМС.
35. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внешний угол равен 36 0.
36. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы прямые?
37. Сторона правильного шестиугольника равна 6 см. Найдите длину вписанной в него
окружности.
38. Радиус окружности равен 7 см. Найдите периметр описанного около неё правильного
четырёхугольника.
39. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 3 см. Определите сторону
квадрата.
40. Найдите координаты центра и радиус окружности x2 + у2 – 4х – 2у + 1 =0.
41. Площадь треугольника АВС равна 60 см2. Найдите сторону АВ, если AC=15 см; A=300.
42. Большая диагональ ромба равна 24 см, а угол 600. Найдите длину вписанной окружности.
43. Даны две концентрические окружности, длина одной из них равна 35πсм, а другой 27л
см. Найдите ширину кольца.
44. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС
в точке F. Найдите длину отрезка BF, если сторона АВ равна 11см.
45. Меньшая сторона прямоугольника равна 6 см. Найдите длины диагоналей, если они
пересекаются под углом 600.
46. Диагональ ромба равна его стороне, её длина 10 см. Найдите вторую диагональ и углы
ромба.
47. Сторона ромба 18 см, а один из углов равен 1500. Найдите расстояние между
противолежащими сторонами ромба.
48. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 12 см, и образует с одной из
сторон прямоугольника угол, равный 600.
49. Найдите площадь равнобокой трапеции, если её основания равны 12 см и 4 см, а боковая
сторона образует с одним из оснований угол, равный 450.
50. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см, а периметр равнобедренного – 40
см. Найдите стороны данных треугольников, если они имеют общее основание.
51. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=24 см; AC=4 см; А=600
52. Известны две стороны треугольника АСВ: АВ=2 2 см и ВС=3 см, а угол между ними
равен 450. Найдите длину третьей стороны.
53. Концы отрезка АВ имеют координаты А(2;-2) и В(-2;2). Найдите координаты точки С –
середины этого отрезка.
20