Лекция 8 1. Постановка задачи аппроксимации 2. Метод наименьших квадратов

1. Постановка задачи
аппроксимации
2. Метод наименьших квадратов
3. Линейная аппроксимация
Лекция 8
Постановка задачи
аппроксимации
• Пусть задана функциональная зависимость
y=f(x) , полученная в эксперименте
x
X1
X2
X3
…
xn
Y
Y1
Y2
Y3
…
yn
Если аналитическое выражение функции f(x)
неизвестно , то возникает задача: найти такую
непрерывную зависимость 

Y  f x 
значения которой при x=xi были близки к опытным
данным yi (i=1, 2, … , n).
Постановка задачи
аппроксимации
Геометрически задача аппроксимации
состоит в проведении кривой, как
возможно ближе примыкающей к
системе экспериментальных точек
Общий вид аппроксимирующего полинома
задача состоит в аппроксимации неизвестной
функциональной зависимости между x и y полиномом
заданной степени m и определении наилучших параметров
эмпирической зависимости методом наименьших
квадратов
m
Pm ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  am x m 

k 0
a0 a1
am
ak x k
Метод наименьших квадратов
• Пусть в результате эксперимента получена таблица
значений функции yi (i=1,...,n). Задача состоит в
аппроксимации неизвестной функциональной
зависимости между x и y эмпирической формулой :
^
^
y( x)  f ( x; a0 , a1 ,..., am )
где m – число параметров;
a0…am – неизвестные коэффициенты.
Требуется
• Определить искомые коэффициенты аj
зависимости таким образом, чтобы этот
полином наилучшим образом описывал
экспериментальные данные, а сумма
квадратов отклонений экспериментальных
значений yi от соответствующих значений,
вычисленных по аппроксимирующему
многочлену, была минимальной.
2
^


F ( a0 , a1 ,..., am ) 
 yi  f ( xi ; a0 , a1 ,..., am )  min

i 1 
n

• где F(a0, a1, …, am) – функция коэффициентов.
• В точке минимума функции F ее
частные производные обращаются в
нуль.
Полиномиальная зависимость
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm
• Дифференцируя по параметрам , получаем математическое условие
минимума квадратичной функции:
• В результате решения системы линейных уравнений получим
коэффициенты а0,а1,...,аm искомого
• полинома
Линейная аппроксимация
При обработке
экспериментальных
данных возможно
построить линейный
аппроксимирующий
полином, т.е. описать
закон изменения x
линейным уравнением
P1(x)=a0+a1x
Необходимо найти
коэффициенты a0, a1
МНК
Расчет неизвестных коэффициентов a0 и a1
Преобразование системы
Выражения для коэффициентов a0 и a1.
𝑛
𝑆1 =
𝑛
𝑥𝑖
𝑖=1
𝑆2 =
𝑛
𝑦𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖2
𝑆3 =
𝑖=1
𝑆2 𝑆3 − 𝑆1 𝑆4
𝑎0 =
𝑛𝑆3 − 𝑆12
𝑆4 =
𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖
𝑖=1
Коэффициенты
𝑛𝑆4 − 𝑆1 𝑆2
𝑎1 =
𝑛𝑆3 − 𝑆12
• Определитель системы
• Определение коэффициентов a0 и a1 возможно, если
определитель системы  0. Если определитель D=0, то система
или не имеет единственного решения
Пример: Дана табличная зависимость теплоемкости оксида углерода от температуры
T, K
CP ,
Дж
моль  К
300
400
500
600
700
800
900
1000
6.97
7.01
.12
7.28
7.45
7.62
7.79
7.93
Необходимо построить аппроксимирующий полином в виде y=a0+a1x .
Введем обозначения
T  300
x
h
, где h=100, Ср=y.
Для вычисления коэффициентов составим таблицу:
Таблица
xiyi
р
э
р
СP i / СP i  CP i /
Ti
xi
1
300
0
6.97
0
0
6.90
0.07
2
400
1
7.01
1
7.01
7.03
0.02
3
500
2
7.12
4
14.24
7.17
0.05
4
600
3
7.28
9
21.84
7.32
0.04
5
700
4
7.45
16
29.8
7.46
0.01
6
800
5
7.62
25
38.1
7.62
0.00
7
900
6
7.79
36
46.74
7.76
0.03
8
1000
7
7.93
49
55.51
7.91
0.02
28
59.17
140
213.24

yi
э
I
(C P i )
x i2
 8  a0  28  a1  59.17,

28  a0  140  a1  213.24.
59.17 28
213.24 140
a0 
 6.884,
8 28
28 140
8
59.17
28 213.24
a1 
 0.146.
8
28
28 140
y=6.884+0.146x.
T  300
Сp  6.884 
 0.146  6.445  0.146  10  2 T .
100
CP  6.445  0.146  102  T
• Разность между исходными данными и
результатами расчета по полученному
выражению определяет погрешность
аппроксимации.
• Выполненная проверка показала, что
полученное уравнение (линейное)
соответствует эксперименту.
• Если погрешность велика, то выбирают
другой вид аппроксимирующего
полинома.