Теорема, обратная теореме Пифагора

МБОУ СОШ №3 г. Семенов Нижегородской области
Теорема
Пифагора
учитель математики
Левина Татьяна Геннадьевна
Вопросы для повторения:
1. Треугольник называется прямоугольным, если…
2. Стороны в прямоугольном треугольнике называются…
3. Какими могут быть углы в прямоугольном треугольнике?
4. Гипотенузой называется…
5. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника…
6. Катетом называется…
7. Если один угол прямоугольного треугольника =50˚, то два
другие = …
8. Катет, лежащий против угла 30˚ = …
9. Как найти площадь прямоугольного треугольника?
Пифагор
С его именем связано многое в математике и
в первую очередь, конечно, теорема, носящая
его имя. Это теорема Пифагора. В
настоящее время все согласны с тем, что
эта теорема не была открыта Пифагором.
Она была известна еще до него. Ее знали в
Китае, Вавилонии, Египте. Вернее, не ее, а
частные случаи. Однако одни полагают, что
Пифагор первым дал ее полноценное
доказательство, другие же отказывают ему
и в этой заслуге.
Рассказывают, что, когда Пифагор доказал
свою знаменитую теорему, он отблагодарил
богов, принеся им в жертву сто быков.
Сонет Шамиссо:
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвопринашенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый
Диогеном и Плутархом, скорее всего, вымышлен,
ибо, как известно, Пифагор был вегетарианцем и
непримиримым противником убоя и пролития
крови животных.
Теорема Пифагора :
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
Дано :
прямоуголь ный Δ
a, b - катеты
с  гипотенуза
Доказать :
с2  a 2  b2
Доказатель ство :
b
c
a
a
c
b
a
b
c
b
Достроим треугольник до
квадрата со стороной a+b.
Площадь этого квадрата:
S к a b
2
c a
c
a
b
a
b
a
b
c
c
a
c
Достроим треугольник до
квадрата со стороной a+b.
b
Площадь этого квадрата:
S к a b
2
c
b
a
С другой стороны, этот квадрат
составлен из четырёх равных
прямоугольных треугольников и
квадрата (треугольники равны по
двум катетам).
1
2  2ab c2
S

4

ab

c
1
к
2
S   ab
2
2
ab  2ab  c2
S  c2
a2  2ab  b2  2ab  c2
2
2
2
c  a b
Что и треб. доказать.
Теорема, обратная теореме Пифагора :
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
5
3
5
4
52  32  42
25
7
24
252  7 2  242
13
12
132  52  122
8
17
15
17 2  82  152
Прямоугольные треугольники, у которых
длины сторон выражены целыми числами,
называются пифагоровыми треугольниками.
Треугольник со сторонами
3,4 и 5 часто называют
египетским треугольником.
5
3
4
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что
равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно египтянам еще около 2300 г. до н. э.,
во времена царя Аменемхета I. По мнению Кантора гарпедонапты, или
"натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных
треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Очень легко можно воспроизвести их способ
построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и
привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии
3м от одного конца и 4м от другого . Прямой угол
окажется заключенным между сторонами длиной в
3 и 4 метра.
Устная работа :
?
17
15
5
?
4
3
8
Работа по учебнику:
№ 483(г), 484(б, в, д),
498(в, д, е)
Итоги урока:
Δ прямоугольный

с  a b
2
b
2
2
c
a
с2  a2  b2

Δ прямоугольный
Домашняя работа:
п. 54, 55
№ 483(а-в), 484(а, г),
498(а, б, г, ж)