Методы численного интегрирования Численные методы в оптике кафедра прикладной и компьютерной оптики 2 Численное интегрирование Определенный интеграл от некоторой функции f x : b I f ( x ) dx y f(x) a S x Численное интегрирование: a b N I c j f (x j ) j 1 где c j – числовые коэффициенты, выбор которых зависит от выбранного метода численного интегрирования x j a, b, j 1,, N – узлы интегрирования 3 Погрешность численного интегрирования Численное интегрирование применяется: подынтегральная функция задана не аналитически, а таблицей значений аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции Погрешность численного интегрирования: b N a j 1 n f ( x) dx c j f ( x j ) уменьшение шага разбиения повышения степени используемых интерполяционных многочленов 4 Метод прямоугольников Левые прямоугольники Средние прямоугольники Правые прямоугольники x x x x0 x1 xN N I h f ( x j 1 ) j 1 x0 xN x1 N I f ( x j 0.5 ) h j 1 x0 x1 xN N I h f (x j ) j 1 x j 0.5 x j 0.5h Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки длиной h Интеграл вычисляется как сумма вписанных в каждый частичный отрезок прямоугольников чем меньше длина отрезков h, тем точнее вычисленное значение интеграла метод средних прямоугольников наиболее точный 5 Метод трапеций b x x0 x1 a N f ( x)dx f x j f x j 1 2 j 1 h xN Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки длиной h Каждый отрезок функции [xj-1, xj] представляется в виде трапеции: f ( x) 1 x x j1 f ( x j ) x x j f ( x j1) h Интеграл вычисляется как сумма трапеций 6 Метод Симпсона Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки длиной h Каждый отрезок функции аппроксимируется параболой парабола проходит через три точки: узлы интегрирования x j 1, x j и середину отрезка x j 0.5 2 f ( x) 2 x x j 0.5 x x j f ( x j 1 ) 2 x x j 1 x x j f ( x j 0.5 ) x x j 1 x x j 0.5 f ( x j ) h Площадь параболы на отрезке [xj-1, xj] xj f ( x)dx x j 1 h f j1 4 f j0.5 f j 6 Тогда интеграл функции на отрезке [a;b]: b a N 1 N 0.5 h f ( x)dx f1 f N 2 f j 4 f j 6 j 1 j 1.5 x x0 x0.5 x1 xN 7 Метод Симпсона Избавимся от дробных индексов, разобьем отрезок [a;b] на N2 равных отрезков длиной h : xj a h j j 1,2, 2 N h ba 2N Тогда формула Симпсона примет вид b a f ( x)dx h f0 f 2 N 2 f 2 f 4 f 2 N 2 4 f1 f3 f5 f 2 N 1 3 2 N 2 2 N 1 h f0 f 2 N 2 f j 4 f j 3 j 2, 2 j 1, 2 отрезок интегрирования всегда разбивается на четное число интервалов x x0 x1 x2 x2N 8 Семейство методов Ньютона-Котеса Интегрируемая функция интерполируется на отрезке [xj-1, xj] по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа xj n ci f ( xi ) f ( x)dx i 1 x j 1 где ci весовые коэффициенты метод прямоугольников – многочлен Лагранжа 0й степени метод трапеций – многочлен Лагранжа 1й степени метод Симпсона – многочлен Лагранжа 2й степени В общем виде формула Ньютона-Котеса: b a nh f ( x )dx Cn N n cin f ( xi ) j 1i 0 Где N - количество частичных отрезков, x j x j 1 n - порядок метода h n n Cn cin i 0 xi x j i h Весовые коэффициенты метода Ньютона-Котеса c1n c2n c3n c4n n Cn c0n n 0 1 1 i 0 1 2 1 1 2 6 1 4 1 3 8 1 3 3 1 4 90 7 32 12 32 7 5 288 19 75 50 50 75 Cn cin c5n 19 9 10 Метод Гаусса Узлы интегрирования xi на отрезке [xj-1, xj] располагаются не равномерно, а выбираются таким образом, чтобы правило было точным для полиномов наиболее высокой степени xj n ci f ( xi ) f ( x)dx i 0 x j 1 узлы xi являются корнями полинома Лежандра степени n веса вычисляются интегрированием полиномов Лежандра b a a b N n f ( x)dx cin f ( xi ) 2 N j 1 i 0 N - количество частичных отрезков, n - порядок метода 11 Весовые коэффициенты метода Гаусса Приведенные в таблице данные соответствуют отрезку [-1;1] Для интегрирования на отрезке [xj-1, xj] необходимо пересчитать значения узлов для заданного отрезка: 1 2 3 4 xi x j 1 ( xi 1;1 1)( x j 1 x j ) 2 5 6 i x i [-1;1] ci 1 0 2 1 -0.5773503 1 2 0.5773503 1 1 -0.7745967 0.5555556 2 0 0.8888889 3 0.7745967 0.5555556 1 -0.8611363 0.3478548 2 -0.3399810 0.6521451 3 0.3399810 0.6521451 4 0.8611363 0.3478548 1 -0.9061798 0.4786287 2 -0.5384693 0.2369269 3 0 0.5688888 4 0.5384693 0.2369269 5 0.9061798 0.4786287 1 -0.9324700 0.1713245 2 -0.6612094 0.3607616 3 -0.2386142 0.4679140 4 0.2386142 0.4679140 5 0.6612094 0.3607616 6 0.9324700 0.1713245 12 Лабораторная работа №2 Вычислить определенный интеграл функции методами Ньютона-Котеса (1-5 порядка) и Гаусса (1-6 порядка) Вычислить функцию концентрации энергии (ФКЭ) по заданному распределению интенсивности в функции рассеяния точки (ФРТ). Задание оценивается в баллах: 5 баллов - вычисление интеграла функции различными методами +1 балл первому кто выполнит задание 3 балла - вычисление ФКЭ + 1 балл первому кто выполнит задание + 0.5 балла - выполнение работы в срок Функция концентрации энергии Функция концентрации энергии показывает, какая часть общей интенсивности ФРТ укладывается в круге диаметром : E d h( x , y )d x d y E 1 d h( x , y )d x d y 0.8 0.6 0.4 0.2 d 0 1 2 3 4 5 14 Узлы интегрирования Разбиваем диапазон [a, b] на N узлов (N не меньше 100) Внутри каждого интервала [xj-1, xj] разбиваем на нужное число узлов n, в зависимости от порядка метода Для формулы Гаусса значения узлов пересчитываются для интервала [xj-1, xj] xi x j i h x j a j dx h x j x j 1 xj-1 n ba dx N xj n узлов а N узлов b