5 Подготовка учащихся к государственной итоговой аттестации по геометрии в форме ОГЭ Учитель математики МБОУ «Шуруповская ООШ» Давудова С.В. 1. Окружности, углы, хорды. 2. Треугольники. 3. Четырехугольники. 4. Треугольники и окружность. 5. Четырехугольники и окружность. davudovasv 5 Теорема 1. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей (верно и обратное) davudovasv 5 Задача 1. Доказать, что если пересечь два концентрических круга секущей, то части секущей, лежащие между окружностями, равны. Е Доказать: АС = DB D А С 5 В Доказательство: 1. Проведем диаметр большей окружности ЕМ АВ АК = ВК и СК = DК К 2. Вычтем почленно АК – СК = ВК – DК АС = DВ М Ч. Т. Д . davudovasv Задача 2. В окружности с центром О проведена хорда АВ, пересекающая диаметр в точке М и составляющая с диаметром угол 60°. Найти ОМ, если АМ = 10, ВМ = 4 А Найти: ОМ С Решение: N М В 5 1. Проведем диаметр окружности CD ⇒ АN = ВN = 7 Тогда MN = BN – BM = 7 – 4 = 3 О D АВ 2. ∆MNO – прямоугольный, ∠NOM = 30° 1 ⟹ MN = MO т.е. ОМ = 2МN = 2 · 3 = 6 2 Ответ: ОМ = 6 davudovasv Теорема 2. Отрезки касательных, 5 проведенных из одной точки, равны. Теорема 3. В треугольнике с вписанной окружностью отрезок касательной равен полупериметру треугольника минус противолежащая сторона. С А В АМ = р – ВС А М О С davudovasv В Задача 3. В треугольнике со сторонами 6; 10; 12 вписана окружность. К которой проведена касательная, пересекающая две большие стороны треугольника. Найти периметр отсеченного треугольника. Найти: РQAL Решение: 1. PQAL = QA + AL + QL С 10 QL = QK + KL = QM + LN 6 М Р PQAL = QA + AL + QM + LN = (QA + QM) + Q К (AL + LN) = AM + AN = 2AM 2. PABC = AC + AB + BC = (AM +CP) + (AN+BP) + BC = 2 AM + 2BC В N 12 L А ⇒ 2AM = PABC - 2BC ⇒ AM = pABC - BC davudovasv 5 Теорема 4. Угол, вершина которого лежит вне 5 (внутри) окружности, измеряется полуразностью (полусуммой) дуг, заключенных внутри угла. Теорема 5. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами. В 1 2 ∠АВС = (ᵕАС – ᵕМК) М К 1 2 ∠АВС = ᵕАВ 1 2 А ∠АРС = (ᵕАС + ᵕМК) Р О А С davudovasv В С Задача 4. На окружности даны точки А,В,С,D, в указанном порядке. Точка М – середина дуги АВ, точки N и К – точки пересечения хорд МС и МD с АВ. Доказать, что чет-ник СDKN – вписанный. А Доказать: СDKN – вписанный Доказательство: М К D 1 1. ∠C – вписанный ⇒ ∠С = 2 (ᵕАD + ᵕАМ) N О В 2. ∠К = 1 2 (ᵕАМ + ᵕDB) = 3. ∠С + ∠К = 1 2 т.е. ∠С + ∠К = С 5 1 2 (ᵕВМ + ᵕDB) (ᵕАD + ᵕАМ + ᵕМВ + ᵕDB) 1 2 · 360° = 180 ° ⇒ СDKN – вписанный Ч. Т. Д . davudovasv Теорема 6. Пусть прямая пересекает треугольник АВС, причем С1 – точка ее пересечения со стороной АВ, А1– точка ее пересечения со стороной ВС, и В1 – точка ее пересечения с продолжением стороны АС. Тогда… В АС1 С1В А1 С davudovasv СВ1 1 1 · АС· ВА=1 С1 А ВА1 В1 5 Задача 5. В треугольнике АВС на медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК : КМ = 4 : 1. Прямая АК пересекается с ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ Найти: SAВК : SКРСМ Решение: 1. т.к. ВК : КМ = 4 : 1, то КМ = t, BK = 4t т.к. ∆АКМ и ∆АКВ имеют общую высоту, то SAКМ = S, а SАКВ = 4S 2. КМ – медиана ∆АКС, то SAКМ = SМКС = S В 2z 4t 2Q Р 4S К S А Q t S М 5 z СР 3. по теореме Менелая РВ СР = 1 ⇒ РВ 2 · ВК КМ · МА = 1 АС ⇒ СР = z, PB = 2z 4. т.к. ∆КВР и ∆КРС имеют общую высоту, С то SКРС = Q, а SКВP = 2Q davudovasv Задача 5. В треугольнике АВС на медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК : КМ = 4 : 1. Прямая АК пересекается с ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ 5. т.к. ВМ – медиана ∆АВС, то SAВМ = SМВС В 4 3 те. 5S = S + 3Q 6. SAВК : SКРСМ = 4S : (S + Q) 2z 4t 2Q К S А SAВК : SКРСМ Р 4S Q t SAВК : SКРСМ z 4 = 4S : (S + S) 3 7 = 4S : S 3 SAВК : SКРСМ = S М ⇒ Q= S С 12 7 Ответ: davudovasv 12 7 5 davudovasv http://ou3ik8.omsk.obr55.ru/files/2015/05/%D0%B3%D0%B8%D0%B01.jpg http://ion.ranepa.ru/upload/medialibrary/ac7/ac7252f6e0ff711f0cbc536820b4 e652.jpg davudovasv