МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
УТВЕРЖДАЮ
Директор
_______________________ /Короткова Е.А./
16 сентября 2014г.
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс
для студентов
Код и направление подготовки
050100- Педагогическое образование
Профиль подготовки
Дошкольное и начальное образование
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
очная
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
В.Ф.Слинкина
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс
для студентов
Код и направление подготовки
050100.62 - Педагогическое образование
Профиль подготовки
Дошкольное и начальное образование
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
очная
филиал Тюменского государственного университета в г.Тобольске
2014
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 15.09.2014
Содержание: УМК по дисциплине «Математика» для студентов направления
подготовки 050100- Педагогическое образование профиля подготовки дошкольное и
начальное образование, квалификации (степени) выпускника бакалавр
Автор(-ы): Слинкина Валентина Францевна
Объем 95стр.
Должность
ФИО
Дата
согласования
Заведующий
кафедрой
дошкольного и
15.09.2014
начального
образования
Результат
согласования
Примечание
Рекомендовано
к электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от __.09.2014
№1
Протокол заседания
УМК от __.__.2014
№ __
Председатель УМК
(Институт)
ФИО
__.__.2014
Согласовано
Директор ИБЦ
ФИО
__.__.2014
Согласовано
Слинкина В.Ф. УМК по дисциплине «Математика» для студентов направления
подготовки 050100.62- Педагогическое образование, профиля подготовки «Дошкольное и
начальное образование», квалификации (степень) выпускника бакалавр, форма обучения очная. Тобольск, 2014, 66 стр.
УМК составлен в соответствии с требованиями (ФГОС ВПО) по направлению подготовки
050100.62- Педагогическое образование профиль подготовки дошкольное и начальное
образование.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте филиала ТюмГУ в г.Тобольске:
«Педагогика»
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел
«Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой дошкольного и начального образования. Утверждено
директором филиала Тюменского государственного университета в г.Тобольске.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Л.З. Масловская, кандидат биологических наук.
© филиал Тюменского государственного университета в г.Тобольске, 2014.
© Слинкина В.Ф., 2014.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
1. Цели и задачи дисциплины (модуля)
Цель дисциплины: обеспечить студентам факультетов начальных классов
необходимую подготовку для успешного обучения и воспитания младших школьников.
Задачи дисциплины:
– раскрыть студентам мировоззренческое значение математики, углубить их
представление о роли и месте математики в изучении окружающего мира;
– дать студентам необходимые математические знания, на основе которых
строится начальный курс математики, сформировать умения для глубокого овладения его
содержанием;
– способствовать развитию мышления;
– развивать умения самостоятельной работы с учебными пособиями и другой
математической литературой.
Результаты освоения дисциплины востребованы в следующих видах
профессиональной деятельности: учебно-воспитательной, научно-методической.
Дисциплина ориентирует на следующие виды профессиональной деятельности
учителя начальных классов.
в области педагогической деятельности:
организация обучения и воспитания в сфере образования с использованием
технологий, соответствующих возрастным особенностям обучающихся и отражающих
специфику предметной области;
использование возможностей образовательной среды для обеспечения качества
образования, в том числе с применением информационных технологий;
осуществление профессионального самообразования и личностного роста,
проектирование дальнейшего образовательного маршрута и профессиональной карьеры;
в области культурно-просветительской деятельности:
организация культурного пространства;
популяризация профессиональной области знаний общества.
2. Требования к результата освоения дисциплины
2.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
- способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в
образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической
обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4).
2.2.Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать:
– определения и свойства теоретико-множественнывх операций и отношений,
определение разбиения множества на классы;
– теоретико-множественное обоснование арифметики целых неотрицательных
чисел;
– основы аксиоматического метода, аксиоматическое обоснование арифметики
целых неотрицательных чисел;
– основы построения непозиционных и позиционных систем счисления,
алгоритмы действий в десятичной системе счисления, принципы работы ЭВМ;
– определение и свойства отношения делимости, основные признаки делимости;
– определения рационального числа и операций с рациональными числами,
законы сложения и умножения, свойства множества рациональных чисел;
– определение операций с действительными числами, законы сложения и
умножения;
– определение уравнения и неравенства с одной переменной;
– определения геометрических преобразований;
– важнейшие величины, изучаемые в начальном курсе математики;
уметь:
– выполнять теоретико-множественные операции над конечными и бесконечными
множествами, в том числе и над геометрическими фигурами;
– устанавливать способ задания конкретного отношения и формулировать его
свойства;
– распознавать числовые функции, устанавливать наличие прямой и обратной
пропорциональности;
– иллюстрировать теоретико-множественный подход к числу и операциям над
числами примерами из учебников математики для начальных классов, обосновывать выбор
действия при решении простых текстовых задач;
– иллюстрировать аксиоматический подход примерами из начального курса
математики;
– применять признаки делимости на практике, находить наибольший общий
делитель и наименьшее общее кратное, устанавливать делимость суммы, разности и
произведения на данное число, не производя указанных действий над числами;
– выполнять вычисления с рациональными числами;
– практически измерять величины: длину, площадь, время, массу и др.;
устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач;
владеть навыками:
– решения и обоснования решений уравнений и неравенств с одной переменной;
– решения и обоснования решений задач на геометрические преобразования
фигур,
– изображения фигур на плоскости.
3. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 5, 6, 7, 8, 9. Формы промежуточной аттестации –зачет (5, 7 семестры),
экзамен (6, 8, 9 семестры). Общая трудоемкость дисциплины составляет 12 зачетных
единиц (432 академических часа).
Вид учебной работы
Всего
часов
Общая трудоемкость
Аудиторные занятия
В том числе:
Лекции,
Практические занятия
Лабораторные работы
(семинары).
Самостоятельная работа, в том числе:
Курсовые работы/ рефераты,
Домашнее задание.
Самостоятельная работа и подготовка к контрольным работам
Семестры
5
6
7
8
9
186
48
54
28
32
24
76
110
16
32
18
36
14
14
16
16
12
12
142
40
40
18
26
18
50
92
14
26
14
26
6
12
8
18
8
10
зач
Вид отчетности по дисциплине
Контрольная работа, Зачет, Экзамен
экз зач экз экз
4. Содержание дисциплины
1
Множества и операции над ними
Элементы математической логики
Соответствия
Алгебраические операции и структуры
Различные подходы к понятию целого
неотрицательного числа
6 Системы счисления
7 Основы теории делимости
8 Расширение понятия числа
9 Уравнения. Неравенства. Функции.
10 Элементы геометрии
11 Величины и их измерения
2
3
4
5
№
1
2
3
4
5
6
Самосто
ятельная
работа
Практиче
ские
занятия,
семинар
Лаборато
ы
рные
работы
Лекции
№ Разделы дисциплины (название)
п/
п
Всего
часов
4.1. Разделы дисциплины и виды занятий
22
4
8
-
10
22
22
22
94
4
4
4
18
8
8
8
36
-
10
10
10
40
20
26
36
22
22
20
6
8
10
6
6
6
6
8
10
6
6
6
-
8
10
16
10
10
8
4.2. Содержание разделов дисциплины
4.2.1.Лекционный курс
семестр Наименование
Содержание
раздела
(дидактические
раздела
единицы)
5
Множества
и Множество. Операции над множествами
операции
над
ними
5
Элементы
Предикаты и логические операции над
математической
ними. Предикаты и логические операции
логики
над ними. Строения и виды теорем. Анализ
рассуждений. Определение понятий.
5
Соответствия
Бинарные соответствия. Отображения.
Отношения на множестве и их свойства.
5
Алгебраические
Алгебраические операции. Алгебраические
операции
и структуры
структуры
6
Различные
Аксиоматическое построение множества
подходы
к целых неотрицательных чисел. Сложение и
понятию целого умножение целых неотрицательных чисел
неотрицательного и их законы. Свойство множество целых
числа
неотрицательных чисел. Вычитание и
деление целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный
подход
к
построению
множества
целых
неотрицательных
чисел.
Натуральное
число как мера величины.
7
Системы
Позиционные и непозиционные системы
Кол-во
часов
4
4
4
4
18
6
счисления
7
7
8
8
9
8
10 9
11 9
№
1
2
3
4
5
6
7
счисления. Десятичная система счисления.
Позиционные
системы
счисления,
отличные от десятичной.
Основы
теории Делимость целых неотрицательных чисел.
делимости
Наибольший
общий
делитель
и
наименьшее 8общее кратное. Простые и
составные числа.
Расширение
Целое
число.
Рациональные
числа.
понятия числа
Действительные числа.
Уравнения.
Числовые равенства и неравенства.
Неравенства.
Выражения с переменной. Тождества.
Функции.
Уравнения
с
одной
переменной.
Неравенства
с
одной
переменной.
Уравнения с двумя переменными. Система
уравнений и неравенств. Функции.
Элементы
Основные
геометрические
понятия.
геометрии
Геометрические построения на плоскости.
Геометрические фигуры в пространстве.
Величины и их Скалярные
величины.
Величины
в
измерения
школьном курсе математики.
4.2.2.Практические (семинарские ) занятия
семестр Наименование
Содержание
раздела
(дидактические
раздела
единицы)
5
Множества
и Множество. Операции над множествами
операции
над
ними
5
Элементы
Предикаты и логические операции над
математической
ними. Предикаты и логические операции
логики
над ними. Строения и виды теорем. Анализ
рассуждений. Определение понятий.
5
Соответствия
Бинарные соответствия. Отображения.
Отношения на множестве и их свойства.
5
Алгебраические
Алгебраические операции. Алгебраические
операции
и структуры
структуры
6
Различные
Аксиоматическое построение множества
подходы
к целых неотрицательных чисел. Сложение и
понятию целого умножение целых неотрицательных чисел
неотрицательного и их законы. Свойство множество целых
числа
неотрицательных чисел. Вычитание и
деление целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный
подход
к
построению
множества
целых
неотрицательных
чисел.
Натуральное
число как мера величины.
7
Системы
Позиционные и непозиционные системы
счисления
счисления. Десятичная система счисления.
Позиционные
системы
счисления,
отличные от десятичной.
7
Основы
теории Делимость целых неотрицательных чисел.
делимости
Наибольший
общий
делитель
и
8
10
6
6
6
Кол-во
часов
8
8
8
8
36
6
8
8
8
9
8
10 9
11 9
наименьшее 8общее кратное. Простые и
составные числа.
Расширение
Целое
число.
Рациональные
числа.
понятия числа
Действительные числа.
Уравнения.
Числовые равенства и неравенства.
Неравенства.
Выражения с переменной. Тождества.
Функции.
Уравнения
с
одной
переменной.
Неравенства
с
одной
переменной.
Уравнения с двумя переменными. Система
уравнений и неравенств. Функции.
Элементы
Основные
геометрические
понятия.
геометрии
Геометрические построения на плоскости.
Геометрические фигуры в пространстве.
Величины и их Скалярные
величины.
Величины
в
измерения
школьном курсе математики.
10
6
6
6
4.2.3.Самостоятельная работа студентов
№
Наименование
раздела дисциплины
1
Множества
операции
ними
2
3
4
5
Вид самостоятельной работы
и Работа с лекциями, учебником. Выполнение
над домашней работы. Самостоятельное изучение
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ
Элементы
Работа с лекциями, учебником. Выполнение
математической
домашней работы. Самостоятельное изучение
логики
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Соответствия
Работа с лекциями, учебником. Выполнение
домашней работы. Самостоятельное изучение
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Алгебраические
Работа с лекциями, учебником. Выполнение
операции
и домашней работы. Самостоятельное изучение
структуры
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Различные
Работа с лекциями, учебником. Выполнение
подходы
к домашней работы. Самостоятельное изучение
понятию целого
Трудоемкость
(в
академических
часах)
10
10
10
10
40
неотрицательного
числа
6
7
8
9
10
11
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Системы
Работа с лекциями, учебником. Выполнение
счисления
домашней работы. Самостоятельное изучение
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Основы
теории Работа с лекциями, учебником. Выполнение
делимости
домашней работы. Самостоятельное изучение
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Расширение
Работа с лекциями, учебником. Выполнение
понятия числа
домашней работы. Самостоятельное изучение
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Уравнения.
Работа с лекциями, учебником. Выполнение
Неравенства.
домашней работы. Самостоятельное изучение
Функции.
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Элементы
Работа с лекциями, учебником. Выполнение
геометрии
домашней работы. Самостоятельное изучение
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
Величины и их Работа с лекциями, учебником. Выполнение
измерения
домашней работы. Самостоятельное изучение
материала по предложенной литературе.
Выполнение самостоятельных заданий на
практических занятиях; домашних контрольных
работ.
итого
8
10
16
10
10
8
142 ч
5. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
5.1. ярекомендуемая литература:
Основная литература:
1. Аматова Г.М., Аматов М.А. Математика. В 2 книгах. - Academia, 2008
2. Аматова Г.М., Аматов М.А. Сборник задач по математике. - Academia, 2008
3. Стойлова Л.П. Математика.- Academia, 2013
4. Стойлова Л.П., Конобеева Е., Конобеева Т, Шадрина И. Математика. Сборник задач.Academia, 2013
Дополнительная литература:
1. Стойлова Л.П. Математика. – М., 2004
2. Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике. – М., 1985
3. Мерзон А.Е., Добротворский А.С., Чекин А.Л. Пособие по математике для студентов
факультетов начальных классов. – М., 1998
4. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика - в 2 ч. – М.: Просвещение,
1990
5. Стойлова Л.П. Математика. Учебник для студентов высших педагогических учебных
заведений.. – М.: ИЦ «Академия», 2000. – 424 с.
6. Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике. Учебное пособие по
математике для студентов-заочников 1-3-курсов факультетов педагогики и методики
начального обучения педагогических институтов. М.: «Просвещение», М.,1985.
7. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Математический анализ. Введение в анализ.- М.:
Просвещение, 1983. – 191 с.
8. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика, ч.1, М.: Просвещение,
1990, 175 с.
9. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. ч.1, ч.2. М.:Владос. – 1999 г.
10. Соминский И.С. Элементарная алгебра. Дополнительный курс.- М.: Наука, 1964. –
200 с.
11. Проскуряков И.В. Числа и многочлены. М.: Просвещение, 1965. - 284 с.
12. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. М.: Советская наука,
1954. – 560 с.
13. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1.– М.: ВШ, 1988.–712 с.
14. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика.М.:ГУПИ МП РСФСР,1959.– 232 с.
5.3 Интернет-ресурсы:
Электронные учебники:
1. Обучающие программы для школьников и старшеклассников: Обучение
арифметике. Математика для школьников 5-7 классов. Электронный учебник
арифметики. Арифметический тренажер.
2. Школьник-97: Математика 5-7 класс.
3. Обучалки. Новый электронный учебник: Математика 1-4 класс (математика в
приключениях; сложение, вычитание, сравнение). Математика 5-7 класс (устный
счет с действительными числами; действия с обыкновенными дробями;
координатная прямая; метрическая система мер; правила решения уравнений).
4. ALEX SOFT/ Математика для школьников и студентов. Теория и практика.
5. Study Works Mathematics Deluxe Grades v7.12.
6. Новые программы для школьников – 2002.; алгебра; арифметика; Математика 5-7
класс.
7. Обучающие программы для школьников. Ч.2. Энциклопедия по геометрии,
Энциклопедия по математике (Устный счет. Дроби. Римские цифры).
6. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционная аудитория новых информационных технологий:
компьютер Celeron 950hz/128DDR/20Gb/Audio/Video/CD-ROM 50x/ATX
1.
или выше;
-
2.
мультимедиа проектор;
3.
документкамера.
учебно-наглядные пособия: таблицы, схемы, набор раздаточных материалов
В лекционном курсе использую информационные лекции, проблемные лекции,
лекции-визуализации, лекции-беседы; на практических занятиях – семинары-презентации,
семинар-практическая работа, контрольная работа.
7. Содержание текущего и промежуточного контроля.
7.1.
Перечень
примерных
контрольных
вопросов
и
заданий
для
самостоятельной работы
7.3.2. Типовые контрольные задания или иные материалы, определяющие
процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности,
характеризующие этапы формирования компетенций.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
КОНТРОЛЬНАЯ
Р А Б О Т А п о т е м е : Декартово произведение множеств.
Вариант 1.
1. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения
множеств X х У и У х X., если: а). Х={-1,0, 1 , 2 } , У = { 2 , 3 , 4 }
б). X = R, Y= {3, 5,6}
в). Х= [-3;4], У = (-2; 2).
Вариант 2.
1.
Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения
множеств X х У и Ух X., если: а). Х={-2, 0,-1, 1}, У = [2; 4]
б). Х={ 1 , 4 , 7}, У-R
в). Х = [-1;4], У = (-2; 5).
Контрольная работа № 1.
Делимость суммы, разности и произведения.
Вариант 1.
1.
Объясните, почему число 12 является делителем числа 60 и не является
делителем числа 70.
2.
Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на
множестве Х= 6,12,18,24,30,36. Как отражены на этом графе свойства данного
отношения?
3.
Запишите множество делителей числа 14.
4.
Известно, что число 18 является делителем числа 54, а число 54 – делитель
216. Докажите, что число 18 – делитель числа 216, не выполняя деления.
5.
Докажите или опровергните утверждение: Если сумма двух слагаемых
делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.
Вариант 2.
1.
Объясните, почему число 13 является делителем числа 39 и не является
делителем числа 59.
2.
Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на
множестве Х= 3,6,9,12,15,18. Как отражены на этом графе свойства данного
отношения?
3.
Запишите множество делителей числа 21.
4.
Известно, что число 21 является делителем числа 126, а число 126 –
делитель 504. Докажите, что число 21 – делитель числа 504, не выполняя деления.
5.
Докажите или опровергните утверждение: Если одно из слагаемых суммы не
делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.
Контрольная работа № 2.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 4, 9, 11.
Вариант 1.
1.
Выпишите из ряда чисел 504, 1284, 8910, 579,4375, 4619725 те, которые
делятся на 5 и 3.
2.
Делится ли число 15∙1013+3 на 9. Ответ обоснуйте.
3.
Не выполняя действия, установите, делится ли выражение:
(281 - 24 + 71) на 3
(284 + 1441 + 113) на 4
(1360 + 172 – 42) на 5
8157435 на 11
4.
Докажите признак делимости на 5.
5.
Используя признак делимости Паскаля, докажите или опровергните, что
6417 делится на 3.
6.
Выполните деление с остатком 118:23, 58:7, 368:5 и определите q и r.
Вариант 2.
1.
Выпишите из ряда чисел 504, 1284, 8910, 579,4375, 4619725 те,
которые делятся на 4, какие не делятся на 9.
2.
Делится ли число 124∙107+48 на 4. Ответ обоснуйте.
3.
Не выполняя действия, установите, делится ли выражение:
(222111 + 25308 + 28054) на 9
(370 + 144 + 2596) на 4
(543 +5211 -702) на 3
955234 на 11
1.
Докажите признак делимости на 9.
2.
Используя признак делимости Паскаля, докажите или опровергните, что
15772 делится на 4.
3.
Выполните деление с остатком 453:6, 400:57, 588:13 и определите q и r.
Контрольная работа № 3.
НОК и НОД натуральных чисел.
Вариант 1.
1. Даны числа 134 и 330. Запишите:
множество делителей числа 134;
множество делителей числа 330;
множество общих делителей данных чисел;
1.
Найдите НОД и НОК чисел 3672 и 4446, представив их в каноническом
разложении.
2.
Найдите с помощью алгоритма Евклида НОД чисел 276 и 230.
3.
Найдите числа, если известно, что Д(а.в) =5, К(а.в) = 105.
Вариант 2.
1. Даны числа 1890 и 1485. Запишите:
множество делителей числа 1890
множество делителей числа 1485
множество общих делителей данных чисел.
2.
Найдите НОД и НОК чисел 462 и 8580, представив их в каноническом
разложении.
3.
Найдите с помощью алгоритма Евклида НОД чисел 1020 и 3276.
4.
Найдите числа, если известно, что Д(а.в) =3, К(а.в) = 81.
Контрольная работа № 4.
Сложение и вычитание положительных рациональных чисел.
Вариант № 1
1
1 13
17
и ;
и
;
2
3 24
36
1.
Сравните дроби:
2.
Запишите дроби в порядке возрастания:
3 7 1 2 1
, , , ,
4 8 2 5 20
Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей и меньше другой:
3.
5
2
и .
6
3
4.
Вычислите: а)
2 3
;
3 5
б)
3
2
;
625 75
7 3
10 5
5.
Найдите неизвестное число х:
в)
31
3 39
1 1
( ) ; г) : ,
80 16 80
2 4
д)
1
5
=
8 24
4
1
в) х
5
6
а) х +
6.
За 2 часа турист прошел
прошел
3
пути. Какую часть пути турист прошел за второй час?
10
Вариант № 2
1. Сравните дроби:
2.
2
намеченного пути. Причем за первый час он
3
2
7 1
1
и
; и ;
12 18 5
2
3 1 14 3 5
, , ,
5 2 20 4, 8
Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей и меньше другой:
Запишите дроби в порядке возрастания:
3.
1
1
и .
5
3
3 1
17
8
7
1 2
5 1
16 1
; б)
( ) ; г) , д)
.
; в)
8 6
125 150
15 11 15
9 3
27 9
5.
Найдите неизвестное число х:
1
5
а) х + =
3 12
5
1
в) х
8
3
2
3
6.
Тракторист должен за день вспахать
поля. До обеда он вспахал
поля.
5
20
Какую часть поля ему осталось вспахать?
4.
Вычислите: а)
Контрольная работа № 5.
Умножение и деление положительных рациональных чисел.
Вариант №1
Вычислите:
2 1 4 5 6
3 5 7 12 7
7 3
8 14
2.
9 14 15 5
9
1 3
3.
7 3 =
2 5 13
6
3
: 12 =
4.
8
57
19
1 2
3
5.
( 4 5 ) : 6
2 3
4
Решите уравнение, используя зависимость между компонентами и результатами
действий:
3
1. 5∙( х 20) 8
4
1.
2
1
1
2. (10 х) : 1 9
5
7
3
Вариант №2
Вычислите:
16 8 8 23
1.
25 15 11 66
7
25
13
2. 2 2 17 =
47
25 10
45 2 7 6
3.
7 8 3 12 7
3 4
4. 14 : 8
5 7
1
1 1
5. 4 : (11 5 )
4
3 4
Решите уравнение, используя зависимость между компонентами и результатами
действий:
1
2 11
1.
(4 2 х) 3
2
3 15
4
2
1
: (3 5 х)
2.
9
3
6
Контрольная работа № 6.
Действия с десятичными дробями.
Вариант №1
Выполните действия:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
16,28 + 5,395 - 1,18 - 4,305 =
4,756 - (2,395 - 1,244) =
3,32 ∙ 0,101 =
0,999 ∙ 0,372 =
12 : 0,04 =
7,05 : 1,4 =
2
4
(1,545 : 1,5 - 1) ∙ 2 + 0,5 ∙
=
3
15
Вариант №2
Выполните действия:
1.
2.
3.
4.
7,358 + 8,24 - 6,458 - 2,84 =
14,529 + (2,461 - 1,8) =
3,21 ∙ 0,562 =
0,861 ∙ 0,242 =
5. 10 : 0,005 =
6. 25,9 : 3,7 =
7. (2,678 : 1,3 - 2) ∙ 3
1
7
3
+ 0,3 ∙
∙
=
45 4
3
Контрольная работа № 7.
Обращение обыкновенной дроби в десятичную, периодической
десятичной дроби в обыкновенную.
Вариант №1
Разложите обыкновенные дроби в десятичные различными способами:
5
3
48
3
1.
2.
3.
4.
7
16
15
2000
Следующие периодические дроби представьте в виде обыкновенной дроби:
1. 0,(3) =
2. 1,12(3) =
3. 3,4(32) =
Вариант №2
Разложите обыкновенные дроби в десятичные различными способами:
4
17
72
11
1.
2.
3.
4.
40
15
3000
9
Следующие периодические дроби представьте в виде обыкновенной дроби:
1. 0,(7) =
2. 7,5(4) =
3. 12,51(149) =
Контрольная работа № 8.
Итоговая контрольная работа по теме
«Множество рациональных чисел».
Контрольная работа по математике за
2полугодие
Контрольная работа по математике за
полугодие
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
1.
Представить
в виде смешанной
периодической десятичной дроби число 27
77
121
, 4
.
675
101
2.
Представить смешанную десятичную
периодическую дробь в виде несократимого
отношения двух натуральных чисел:
19,7(612), 12,233(37).
3.
Найти
длину
периода
периодических десятичных дробей, в
1. Представить
в виде смешанной
периодической десятичной дроби число 2
77
169
, 13
.
135
222
2. Представить смешанную десятичную
периодическую
дробь
в
виде
несократимого
отношения
двух
натуральных чисел:
5,1(684),
11,512(24).
3. Найти длину периода периодических
которые
разлагаются
следующие
83 7
обыкновенные дроби:
;
.
22 13
4.
Выполнить
действия
над
периодическими дробями: 16,11(6) +
8,286(7).
десятичных
дробей,
в
которые
разлагаются следующие обыкновенные
5 9
дроби:
;
.
13 14
4. Выполнить
действия
над
периодическими
дробями:14,52(6)
+
5,462(3).
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Вычислить определители 1)
Вычислить определители 1)
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений
; 2)
; 3)
; 2)
.
; 3)
.
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений
Решить систему уравнений
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1. Доказать равенство множеств:
(А \ В)\ С = (А \ С) \ (В \ С)
(А \ В) (В \ С) (С \ А) (А В С) = А В С
А \ (В С) = (А \ В) \ С
А (В \ С) = (А В) \ С
А \ (В С) = (А С) \ В
А\ (В С) = (А\ В) (А\ С)
(А В) \ С = (А\ С) (В\ С)
2. Доказать включение:
А\ В (А\ В) (В\ С)
(В\ С) \ (В \ А) А\ С
(А С) (В D) (А В) (C D)
3. Укажите характеристическое свойство элементов множества:
Х=А\ (В С), если А=хх R, х 0, В=хх R, 17 х 25, Схх R, х 23
Y = К L\ М', если К = хх R, х 4, L = хх R, -5 х 40, М = хх R, х
0
S = B' C D', если B = хх R, х 4, C = хх R, х -10, D = хх R, -18
х 4
P = A' (B C), если B = хх R, х 17, C = хх R, х -3, A = хх R, 4
х 9
К = (С' D')', если С = хх R, х -20, D = хх R, х 10
Х = (A B C)', если А = хх R, х 2, В = хх R, -3 х ∞, С = хх
R, 0 0 х 5
Т = (A \ B') C, если B = хх R, х 9, C = хх R, х 7, A = хх R, 5 х
12
P = (А \ В') С , если B = хх R, 3 х 5, C = хх R, 4 х 6, A = хх
R, 3 х 4
Х = A (B \ C)', если B = хх R, х 5, C = хх R, 4 х 17, A = хх R, 5 х 4
Y = (A' B) C, если B = хх R, х 7, C = хх R, 2 х 5, A = хх R, 2 х 5
4. Известно, что множества А, В и С пересекаются. Изобразите с помощью диаграмм
Эйлера-Венна множества:
(А' \ В') \ С'
(А\ В)' \ С'
(А' \ В') С'
(А' \ В') С'
(А \ В)' С'
(А \ В)' С'
(А' В') \ С'
(А' В') \ С'
(А В)' \ С'
(А В)' \ С"
5. Изобразите на координатной плоскости декартовы произведения множеств ХY и
YХ, если:
Х = хх R, -4 х 5, Y = ХY R, Y 3
Х = хх N,х 9, Y = уу R, -7 х 4
Х = хх R, 4 х 11, Y = уу N, у 4
Х = хх R, -3 х 7, Y = уу R, 0 х 9
Х = хх R, х 7, Y = уу N, у 5
Х = хх R, х 5, Y = уу R, -4 х 2
Х = хх N, 3 х 10, Y = уу R, 4 х 15
Х = хх R, х -4, Y = уу R, у 3
Х = хх N, 2 х 9, Y = уу N, 5 х 14
Х = хх R, -2 х +, Y = уу N, 5 х 12.
ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ПРЕДИКИТЫ
6. Составьте таблицу истинности:
А ВС А
А В С
А В С
А ВС
А ВС
А ВС
А В А В
А В С В
АС ВС
А В С А
7. На множестве Х = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х 5", В(х):"х –
простое число", С(х):" х 3 ". Найдите множество истинности предиката А( х) В С ( х) и
изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
8. На множестве Х = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
предиката
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
9. На множестве Х = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
предиката
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
10. На множестве М = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
предиката
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
11. На множестве М = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
предиката
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
12. На множестве Х = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
предиката
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
13. На множестве Х = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х 5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
предиката
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
14. На множестве М = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
предиката
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
15. На множестве Х = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
предиката
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
16. На множестве М = хх N, 1 х 20 заданы предикаты: А(х):"х5", В(х):"х –
простое
число",
С(х):" х 3 ".
Найдите
множество
истинности
А( х) В( х) С ( х) и изобразите его с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
предиката
ОТНОШЕНИЯ И СООТВЕТСТВИЯ
1. Даны множества Х=2,3,4,5,6,7,8,9 и Y=4,5,6,7,8,9,10,11.Соответствие R между
элементами этих множеств R: "х меньше у в 2 раза" х Х, у Y. Укажите все пары,
находящиеся в данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область
определения и множество значений соответствия; сформулируйте соответствие
обратное и противоположное данному; постройте их графы и графики.
2. Даны множества Х=3,4,5,6,7,8,9,10
и Y=2,3,4,5,6.Соответствие R между
элементами этих множеств R: "х больше у в 2 раза" х Х, у Y. Укажите все пары,
находящиеся в данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область
определения и множество значений соответствия; сформулируйте соответствие
обратное и противоположное данному; постройте их графы и графики.
3. Даны множества Х=3,4,5,6,7,8,9,10 и Y=5,6,7,8,9,10,11.Соответствие R между
элементами этих множеств R: "х меньше у на 2" х Х, у Y. Укажите все пары,
находящиеся в данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область
определения и множество значений соответствия; сформулируйте соответствие
обратное и противоположное данному; постройте их графы и графики.
4. Даны множества Х=5,6,7,8,9,10 и Y=3,4,5,6,7,8,9,10.Соответствие R между
элементами этих множеств R: "х больше у на 2" х Х, у Y. Укажите все пары,
находящиеся в данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область
определения и множество значений соответствия; сформулируйте соответствие
обратное и противоположное данному; постройте их графы и графики.
5. Даны множества Х=3,4,5,6,7,8,9 и Y=4,5,6,7,8,9,10.Соответствие R между
элементами этих множеств R: "х у" х Х, у Y. Укажите все пары, находящиеся в
данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область определения и
множество
значений
соответствия;
сформулируйте
соответствие
обратное
и
противоположное данному; постройте их графы и графики.
6. Даны множества Х=4,5,6,7,8 и Y=3,4,5,6,7.Соответствие R между элементами
этих множеств R: "х у" х Х, у Y. Укажите все пары, находящиеся в данном
соответствии; постройте его граф и график; укажите область определения и множество
значений соответствия; сформулируйте соответствие обратное и противоположное
данному; постройте их графы и графики.
7. Даны множества Х=6,7,8,9,10,11,12 и Y=2,3,4,5,15,16.Соответствие R между
элементами этих множеств R: "х у" х Х, у Y. Укажите все пары, находящиеся в
данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область определения и
множество
значений
соответствия;
сформулируйте
соответствие
обратное
и
противоположное данному; постройте их графы и графики.
8. Даны
множества
Х=5,6,7,8,9,10
и
Y=4,5,6,7,8,9.Соответствие
R
между
элементами этих множеств R: "х у" х Х, у Y. Укажите все пары, находящиеся в
данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область определения и
множество
значений
соответствия;
сформулируйте
соответствие
обратное
и
противоположное данному; постройте их графы и графики.
9. Даны множества Х=5,6,7,8,9,10 и Y=5,10,14,21,16,17.Соответствие R между
элементами этих множеств R: "Х делитель Y" х Х, у Y. Укажите все пары,
находящиеся в данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область
определения и множество значений соответствия; сформулируйте соответствие
обратное и противоположное данному; постройте их графы и графики.
10. Даны множества Х=7,8,9,10,11,12,13,14 и Y=9,10,11,12.13,15,16.Соответствие R
между элементами этих множеств R:»х у «, х Х, у Y. Укажите все пары,
находящиеся в данном соответствии; постройте его граф и график; укажите область
определения и множество значений соответствия; сформулируйте соответствие
обратное и противоположное данному; постройте их графы и графики.
11. Вместо многоточия вставьте один из терминов: «необходимо», «достаточно»,
«необходимо и достаточно».
«Для того, чтобы сумма двух положительных слагаемых была меньше 40,
…,чтобы хотя бы одно их слагаемых было меньше 20».
«Для того, чтобы четырехугольник был ромбом, …, чтобы его диагонали были
взаимно перпендикулярны».
«Для того, чтобы число делилось на 12, …, чтобы оно делилось на 3»
«Для того чтобы сумма двух чисел равнялась второму слагаемому, …, чтобы
первое слагаемое было равно 0».
«Для того, чтобы (b - 3) 5 = 0, …, b = 3».
«Для того чтобы (а - 5) (а - 7) = 0, …, а = 5».
«Для того, чтобы сумма чисел делилась на 5, …, чтобы каждое слагаемое
делилось на 5».
«Для того чтобы число было кратно 10, …, чтобы оно было кратно 5».
«Для того чтобы две прямые были параллельны, …, чтобы они были
центрально - симметричны».
«Для того чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, …,
чтобы он имел центр симметрии».
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Дети в 3 классе коллекционируют марки, монеты и открытки. Из 40 учащихся класса
марки коллекционируют 15 учащихся, монеты – 17, открытки – 5, монеты и открытки
– 9. 3 ученика коллекционируют марки, монеты и открытки. Есть ли в классе ученики,
которые
коллекционированием
не
занимаются?
Сколько
учащихся
класса
коллекционируют марки? Только открытки?
2. Из 80 человек японский язык знают 35, китайский – 38, арабский – 26. Японский и
китайский – 9, японский и арабский – 12, китайский и арабский – 17. Все три языка
знают 7 человек. Сколько человек знают только один язык? Есть ли среди 80 человек
незнающие ни одного из этих языков?
3. Из 35 учеников класса в олимпиаде по физике участвовали 14 человек, в олимпиаде по
математике – 19 человек, в олимпиаде по химии – 17. В олимпиадах по физике и
химии – 7, в олимпиадах по математике и химии - 13, в олимпиаде по физике и
математике
4. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги А,
В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читали 25 учащихся, книгу В –
22, книгу С – тоже 22. Книгу А или В читали 33 ученика, А или С – 32 ученика, В или
С – 31 ученик. Все 3 книги прочли 10 учеников. Сколько учеников прочли только по
одной книге? Сколько учащихся не читали ни одной из этих книг?
5. Одному из учащихся было поручено написать заметку в стенную газету об
успеваемости класса за первое полугодие. Он взял журнал и выписал следующие
сведения: из 40 учащихся класса 35 не имеют троек по русскому языку, 28 – по
математике, 31 – по физике, 22 – по математике и физике, 16 – по математике и
русскому языку, 12 человек учатся без троек по всем предметам. Прочитав заметку,
редактор сказал: «Ты ошибся в счете, данные явно неверные». Почему?
6. Сколько чисел во множестве Р, если известно, что среди них 100 чисел кратно 2; 115 –
трем; 120 – пяти; 45 – 6; 38 – десяти; 50 – пятнадцати; 20 чисел – тридцати?
7. В школе 70 учеников. Из них 27 ходят в драмкружок, 32 поют в хоре, 22 увлекаются
спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8
спортсменов. 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в
хоре, не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок?
8. В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимаются плаваньем 25, ходят
на лыжах 27. Одновременно занимаются плаваньем и баскетболом 15, баскетболом и
лыжами 16, плаваньем и лыжами 18 человек. Один из учащихся освобожден от
физкультурных занятий. Сколько человек занимается только одним видом спорта?
Сколько человек занимается всеми указанными видами спорта?
9. В лыжной хоккейной и конькобежной секциях 38 человек. Известно, что в лыжной
секции занимается 21 человек, среди которых 3 человека занимаются еще в
конькобежной секции, 6 человек еще в хоккейной секции и один человек занимается
одновременно во всех трех секциях. В конькобежной секции занимается 13 человек,
среди которых 5 человек занимаются одновременно в двух секциях. Сколько человек
занимается в хоккейной секции?
10. Из 110 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий 50, французский 49,
английский и немецкий 13, английский и французский 14, немецкий и французский 12.
Все 3 языка изучают 5 студентов. Сколько студентов изучают только один язык?
Сколько студентов не изучают ни одного языка?
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ (ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ)
Вычислить:
1.
2
2
4
4,5 1 6,75
1 0,22 : 0,3 0,96
3
3 11
1 1 2
3
1
3 0,3 5 : 2
0,2 1,6
3 8 3
40
3
0,216
3 3
0,56 : 0,5
1,88 2
35 16 0,15
2.
13 26
3 2
0,625 :
7,7 : 24 4,5
18 9
4 15
32 13
1 3,6
0,128 : 3,2 0,86 63 21
3.
5
2
1,2 0,8
0,505 0,002
6
5
11 1
1
3 : 0,175 : 0,35 : 1,4
18 15
3
4.
11 51
1
1,75 1
0,5 3
17 56
9
1
1
48
3,75 0,625
4 6 0,125
125
1
14
12,8 0,25
0,4
3
15
0,5
5.
1
1
2
2
3 1,9 19,5 : 4
3,5 4 2
3
2:
3
15
6.
62
1
0,16
0,51 4,1
75
20
1 17
1 : 0,6 0,005 1,7 4,75 7 1
5 10
2 : 0,25
7.
5 1
23
5
1 1
33 : 4
6
3 30
7
3
3
1
0,425 0,005 : 0,1 6 5
5
2 0,5
4
8.
1
1
5
30,5 3
26 : 3
6
3
7
1
1
3 2,5 4,6 2
0,05
3 5,2 :
9. 3
5,7
2,5 1 1 4,6 2 1
1 0,125
3
3
7
1
3 5
13,75 9 1,2 6,8 3 5
1
6
5 6
27
10.
1 5
1
6
2
10,3 8
3 3 56
2 9
6
3
Используя зависимость между результатом и компонентами действий, найти х.
Сделать проверку.
5
5
6
: 24 0,85
1. 2
9 7 19 х 1 7,24
30 99 18
9 73 29
х
5
16
99
50 : 1,2 1 5
2. 7,25
0,08
12 12
53
13 9
4,625 18 26 : х 2,5 : 1,25 : 6,75 : 1 68
17
3.
27
1
5 7
0,375 : 0,125 : 0,358 1,4796 : 13,7
2
6 12
3
8
3
2
5
4
5 68 2 4
4. 12 : 5 5
8
2 125 11 5
5 15 9
х : 1
21 5
5.
3,375 108,1 : х
=1000
5
5
0,23 14 10
6
24
5
0
,
5
х
1
,
8
9 0,6 0,01 0,01
6. 0,12 :
1
6
7
2
1 0,3125 2 : 12 0,8
24
9
7.
9
х 0,416 : 6,05 1,98
4 0,2816 : 0,9 : х 0,75 0,064 18
8. 2
1 5
7
0,875
35
3
1 3 4
3 1
9. 66 : 5 3 : 1 х 7
5
5 5 15
20 4
10. 3
4 3
1
3 1
7
: 2 х 4 : 21 1 5
15 4
2
7 8
8
Упростить выражение:
2
ав
1
в а а в
: 2
2
1. 2
2
а ав
а
ав
а
в
а
в
12 а 2
1
а
5
а 3 :
2
2.
а3
а 3 а 9 3а
5
1
28 х 2
х
3. 2
: х 5
х 5
х 25 5 х х 5
4.
х
х3
3
х2 9
:
4 х 2 24 х 36 3х 9 х 2 3х 27 3х 2
у
у 2 16
4 3 у 2 24 у 48
2
2
5.
у4
4 у 16 4 у 64 у 4 у
2
2m
12m
m
36 m
6.
2
m6
m 6 m 12m 36 m 8
6а
24а
3а
а6
7.
2
:
2
а4
а 4 а 8а 16 16 а
х 40
х4
16
: 2
3
х 16 х 3 х 11х 4 16 х 2
8.
4х 6
2х
х
3
9.
2
х 4 х 3х 4 х 1 2 х 3
4х 6
2х
х
3
10.
2
х 4 х 3х 4 х 1 2 х 3
Решить уравнение:
1. 1
6
5 2х
62 х 5
2
х 1 х 7 х 8х 7
2.
1
1
6 х
1
2
2 х
х 2 3 х 12
3.
х
х 1
1
2
х 1 х 3 х 2х 3
4.
6
12
1
2
х 2х х 2х х
5.
4x 6
x
9
2
x 2 x 1 x 3x 2
6.
2х
15 32 х 2
3х
2
2х 3
4х 9
2х 3
2
6
9
12 х 2 15
7.
1 2х 2х 1
4х2 1
8.
1
х8
1
2
1
х 3 2 х 18 3 х
9.
3х
28 53х
4х
2
2 х 5 4 х 25 2 х 5
10. 1
217 6 х 1 2 х
11
2
х 6х 8 х 4 х 2
Решить систему уравнений методом подстановки
сложения:
и
методом алгебраического
2 х 5 у 7
1.
3х у 15
6 х у 5
2.
2 х 3 у 5
3х 2 у 16
3.
4 х у 3
3х 2 у 5
4.
2 х 5 у 16
2 х 3 у 5
5.
3х 2 у 14
8 х 2 у 11
6.
6 х 4 у 11
7 х 3 у 1
7.
2 х 6 у 10
5 х 4 у 1
8.
3х 2 у 5
2 х 3 у 1
9.
6 х 2 у 14
10. рр
Решить систему неравенств:
6 х 2 5 х 1 0
1.
4 х 1 0
2 х 2 7 х 5 0
2.
2 х 0
2 х 7 4 x 3
3.
18 x 2 х
5 х 12 3х 7
4. х 2 x 3
2 х 7 0
x 2 10 x 9 0
5.
10 3x 0
х
2 0
6. 2 х 0
2 х 2 х 1
2 х 1 0
7. х 3х 1
5 х 6 2 х 6
х2 5х 4 0
8.
9 4 х 0
1 2
х 1
9. 9
х2 4
х2 6х 8 0
10.
5 2 х 0
Найти область определения функции:
1. у
х 22х 5
у
9 х2
х4
3. у
2
х 3
2.
4. у
5.
х
х2
х2 9
у 5х2 6 х 1
6. у
7.
х2 1
у
3 х
х 44 х 9
1
9 2x
8.
1 2
x
9
у 3 2x x 2
1
3х 5
9. у
3х 2 4 х 15
7 2х
10. у
х2 2
х2 4
Решите задачу арифметическим и алгебраическим способами:
1. Когда проехал
3
расстояния между городами, то до половины пути ему осталось
8
проехать 15 км. Найти расстояние между городами?
2.
В трех цехах завода работает 2740 человек. Во втором цехе работает на 140
человек больше, чем в первом, а в третьем цехе – в 1,2 раза больше, чем во втором.
Сколько человек работает в каждом цехе?
3. В колхозном саду сливовые деревья составили
деревьев, яблони -
1
всего количества плодовых
6
8
, а остальные 360 деревьев были грушевые. Сколько
15
плодовых деревьев было в колхозном саду?
4. Турист прошёл в первый день
3
всего маршрута, во второй день – 40% остатка,
8
после чего ему осталось пройти на 6,5 км. больше, чем он прошёл во второй день.
Какова длина маршрута?
5. Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км., вышли одновременно
навстречу друг другу два пешехода. Один из них проходил в час на
3
км. больше
4
другого. С какой скоростью шёл каждый, если через 2 часа после выхода
расстояние между ними стало 7
1
км.?
2
6. В трех гаражах 460 машин. Число машин в первом гараже составляет
машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1
3
числа
4
1
раза больше машин,
2
чем в первом. Сколько машин в каждом гараже?
7.
В первом вагоне в 1
выгрузить 5
1
раза больше груза, чем во втором. Если из первого вагона
2
4
1
т., а во второй добавить 14 т., то груза в вагонах будет поровну.
5
5
Сколько тонн груза в каждом вагоне?
8. Двум машинисткам поручено перепечатать рукопись. Первая машинистка
перепечатала
3
5
всей рукописи, вторая
всей рукописи. Сколько страниц в
7
14
рукописи, если первая машинистка перепечатала на 7 страниц больше, чем вторая?
9. Мальчик отпил
1
1
чашки черного кофе и долил молока, затем отпил
чашки и
6
3
опять долил молока, потом отпил еще
1
чашки и снова долил молока. Наконец, он
2
допил кофе с молоком. Чего больше выпил мальчик, кофе или молока?
10. Первый кусок проволоки на 54 м. длиннее второго. От каждого куска отрезали 12
м., при этом второй оказался в 4 раза короче первого. Какова первоначальная длина
каждого куска проволоки?
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. Используя аксиоматическое определение сложения и умножения, найдите значение
выражений:
1.
2+3;
3 3 .
2.
2+2;
3 4
3.
3+3;
2 3
4.
4+3;
4۰2
5.
2+4;
24.
6.
5+2;
22.
7.
3+6;
4 3 .
8.
4+4;
44
9.
4+5;
3 2
10.
5+3;
4 5
11.
3+5;
5 4 .
2. Вычислите рациональным способом значение выражения, укажите все случаи
использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел:
a) 37+13+86;
125 6 8 25 .
b) 27+13+18;
125 15 6
c) 24+(6+29);
(8 379) 125
d) 5 (10 4) ;
(102+33)+17.
e) 4 8 3 25 ;
349 23 56 349 349 21.
f) 209+66+91+34+72; 4 747 25 6 .
g) 569 371 170 569 569 459 ;
h) 3269+59+891;
(8 379) 125 .
32 113 125 .
i) 4523+(3788+1477); 211 9 8 125 .
j) 3456+1770+2544;
125 479 8 9 .
3. Докажите, что для любого натурального n истинно равенство:
1. 12 2 2 n 2
nn 1n 2
.
6
2. 12 3 2 5 2 2п 12
n2n 12n 1
3
3. 13 23 2т 1 т3 2т2 1
3
3
4. 1 2 3 ... n(n 1)
2
5. 1 3 5 ... (2n 1) n
6. 1 2 2 3 ... n(n 1)
2
n(n 1)( n 2)
3
7. 12 2 2 32 42 ... (1) n 1 n 2 (1) n 1
8. 13 23 ... n3
n(n 1)
2
n 2 (n 1) 2
4
9. 1 5 9 ... (4n 3) n(2n 1)
10. 2 20 3 21 4 22 ... (n 1)2n 1 n 2n
4. Решить задачу и обосновать выбор действия, используя теоретико-множественную
терминологию:
1. В мебельный магазин привезли 500 книжных полок. 30 покупателей купили по 4
полки и 20 покупателей по 8 полок. Сколько полок осталось?
2. В среду в библиотеке побывало 75 человек, в четверг – на 25 человек меньше, а в
пятницу – в 2 раза больше, чем в четверг. Сколько человек побывало в библиотеке за 3
дня ?
3. В первый раз в лыжном походе участвовало 15 учеников, во второй раз в 3 раза
больше, чем в первый, а в третий – на 7 человек меньше, чем во второй. Сколько учеников
участвовало в походе в первый раз?
4. Миша нашел 12 грибов, а Коля – на 4 меньше, чем Миша. Таня нашла в 2 раза
меньше грибов, чем Коля. На сколько меньше грибов нашла Таня по сравнению с Мишей?
5. В школе в четырех аквариумах было по 18 рыбок в каждом. 32 рыбки школьники
подарили детскому саду. Сколько рыбок осталось?
6. Миша нашел 8 грибов, а Коля – на 4 больше, чем Миша. Таня нашла в 2 раза больше
грибов, чем Коля. Сколько всего грибов нашли дети?
7. Для школьного сада привезли 30 саженцев яблонь и 12 саженцев груш. Их посадили
поровну в 6 рядов. Сколько саженцев посадили в каждом ряду?
8. Миша нашел 5 грибов, а Коля - в два раза больше, чем Миша. Таня нашла на 3 гриба
меньше, чем Коля. Сколько всего грибов нашли дети?
9. Девочка принесла в одном пакете 12 морковок, а в другом 24. Она раздала их
поровну 6 кроликам. По сколько морковок она дала каждому кролику?
10. Миша нашел 12 грибов, а Коля в три раза меньше, чем Миша. Таня нашла на 2
гриба больше, чем Коля. Во сколько раз больше оказалось грибов у Миши, чем у Тани?
Докажите, используя теоретико-множественные определения, что:
5.
1. 20 – 9 = 11,
11· 3 = 33,
15 + 7 = 22,
2. 6 + 3 = 9,
17 – 8 = 9,
12ּ3 = 36,
3. 7 + 8 = 15,
12 - 8 = 4,
13 · 2 = 26,
20 : 5 = 4
4. 11 + 4 =15,
13 – 6 = 7,
2 · 9 = 18,
12 : 4 =3
5. 9 + 6 = 15,
17 – 8 = 9,
7 · 3 = 21,
15 : 3 = 5
6. 9 + 8=17,
13 – 7 = 6,
3 · 6 = 18,
20 : 4 = 5
7. 9 + 4 = 13,
15 – 7 = 8,
7 · 2 = 14,
24 : 6 =4
8. 8 + 3 = 11,
12 – 5 = 7,
4 · 3 = 13,
15 : 5 = 3
9. 5 + 7 =12,
15 – 4 = 11,
3 · 5 = 15,
21: 7 = 3
10. 5 + 3 = 8,
7 – 2 = 5,
14·3 = 42
18 : 3 = 6.
36 : 9 = 4
22 : 2 = 11
6. Решите задачу:
1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Число, записанное теми же цифрами, но
в обратном порядке, составляет
4
исходного числа. Найти эти числа.
7
2. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то
получится число, которое на 27 меньше исходного. Найдите эти числа.
3. Разность между наибольшими трехзначным числом и задуманным в 2 раза больше
разностей между задуманным числом и наибольшим двузначным. Найдите
задуманное число.
4. Найдите двузначное число, в котором число десятков в 3 раза больше числа
единиц. Если цифры этого числа переставить, то полученное число будет меньше
искомого на 54?
5. В трехзначном числе десятков на один больше, чем единиц и сотен на одну
больше, чем десятков. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке, то получится 444. Найдите это число.
6. В двузначном числе десятков в 3 раза больше, чем единиц. Если между цифрами
этого числа вставить цифру 0, то число увеличится на 540. Найдите двузначное
число.
7. Двузначное число оканчивается цифрой 3. Если сумму его цифр умножить на 4, то
получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите
двузначное число.
Сумма цифр двузначного числа равна 16.Если из этого числа есть число,
8.
записанное теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке, то получиться 18.
Найти двузначное число.
9. Цифра десятков в записи данного двузначного числа втрое больше цифры единиц.
Если эти цифры переставить, то получится число, меньшее данного, на 36. Найти
двузначное число.
10. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если к этому числу прибавить удвоенное
число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 141.
Найти двузначное число.
7.
1. На примере сложения чисел покажите, какие теоретические положения лежат в
основе алгоритма сложения многозначных чисел.
1.3457 и798
2. 4369 и 1275
3. 2473 и 72
2. На примере вычитания чисел 1726 и 2215 покажите, какие теоретические
положения лежат в основе алгоритма вычитания многозначных чисел.
1.979 и 2221
2.16037 и 79
3. На примере умножения чисел 1547 и 8 покажите, какие теоретические
положения лежат в основе алгоритма умножения многозначных чисел.
1.2004 и 6
2.378 и 7
3.4117 и 9
8. Запишите в порядке возрастания числа:
5136, 26547, 258
1449, 11112, 123.
839, 112, 2018.
20199, 20123, 3258.
265437, 10112, 123
3257, 14445, 123.
127, 10112, 389.
5136, 20123, 3338.
3278, 11012, 839
117, 115, 112, 119
8. Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление следующих чисел.
8549 и 2123 в семеричной системе счисления
4235 и 6317 в шестеричной системе счисления
5346 и 2324 в пятеричной системе счисления
3478 и 2345 в девятеричной системе счисления
3425 и 3546 в семеричной системе счисления
2022 и 4536 в четверичной системе счисления
7548 и 2324 в шестеричной системе счисления
3524 и 5326 в восьмеричной системе счисления
2435 и 4678 в четверичной системе счисления
3527 и 2314 в пятеричной системе счисления
9. Решите задачу:
Числа a и b при делении на 15 дают одинаковые остатки, равные 8. Какой остаток
при делении на 15 даст их сумма, разность, произведение?
Числа a и b при делении на 10 дают соответственно остатки, равные 6 и 4. Какой
остаток при делении на 10 даст их сумма, разность, произведение?
Числа a и b при делении на 13 дают одинаковые остатки, равные 7. Какой остаток
при делении на 13 даст их сумма, разность, произведение?
Числа а и в при делении на 9 дают соответственно остаток 6 и 3. Какой остаток
при делении на 9 дает их сумма, разность, произведение?
Числа а и в при делении на 11 дают одинаковые остатки равные 7. Какой остаток
при делении на 11 даст их сумма, разность, произведение ?
Числа а и в при делении на 6 дают остатки 4 и 2. Какой остаток при делении на 6
даст их сумма, разность, произведение?
При делении чисел а и в на 12 получается один и тот же остаток 9. Какой остаток
при делении на 12 даст их сумма, разность, произведение?
Числа а и в при делении на 8 дают остатки 5 и 3. Какой остаток при делении на 5
даст их сумма, разность, произведение?
Числа а и в при делении на 5 дают соответственно остатки 4 и 1. Какой остаток
при делении на 5 даст их сумма, разность, произведение?
Числа а и в при делении на 7 дают одинаковые остатки равные 4. Какой остаток
при делении на 7 даст их сумма, разность, произведение ?
10. Используя метод математической индукции, доказать, что
a. (32n + 1 + 1) кратно 4.
b. (n3 + 5n) кратно 6
c. (52n - 1 + 1) кратно 6.
d. (n 5 n) 5
e. (6 2n 1) 35
f.
( n 5 n) 6
2n 3
5)8
g. (3
h. n (n 1)12
2
2
i.
(4n 1)3
j.
(n3 7n 6)6
11. Найти НОК и НОД (двумя способами) чисел:
a. 192 и 1620.
b. 21120 и 30720
c. 536 и 1024
d. 588 и 2058.
e. 2849 и 5880
f. 548 и 2466
g. 6188 и 4709
h. 2800 и 2673
i. 57599 и 55687
j. 3762 и 4446
11. Среди данных чисел найти простые:
a. 372, 381, 425, 113, 549, 341
b. 257, 385, 428, 143, 117, 451
c. 457, 284, 357, 119, 187, 341
d. 745, 452, 627, 221, 209
e. 341, 256, 417, 223, 345
f. 143, 425, 819, 227, 423
g. 781, 258, 425, 231, 117
h. 561, 736, 441, 265, 119
i. 785, 891, 342, 219, 223
12. Найти все числа вида:
1.
7 ху436
2. 6 х8 у 45
3. 2 х7 у 36
4. 8 х 4 у 45
5.
9 ху636
6. 2 х8 у 36
7. 2 х 4 у 36
8. 7 ху236
9. 7 x3 y 45
10. 3 x7 y 36
МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. Установите, равны ли дроби:
17
23
3
5
1. а)
и
; б)
и
27
19
71 21
2. а)
3. а)
4. а)
5. а)
6. а)
7. а)
8. а)
7
72
17 15
и
; б)
и
8 108
19 17
5
10
30
402
и
; б)
и
70
17
34
455
23
69
5
81
и
; б) и
25
75
9 102
5
14
5
10
и
; б)
и
16 32
50 45
108 402
4 120
и
; б) и
144 455
7
210
9
36
13
17
и
; б)
и
24
24
96
36
7
5
4 133
и
; б) и
42
5 175
30
7
11
15
5
и
; б)
и
15 16
219
73
84
2
3
2
10. а)
и
; б)
и
7644 182
110 33
9. а)
2. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
1
3
3
2
1. а)
и
; б)
и
110 33
55 65
1
1
2
4
2. а)
и
; б)
и
.
60 15
171 85
1
3
1
2
3. а)
и
; б)
и
.
35 110
65 85
6
3
1
2
4. а)
и
; б)
и
.
900 85
33 77
3
2
1
2
5. а)
и
; б) и
.
77
3 171
85
3
7
4
1
6. а)
и
; б)
и
.
55 65
33 150
1
1
2
7
7. а)
и
; б) и
.
10 120
3 171
1
3
1
2
8. а)
и
; б)
и
.
60 110
55 75
3
6
1
2
9. а)
и
; б)
и
.
55
105 171
900
2
6
1
8
10. а)
и
; б) и
.
3 35
90 72
3. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых
дробей:
1 2 3
17 8 29
; б)
.
1. а)
7 21 7
13 9 51
2. а)
3. а)
4. а)
5. а)
6. а)
7. а)
8. а)
9. а)
10. а)
7 3 11
7 3 8
; б) .
10 8 8
8 4 13
31 1 39
3 9 8
; б) .
80 16 80
5 10 9
9 7 5
73 11 1
.
; б)
10 8 6
15 15 5
22 6 19 7
31 3 39
.
; б)
13 11 21 38
70 16 70
8 3 2
73 15 3
.
; б)
22 5 71
25 25 5
1 9 15
19 8 75 2
; б)
.
7 21 21
21 7 3 40
17 3 1
73 11 1
.
; б)
21 52 5
15 15 5
23 3
5 6
3 1 1
.
; б)
5 15 25 7
22 5 22
23 1 11
3 9 3 8
; б) .
30 20 30
5 10 5 9
4. Найдите несократимую дробь, равную следующей:
325
81 2 81 5
1. а)
;
б)
;
2280
7 99
144
9 81 9
2. а)
;
б)
;
9 160
288
3. а)
4. а)
5. а)
6. а)
7. а)
8. а)
9. а)
10. а)
250
;
1270
1368
;
1704
1926
;
1974
175
;
623
504
;
672
315
;
2005
402
;
455
108
;
144
17 102 17 100
;
2 36
19 25 19 5
б)
;
5 70
8 56 8 45
б)
;
11 3
23 6 32 23
б)
;
29 70
38 53 38 25
б)
;
19 42
45 56 45 14
б)
;
70 72
28 38 28 22
б)
;
50 36
5 36 5 44
б)
;
70 28
б)
6. Следующие обыкновенные дроби запишите в виде десятичных:
229
123
а)
; б)
.
82
38
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
7
;
352
12
;
96
125
;
50
21
;
75
12
;
56
576
;
180
861
;
574
140
;
56
672
;
210
48
.
15
128
б)
.
52
38
б)
.
149
123
б)
.
835
7
б)
.
350
32
б)
.
59
96
б)
.
123
222
б)
.
99
7
б)
.
357
б)
7. Вычислите значение выражения:
6,3 5,13 (0,342 6,35 0,342 3,65)
a.
6,528 (0,503 140 26,28 0,375
1,2 0,045 133,6 2 233,6 13,6 13,6 2 )
(4,0554 0,675 0,608) 2,05 1,47
(7094 1,029542 0,0257) 0,23
c.
(18,7 2 2 18,7 11,3 11,3 2 ) 28,8 28,05
(2,268 2,25 0,75) 0,04 0,75
d.
0,36 0,751 0,36 0,829 0,36 0,58
(6,26 0,125 0,0705 710) 252
e.
4,65 4,32 (0,288 15,7 0,288 5,7)
b.
4,86 0,12 (5,05 2 3,05 )
f.
(27,0405 6,75 3,973) 0,0132 0,74
(6,244 3,1521 0,525) 0,0192 3,7
g.
1,33 0,39 (1,76 2 1,24 2 )
2
h.
i.
j.
((5,2 2 2,6 8,1) 2 6,5 2 ) 0,025
(60,192 2,4 1,08) 2 0,24 1400
3,05 2 2,55 2
0,35 388 28,8 (20,56 14,501 0,85)
6,62 5,4 3,38 1,22 3,38
20,12 13 2 33,1 12,9
8. Для каждой бесконечной периодической дроби, найдите соответствующую ей
несократимую обыкновенную дробь:
а) 0,(3)+0,(6); б) 0,2(028)
а) 0,(2)+0,(1); б) 0,3(235)
а) 0,(14)+0,(12); б) 0,3(253)
а) 0,(6)+0,(3); б) 0,5(023)
а) 0,(22)+0,(20); б) 0,5(123)
а) 0,(90)+0,(09); б) 0,4(124)
а) 0,(4)+0,(6); б) 0,2(352)
а) 0,(32)+0,(28); б) 0,5(269)
а) 0,(5)+0,(4); б) 0,6(424)
а) 0,(9)+0,(6); б) 0,6(106)
7.2. Примерный перечень вопросов к зачету или экзамену
Вопросы к экзаменам для студентов
(5 семестр)
1. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств.
2. Отношения между множествами. Пересечение множеств.
3. Объединение и разность множеств. Дополнение множества.
4. Свойства пересечения множеств.
5. Свойства объединения множеств.
6. Разбиение множества на классы
7. Декартово произведение множеств.
8. Число элементов в объединении, разности в декартовом произведении конечных
множеств.
9. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями.
10. Определение понятий.
11. Высказывания. Отрицание высказываний.
12. Конъюнкция высказываний и ее свойства
13. Дизъюнкция высказываний и ее свойства
14. Импликация. Виды импликаций.
15. Законы контрапозиции
16. Эквиваленция. Тавтология.
17. Законы де Моргана.
18. Предикаты. Отрицание предиката. Конъюнкция предикатов.
19. Дизъюнкция, импликация предикатов.
20. Кванторы.
21. Отношения логического следования и равносильности.
22. Структура теоремы, Виды теорем.
23. Умозаключения и их виды.
24. Схемы дедуктивных умозаключений.
25. Способы математического доказательства.
26. Комбинаторные задачи и их решения.
27. Понятие отношения на множестве. Свойства отношений.
28. Отношение эквивалентности и порядка.
29. Понятие алгебраической операции. Свойства алгебраической операции.
30. Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий.
31. Взаимно однозначные соответствия.
32. Числовые функции. Способы задания функции. График функции
33. Прямая и обратная пропорциональность. Линейная функция.
6 семестр
1. Аксиоматический метод в математике. Аксиоматическое определение натурального
числа.
2. Аксиоматическое
определение
сложения
натуральных
чисел.
Теорема
существования и единственности сложения.
3. Ассоциативный закон сложения.
4. Коммутативный закон сложения.
5. Аксиоматическое определение умножения натуральных чисел. Теорема
существования и единственности умножения.
6. Ассоциативный закон умножения.
7. Дистрибутивный закон умножения.
8. Коммутативный закон умножения.
9. Упорядоченность множества натуральных чисел. Транзитивность отношения
«меньше».
10. Антисимметричность отношения «меньше». Теорема о наименьшем числе.
11. Свойство монотонности.
12. Особенности множества натуральных чисел.
13. Аксиоматическое определение вычитания натуральных чисел. Теорема
существования и единственности разности.
14. Вычитание числа из суммы и суммы из числа.
15. Аксиоматическое определение деления натуральных чисел. Теорема существования
и единственности деления.
16. Делимость суммы на множестве N.
17. Делимость разности на множестве N
18. Делимость произведения на число.
19. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком.
20. Основные свойства множества натуральных чисел.
21. Метод математической индукции.
22. Количественные натуральные числа. Счет.
23. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
24. Теоретико-множественный смысл суммы, разности. Произведения, частного.
25. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
26. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл
суммы и разности.
27. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате
измерения величин.
7 семестр
1. Позиционные и непозиционные системы счисления.
2. Запись числа в десятичной системе счисления
3. Запись числа в р-ичной системе счисления
4. Алгоритм сложения.
5. Алгоритм вычитания.
6. Алгоритм умножения.
7. Алгоритм деления.
8. Отношение делимости натуральных чисел.
9. Свойства отношения делимости.
10. Деление с остатком.
11. Признак делимости суммы.
12. Признак делимости разности.
13. Признак делимости произведения.
14. Признак делимости на 2, 5, 4, 3, 9
15. НОК натуральных чисел.
16. НОД натуральных чисел. Его основные свойства.
17. Взаимосвязь НОД и НОК.
18. Понятие простого числа. Основные свойства простых чисел.
8 семестр
Понятие дроби, равенство дробей
Теорема об отношении равенства дробей
Положительные рациональные числа
Сложение рациональных чисел
Отношение «меньше» на множестве Q+ и его свойства
Десятичные дроби.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную и периодической десятичной дроби в
обыкновенную.
8. Несоизмеримые отрезки
9. Длина отрезка как бесконечная десятичная дробь
10. Приближенное значение по избытку и недостатку.
11. Отношение «меньше» на множестве R+ и его свойства
12. Сложение во множестве R+
13. Умножение во множестве R+
14. Положительные и отрицательные числа
15. Сложение действительных чисел
16. Вычитание действительных чисел
17. Умножение и деление на множестве действительных чисел.
18. Аксиоматика множества положительных действительных чисел
19. Понятие числового выражения и его значения. Числовые равенства и их свойства.
20. Выражения с переменной, его область определения. Тождественные преобразования
выражений. Тождества.
21. Уравнения с одной переменной, равносильные уравнения. Теоремы равносильности
уравнений.
22. Уравнение с двумя переменными и его решение. Системы уравнений с двумя
переменными.
23. Графическое решение уравнений и систем уравнений с двумя переменными.
24. Числовые неравенства и их свойства. Неравенства с одной переменной.
25. Равносильные неравенства, теоремы о равносильности неравенств.
26. Неравенство с двумя переменными и его решение. Системы неравенств с двумя
переменными.
27. Графическое решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
История возникновения и развития геометрии. Геометрия Лобачевского
Аксиоматика евклидовой геометрии
Свойства геометрических фигур на плоскости.
Углы.
Параллельные и перпендикулярные прямые.
Треугольники, четырехугольники, многоугольники.
Окружность. Круг.
8. Построение геометрических фигур при помощи циркуля и линейки
9. Понятие преобразования.
10. Симметрия относительно точки и прямой.
11. Движение и равенство фигур.
12. Свойства параллельного проектирования
13. Многогранники и их изображение.
14. Шар, цилиндр, конус.
15. Длина отрезка и ее измерение.
16. Величина угла и ее измерение.
17. Площадь Фигуры и ее измерение.
18. Площадь многоугольника.
19. Площадь произвольной плоской фигуры
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для более успешного освоения материала студентам предлагается следующая
последовательность подготовки темы:
1.внимательно ознакомиться с темой практического занятия;
2. прочитать конспект лекции;
3. познакомиться с соответствующими разделами учебных пособий;
4. прочитать рекомендуемую по теме литературу;
5. разобрать решенные задания и задачи по теме;
6. провести самоконтроль через соответствующие вопросы.
11. Паспорт рабочей программы дисциплины
Разработчик(и) : Слинкина Валентина Францевна, к.п.н., доцент.
ФИО, ученая степень, должность
Программа одобрена на заседании кафедры дошкольного и начального образования
от «___» ____________ _г., протокол № __.
Согласовано:
Зав. кафедрой _____________
«___» ________________г.
Согласовано:
Специалист по УМР _________________
«___» ________________г.
