Lumped parameters method

Cable simulation with lumped
parameters method in towing
problem
Выполнил: А.Д. Степанов
СПбГПУ
Руководитель к.т.н.,
зам. гл. констр. бортовых систем
В.М. Амбросовский
Objective
Development of a mathematical model of the
cable motion for marines simulators and stands
2
Introduction
• A mathematical model of the motion of the
cable ship
𝑚𝑉 = 𝐹двиг + 𝐹гд + 𝐹ад + 𝐹Арх + 𝑚𝑔 +𝐹кт
• A mathematical model of the motion of the
underwater object
𝑚𝑉 = 𝐹гд + 𝐹букс + 𝐹Арх + 𝑚𝑔 +𝐹кт
3
Cable motion equation
𝜕 2 𝑢(𝑠, 𝑡) 𝜕𝑇(𝑠, 𝑡)
𝜌
=
+ 𝜌𝐹
2
𝜕𝑡
𝜕𝑠
𝑇 𝑠, 𝑡 — tension force in the cable
𝐹 — Total vector of external forces
Defining relation
𝜕𝑢
𝑇 = 𝑓(𝜀)
𝜕𝑠
[1]
4
Formulation of problem
Wave equation:
𝜕 2 𝑢(𝑠, 𝑡) 𝜕 2 𝑢(𝑠, 𝑡)
𝜌
=
+ 𝜌𝐹
2
2
𝜕𝑡
𝜕𝑠
Methods to resolve :
• Analytical (for example, Fourier method)
• Numerical (FET, FDM)
5
Fourier method
∞
𝑢 𝑠, 𝑡 =
𝑐𝑛 𝜓𝑛 𝑥 𝑇𝑛 (𝑡)
𝑛=1
Problems with using in the task:
• Use series as is impossible
• Boundary conditions — analytically given
function
6
The simulation method
Lumped parameters method
Splitting the cable on the N elements (and N +
1 node) in the space coordinate
Development of the equation of motion for
the nodes. Boundary conditions fail into the
equations of the first and last node
Integration of the equation of motion
7
The equation of motion of the node
𝑚𝑖 𝑉𝑖 = 𝐹упр𝑖−1 + 𝐹упр𝑖+1 + 𝐹Арх + 𝐹гд + 𝑚𝑖 𝑔
𝑚𝑖 — mass of the node
𝐹упр —force from a neighbor element
𝐹𝐴рх — Archimedes force
𝐹гд — hidrodynamic drag force
8
Defining relation
𝜌𝑉𝜏 2
𝜌𝑉𝑛2
𝐹гд = С𝜏
𝑆𝜏 𝜏 + 𝐶𝑛
𝑆𝑛 𝑛
2
2
𝐹Арх = −𝜌𝑉𝑖 𝑔
𝐹упр =
𝑘
𝑟 − 𝑟0
𝑟
0,
𝑟 , 𝑖𝑓 𝑟 − 𝑟0 ≥ 0
𝑒𝑙𝑠𝑒
9
Determination of the coefficients
• С𝑛 — drag coefficient. Determined according
to the plot of the experimental dependence
on the Reynolds number [2].
• 𝐶𝜏 — drag coefficient. Determined by the
formula from [2]
• 𝑘 —stiffness. Determined by 𝑘 =
𝐸𝑆
,
𝑟0
где 𝐸—
• Young's modulus, 𝑆—sectional area, 𝑟0 —
equilibrium distance
10
The method of integration
Leapfrog method
1
𝑉 𝑡 + 𝑑𝑡 = 𝑉 𝑡 + 𝐹 𝑡 + 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑚
𝑅 𝑡 + 𝑑𝑡 = 𝑅 𝑡 + 𝑉 𝑡 + 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Bonuses:
o inversability
o nondissipative
Limitations:
o 𝑑𝑡 ≤
1
𝑇
20 0
=
1
20
𝑚𝑖
𝑘𝑖
11
Test example
Boundary conditions:
𝑠 = 0: 𝑢𝑥 = 0, 𝑢𝑦 = 0
s = l: 𝐹𝑥 = 𝐻, 𝐹𝑦 = 𝑉
12
analytical solution
Аналитическое решение контрольного примера [3]:
𝐻𝑠 𝐻
𝑉 − 𝜌𝑔𝐿0 + 𝑟𝑔𝑠
𝑉 − 𝜌𝑔𝐿0
−1
−1
𝑋 𝑠 =
+
sinh
− sinh
𝐸𝑆 𝜌𝑔
𝐻
𝐻
𝑌 𝑠
𝑠
1
=
𝑉 − 𝜌𝑔𝐿0 + 𝜌𝑔𝑠
𝐸𝑆
2
𝐻
+
𝜌𝑔
𝑉 − 𝜌𝑔𝐿0 + 𝜌𝑔𝑠
1+
𝐻
2
𝑉 − 𝜌𝑔𝐿0
− 1+
𝐻
2
13
Test parameters
• linear weight — 0.7 кг/м
• diameter — 10 мм
• Young's modulus — 1.0 ∙
8 𝐻
10 2
м
• Length — 10 м
• Vertical force(V) — 75 H
• Horizontal force(H) — 50 H
14
The results of simulation
15
The study of the mathematical model
of the cable motion
Main test modes in simulators and stands :
• movement of cable without underwater plug;
• movement of cable underwater plug, fixed at
the beginning of the simulation;
• movement of cable, when vessel speed
changes;
• cable-rope movement when traversing
barrage.
16
Параметры моделируемого троса
• Погонный вес — 12.5 кг/м
• Диаметр — 66 мм
• Модуль Юнга — 0.8 ∙
6 кгс
10 2
см
= 0.8 ∙
11 𝐻
10
м2
• Длина — 500/800 м
17
Movement of cable without
underwater plug
18
Movement of cable underwater plug,
fixed at the beginning of the
simulation
При недостаточной длине
буксирного троса происходит
всплытие объекта буксировки
При постоянной скорости
буксировки происходит
перерегулировка скорости
19
Изменение вертикальной
компоненты скорости
буксировщика приводит к
колебаниям в скорости
заглубителя, причем с
увеличенной амплитудой.
В таком случае скорость
подводного заглубителя
изменяется по такому же
закону, но со смещенной
фазой. Сдвиг фазы
зависит от частоты.
20
Если одновременно
изменяются
и продольная, и
вертикальная составляющая
скорости буксировщика, то в
скорости подводного
заглубителя происходит
сложение этих колебаний, с
сохранением эффекта
увеличения амплитуды.
21
Movement of cable, when vessel
speed changes
Скорость заглубителя с
запаздыванием принимает
значение скорости
буксировщика
Из-за колебаний
вертикальной скорости судна
переходный процесс для
скорости заглубителя также
оказывается колебательным
22
cable-rope movement when traversing
barrage
Изменение поперечной
компоненты скорости хода
заглубителя при огибании: она
стремится повторить скорость
буксировщика
Изменение продольной
скорость заглубителя.
23
Подводный заглубитель
стремиться повторить
траекторию движения
буксировщика.
24
Заключение
• В работе предложена математическая модель движения
кабель-троса, учитывающая гидродинамические нагрузки и
позволяющая моделировать движение кабель-троса в составе
комплекса кабельное судно—кабель-трос—подводный
заглубитель.
• Предложенная модель основана на применении метода
сосредоточенных параметров.
• Проведены проверки предложенной математической модели
на основе аналитического решения и тестовых режимов.
• Результаты работы были внедрены при разработке имитатора
комплекса «кабельное судно — кабель-трос — подводный
заглубитель».
25
Список литературы
1.
2.
3.
А. Л. Сухоруков, Динамика тросовых систем, Санкт-Петербург,
2004.
Л. Прандтль, О Титьенс, Гидро- и аэродинамика Том 2, ОНТИ
НКТП СССР, 1935
W. Raman-Nair, R. E. Baddour, Three-dimensional coupled
dynamics of a buoy and multiple mooring lines: formulation and
algorithm, Oxford University Press, 2002.
26
Спасибо за внимание!
27