Квазистационарные электромагнитные поля 1. 2. 3. 4. 5. План Условия квазистационарности. Закон Фарадея. Правило Ленца. Самоиндукция. Индуктивность. Взаимная индукция. Энергия магнитного поля. • 1. Условия квазистационарности. • В природе существует большой класс явлений, при которых электромагнитные поля зависят не только от координат, но и от времени. • При изменении тока его магнитное поле не всегда будет соответствовать магнитному полю постоянного тока такой силы, которая рана силе переменного тока в фиксированный момент. Если этим несоответствием можно пренебречь, то мы будем иметь дело с квазистационарными электромагнитными явлениями, которые обусловлены квазистационарными токами. • Квазистационарным называют переменный ток. если в каждый момент времени его магнитное поле совпадает с магнитным полем постоянного тока того же значения, что и мгновенное значение переменного тока. • максимальное(амплитудное) значение силы тока • циклическая частота колебаний. • Распределение зарядов в таких случаях называют тоже квазистационарным. • Критериями квазистационарности, соблюдаемые в пределах точности задачи. • 1.В каждом сечении проводника не имеющего разветвлений сила тока может быть принята одинаковой. • 2. Размеры области, в которой рассматривают явление, должны позволять не учитывать конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий. • Последнее обстоятельство приводит к тому, что эти взаимодействия в фиксированный момент соответствуют распределению зарядов • которое было некоторое время назад. • 2.Закон Фарадея. Правило Ленца. • Магнитное поле порождается электрическим током. • Фарадей и Ампер пытались обнаружить обратное явление -порождение тока магнитным полем. • В 1835 г. Фарадей открыл это явление. Схема его установки показана на рис.1. рис.1. • При замыкании ключа К наблюдался кратковременный всплеск тока в обмотке 2. Этот ток возникал при изменении магнитного поля в катушке 1. Изменение распространялось по магнитопроводу, выполненному в виде замкнутого сердечника из ферромагнитного материала. • Это явление названо электромагнитной индукцией. • По результатам описанного эксперимента был установлен закон электромагнитной индукции - закон Фарадея: • ЭДС индукции численно равна скорости изменения магнитного потока сцепленного с катушкой в которой она возникает. • Ленц сформулировал правило определения полярности индуцированной ЭДС. Правило Ленца: • индуцированный ток имеет такое направление, что создаваемое этим током магнитное поле препятствует изменению магнитного потока вызывающего появление ЭДС индукции. Это правило иллюстрируется • на рис.2. рис.2. • Рис.2.А. Магнит движется так, что густота линий индукции пересекающих площадь витка увеличивается и возрастает магнитный полок сцепленный с этим витком. • Индукционный ток должен быть направлен так, чтобы вектор напряженности, порождаемого индукционным током магнитного поля был направлен против вектора напряженности поля движущегося магнита. • Рис.2.Б. поток вектора магнитной индукции сцепленный с витком убывает и ток должен быть направлен в противоположную, сторону. • Закон Фарадея и правило Ленца объединены в формуле (1) • Знак минус отражает тот факт, что полярность ЭДС индукции должна быть такой, чтобы индуцированное магнитное поле препятствовало изменению магнитного потока. • Гельмгольц показал, что закон Фарадея является отражением закона сохранения энергии. • Рассмотрим замкнутый контур с источником ЭДС помещенный в неоднородное магнитное поле (рис.3). рис.3 • При протекании тока в контуре он будет перемещаться. При этом будет совершаться работа: (2) • Одновременно, в соответствии с законом • Джоуля - Ленца будет совершаться работа по преодолению активного сопротивления контура R: (3) • Обе работы совершаются за счет энергии источника ЭДС, которая имеет вид: (4) • - заряд перенесенный через сечение проводника за время dt, • - ЭДС источника тока. • По закону сохранения энергии: (5) (6) • Разделим обе части уравнения (6) на , • получим: (7) (8) • По закону Ома в числителе уравнения (8) показана общая ЭДС, т.е. сумма ЭДС источника и ЭДС индукции. • Явление индукции используют в генераторах переменного тока. Схема поясняющая принцип работы такого генератора приведена на рис.4.А. Рис.4 • Рамка вращается в поле постоянного магнита с угловой скоростью. • Угол между нормалью к плоскости рамки и вектором индукции магнитного ноля изменяется по закону . • Поток вектора индукции равен: (9) • Следовательно, (10) • Уравнение (10) показывает, что • ЭДС изменяется во времени по гармоническому закону. • Величина - амплитудное (максимальное) значение ЭДС. • Переменная ЭДС подключается к внешней цепи через щетки, скользящие по кольцам соединенным с концами рамки. • 3. Самоиндукция. Индуктивность • Рассмотрим виток (рис.5), по которому течет переменный ток (1) • - максимальное(амплитудное) значение силы тока • - циклическая частота колебаний. • Очевидно, что при этом будет изменяться магнитный, поток сцепленный с витком и, как следствие, появится ЭДС индукции в витке. Рис.5 • Явление возникновения ЭДС индукции при изменении собственного тока называют самоиндукцией. • Энергетической характеристикой такого процесса является ЭДС самоиндукции (2) • В контуре по закону Био - Савара - Лапласа имеем: (3) • Вектор всегда перпендикулярен площади контура. Поэтому можно записать: • (4) • Магнитная проницаемость оставлена под интегралом так как среда внутри контура может быть не однородной. • Из последнего равенства следует, что магнитный поток сцепленный с контуром пропорционален току: (5) • Здесь (6) Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью. • Индуктивность контура - физическая величина числено равная потоку вектора магнитной индукции сцепленному с контуром при единичной силе тока в последнем. • Для соленоида имеем • (7) • Здесь • N - число витков, • ФМ – поток сцепленный с одним витком. (8) • Для бесконечно длинного соленоида магнитная • индукция имеет вид (9) • Здесь • S - площадь витка, п = N/l - число витков на единице длины соленоида. • Подставим уравнения (8) и (9) в уравнение (7), получим: • (10) • Домножив числитель и знаменатель на l , получим выражение индуктивности соленоида: (11) • Здесь • V=lS - объем соленоида. • ЭДС самоиндукции(2) можно выразить следующим образом: (2) (12) • Значение индукции зависит только от среды и геометрической формы электрического элемента. Поэтому в недеформируемом контуре ЭДС самоиндукции можно представить выражением (13) • Уравнение (13) показывает, что ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока. • 4. Взаимная индукция • В некоторых приборах катушку пронизывает магнитный поток возникший, от сторонних источников. Например, от другой катушки, расположенной но соседству. • Взаимной индукцией называют явление возникновения ЭДС во всех проводниках расположенных вблизи от цепи с переменным током. • Используют это явление в трансформаторах (рис.6). Рис.6 • Поток, сцепленный с каждой из обмоток будет представлен суммой двух потоков. • С первой катушкой будет сцеплен поток (1) • Здесь • L1 и I1 индуктивность и ток в первой обмотке, • I2 - ток во второй обмотке, • L1-2 - взаимная индуктивность первого и второго контуров. • Взаимная индуктивность зависит от среды и взаимного расположения обмоток. • Аналогичное уравнение можно записать для второй обмотки (2) • Дифференцируя равенства (1) и (2) получим значения напряжений на обмотках: (3) • (4) • • Обычно в обмотках среда одинакова, а ток квазистационарен. • Поэтому (5) • Если обмотка 1 подключена к источнику питания и в ней течет переменный ток • и если цепь обмотки 2 разомкнута, т.е. • то в этом случае ток в первичной обмотке определится внешней ЭДС иЭДС самоиндукции (6) • Сопротивление обмоток мало. Таким образом, (7) (8) • Равенства (7) и (8) справедливы потому, что потоки сцепленные с обоими обмотками одинаковы. • Отсюда следует выражение (9) • Если источник подключить ко второй обмотке, то (10) • • • • • • • Коэффициент трансформации Здесь N1 - число витков в первичной обмотке трансформатора, N2- число витков во вторичной обмотке трансформатора. • 5. Энергия магнитного поля • Если цепь замкнуть, то энергия источника будет расходоваться на преодоление сопротивления и на изменение магнитного потока сцепленного с контуром. Работу, совершаемую при изменении магнитного потока можно рассматривать как работу по созданию магнитного поля. • Элементарную работу, выполняемую при приращении тока, можно определить как (1) • При нарастании тока от 0 до I получим: (2) • Здесь W- энергия магнитного поля создаваемого током I. • Из уравнения (2) следует энергетическая трактовка индуктивности. • Индуктивность контура – физическая величина численно равная удвоенной энергии магнитного поля создаваемого протекающим по контуру током единичной силы. • Энергия однородного магнитного поля для длинного соленоида: (3) • Здесь учтено (11) • Плотность энергии магнитного поля: (4) • Напряженность однородного магнитного поля для длинного соленоида : • В этом случае плотность энергии магнитного поля: • , • (5) • Уравнение (5) определяет плотность энергии магнитного поля для длинного соленоида без сердечника. • Плотность энергии магнитного поля для длинного соленоида с сердечником определяется суммой энергии поля в вакууме и в магнетике сердечника: (6) • (7) • Для вакуума , для магнетика , • В этом случае получим плотность энергии магнитного поля в магнетике: (8) • Относительная диэлектрическая проницаемость среды • Относительная магнитная проницаемость среды может быть и