Параметр в заданиях ГИА по математике Выполнили

Параметр
в заданиях ГИА
по математике
Выполнили
Деменкова Юлия и
Жаворонкова Анастасия
ученицы 9 «В» класса МАОУ «Лицей №62»
Задачи с параметром - одна из самых
интересных и многогранных тем в
математике. В школьной программе
они рассматриваются как задания
повышенной сложности.
Умение быстро, рационально и
правильно решать нестандартные
уравнения облегчает прохождение
многих тем курса математики.
Объект исследования: уравнения и
неравенства с параметром.
Предмет исследования: методы решения
(аналитический и графический)
уравнений и неравенств, содержащих
параметр.
Цель проекта: узнать самим и научить других
различным способам решения.
Задачи исследования:
1. Провести анализ литературы по данной
проблеме.
2. Систематизировать различные методы
решения.
Методы исследования:
-теоретические (анализ, обобщение)
-эмпирический (анкетирование)
Практическая значимость:
создание презентации для широкого
пользования учащимися и учителями.
Социологическое исследование.
Осенью 2011 года мы провели
социологический опрос. Решили
выяснить, будут ли выпускники 2012 года
решать на ГИА и ЕГЭ по математике
задания с параметром.
Из 180 респондентов 135 (т.е. 75%) сообщили, что не
будут решать задания такого типа, а постараются
лучше решить часть В. 21 человек (или 12%) твердо
заявили, что будут решать задания с параметром. А
остальные 24 человека (13%) попытаются хотя бы
попробовать решить такое задание.
140
120
100
80
60
40
20
0
Да, буду решать
Нет, не буду
Попытаюсь
все
9 класс
11
класс
«Почему вы не будете решать задачи с
параметром?»
70
60
50
40
30
20
10
0
очень сложно
много усилий
не понимаю
9 класс
11 все 9 и
класс 11
Результаты нашего исследования
неутешительные. К сожалению, учащиеся
выпускных классов не до конца понимают,
что каждое невыполненное задание на
экзамене лишает их возможности получить
высокие баллы и быть конкурентно
способными на вступительных экзаменах в
ВУЗы. Осознание приходит слишком поздно.
В связи с этим мы и решили изучить задания
последних лет с параметрами на ГИА по
математике.
Решение задач
с параметром
аналитически
1. Найдите значение p при которых
2
парабола у  2 х  рх  50 касается оси
х. Для каждого значения p определите
координаты точки касания.
Решение и ответ
Парабола касается оси х, если квадратный трехчлен
2
 2 х  рх  50 имеет единственный корень.
Следовательно его дискриминант должен обратиться
в нуль. p 2  400  0, p  20.
Подставляя значения букв p, находим координаты
точек касания с осью оХ.
При p=20 точка касания (5;0); при p=-20 – точка
касания (-5;0)
2. Найдите все значения а, при которых ,
2
неравенство х  2а  6х  12а  4  0
не имеет решений.
Решение и ответ
2
у

х
 2а  6х  12а  4
График функции
-парабола, ветви которой направлены вверх. Значит
данное неравенство не имеет решений в том и только
том случае, когда эта парабола целиком расположена
в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что
дискриминант квадратного трехчлена
должен быть отрицательным.
х 2  2а  6х  12а  4
D
2
 a  3  12a  4  a 2  6a  5,
4
a 2  6a  5  0 1  a  5.
3. Прямая
у  3х  b касается
окружности х 2  у 2  10 в точке с
положительной абсциссой. Определите
координаты точки касания.
Решение и ответ
1) Найдем значения b, при которых система
 у  3х  b,
 2
2
х

у
 10

имеет единственное решение. Выполнив
подстановку, получим уравнение
х   3х  b   10,
2
2
10 x  6 xb  b  10  0.
2
2
Решение и ответ
2) Полученное уравнение имеет единственное решение,
когда его дискриминант равен нулю. Имеем:


D
 9b 2  10 b 2  10  100  b 2 .
4
Решив уравнение 100  b 2  0 , получим b  10.
3) Таким образом, получили уравнения двух прямых,
касающихся окружности у  3х  10 и у  3 х  10
Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные
значения b в уравнение 10 x 2  6 xb  b 2  10  0.
При b=-10 получим х 2  6 х  9  0, х  3. Этот
корень не удовлетворяет условию задачи.
При b=10 получим х 2  6 х  9  0, х  3. Найдем
соответствующее значение у: у  3х  10  3  3  10  1
Координаты точки касания (3;1).
2
4. Парабола
y  ax  bx  c
проходит через точки А(0;-4), В(-1; -11),
С(4;4). Найдите координаты ее вершины.
Решение и ответ
1) Найдем коэффициенты a, b и c в уравнении
параболы y  ax 2  bx  c
Парабола проходит через точку А(0;-4), значит, с=-4.
Подставим координаты точек В и С в уравнение
y  ax  bx  4
2
Получим систему уравнений
a  b  7

16a  4b  8.
Решение и ответ
Решаем систему
a  b  7

16a  4b  8.
Отсюда: а=-1, b=6.Уравнение параболы имеет вид
y  x2  6x  4
2) Найдем координаты вершины:
b
x0  
 3,
2a
2
y0  3  6  3  4  5.
5. При каких значениях m уравнение
3
2
х  10 х  mx  0.
имеет два различных корня?
Решение и ответ
1) Представим уравнение в виде хх 2  10 х  m  0.
Отсюда х  0 или х 2  10 х  m  0.
Таким
образом, при любом значении m данное
уравнение имеет корень, равный 0.
2) Рассмотрим уравнение х 2  10 х  m  0 .
Возможны два случая
m0 и m0
Решение и ответ
При m  0 получаем полное квадратное
уравнение. Если его дискриминант равен нулю, то
оно имеет единственный корень, а уравнение
х 3  10 х 2  mx  0 два корня.
D1  25  m, 25  m  0, m  25.
Имеем
Таким образом, при m  25 исходное уравнение
имеет два различных корня.
При
m  0 2 получаем неполное квадратное
уравнение x  10 x  0 ,корни которого 0 и -10.
Таким образом. При m  0 уравнение
3
2
также имеет два
х  10 х  mx  0
различных корня.
Ответ: при
m  0 и m  25
6. При каких значениях m и n, связанных
соотношением m+n=2, выражение
2m  2mn  3n
2
2
принимает наименьшее значение?
Решение и ответ
1) Выразим из равенства m+n=2 одну переменную
через другую, например, переменную m через n:
m=2-n. Подставим полученное выражение в данное:
22  n   2n2  n   3n 2  n 2  12n  8.
2
2) Функция y  aх 2  bх  c, a  0 принимает
наименьшее значение при x   b ; воспользовавшись
2a
этой формулой, получим
n
12
 6 , m  2-6  -4.
2
Ответ: при m  4, n  6.
7Найдите все отрицательные значения m,
при которых система уравнений  x 2  y 2  m2 ,

не имеет решений.
x  y 1

Решение и ответ
1) Подставим у=1-х в уравнение х  у  m ,
получим квадратное уравнение относительно х:
2 x 2  2 x  1  m 2  0.
2) Найдем значения m, при которых это уравнение не
имеет решений:
1
2


2
2


D1  1  2 1  m 2  2m 2  1; 2m 2  1  0; m 
Таким образом, система не имеет решений при

2
2
m
.
2
2
2
.

2 
;0 .
Учитывая условие m<0, получим:m   
2 



2


Ответ: m    2 ;0 .


8.При каких значениях p система
неравенств 5 х  2  17  2 х, имеет решения?

 p  2x  3  x
Решение и ответ
1.Преобразовав каждое неравенство, получим систему
 x  5,

 x  3  p.
2. Система имеет решения, если 5  3  р К этому
выводу легко придти с помощью координатной
прямой. Отсюда p  2.
5
Ответ: при p  2.
3-р
х
9.При каких значениях n решением
2
x
 2nx  n  2  0 является
неравенства
любое число?
Решение и ответ
2
у

x
 2nx  n  2
1.Так как ветви параболы
направлены вверх. То она должна быть
расположена выше оси Ох или касаться ее.
х
2
D

n
 n  2, n  2n  1  0.
2. Поэтому
1
Отсюда  2  n  1.
Ответ: при  2  n  1.
10.При каких отрицательных значениях k
прямая y=kx-4 пересекает параболу
у  x 2  2 x в двух точках?
Решение и ответ
2
у

x
 2x
1.Прямая у=кх-4 пересекает параболу
в двух точках, если уравнение kx  4  x 2  2 x
имеет два решения, то есть дискриминант
уравнения x 2  2  k x  4  0
больше нуля.
2
2. Имеем: 2  k   16  0
отсюда k  2 или k  6. Так как kотрицательно, то k  6.


Ответ: при
k  6.
Решение задач
с параметром
графически
11. Найдите все значения k, при которых
прямая y=kx пересекает в трех различных
точках график функции 3х  7, если х  3
Решение и ответ

 2, если  3  х  3
3х  11, если х  3.

У
Построим график
заданной функции
1
-3
О
-2
1
3
Х
Решение и ответ
Прямая y=kx пересекает
в трех различных точках
этот график, если ее
угловой коэффициент
больше углового
коэффициента прямой,
проходящей через точку
(-3, -2) и меньше углового
коэффициента прямой,
параллельной прямым
y=3x+7 и y=3x-11
У
1
-3
О
-2
1
3
Х
Решение и ответ
Найдем угловой
коэффициент прямой,
проходящей через точку
(-3,-2):
-2=-3k
k=2/3.
Угловой коэффициент k
прямой, параллельной
прямой y=3x+7, равен 3.
Прямая y=kx имеет с
графиком заданной
функции три общие точки
при
2
3
 k  3.
У
1
-3
О
-2
1
3
Х
12. Постройте график функции
 x 2  4 x  3, если х  1

у   х  1, если  1  х  1
2
 , если х  1.
x
При каких значениях m прямая y=m имеет с
графиком этой функции две общие точки?
Решение и ответ
Построим график
заданной функции
Решение и ответ
Прямая y=m имеет
с графиком этой
функции две
общие точки при
m  0 и 1 m  2
13. Постройте график функции
x 1
y 2
x x
И определите, при каких значениях k прямая
y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение и ответ
Построим график
заданной функции
Решение и ответ
Преобразуем дробь
х 1
х 1
1

 ,
2
х  х хх  1 х
1
у  , х  0, х  1.
х
Ответ: k=1
14. При каких значениях а отрезок с
концами в точках А(-5;-6) и B(-5;а)
пересекает прямую 2х-у=-3?
Решение и ответ
Построим график
функции у  2 х  3
Точки А и В лежат на
вертикальной прямой
х  5
Отрезок АВ пересекает
эту прямую в том случае,
когда точка В(-5;а) лежит
ниже этой прямой, то есть
когда выполняется
неравенство
а  7.
У
у  2х  3
х  5
Х
Заключение.
Работая над проектом, мы поняли,
что, действительно, задания,
содержащие параметр, требуют не
только больших умственных усилий,
но и терпения и трудолюбия.
Сейчас нам хочется вспомнить слова Бориса
Пастернака: «Во всем мне хочется дойти до
самой сути». Что-то удается, а что-то и нет. Но
ведь мы еще только учимся, поэтому чудесная
радость творчества и стимул к дальнейшим
поискам и открытиям у нас еще впереди.
Удачи на
экзаменах
в
ГИА-2012!
Спасибо
за
внимание!