Первообразная

Первообразная
и неопределенный
интеграл
Учитель МОУ «Павловская СОШ»
Бредихина Ирина Васильевна
Историческая справка
Вы познакомитесь в этой теме с самыми началами интегрального
исчисления, служащего продолжением уже известного вам
дифференциального исчисления.
Первые работы по открытию интегрального исчисления принадлежат еще
Архимеду – первому математику древности.
В средние века этой проблемой занимался итальянский ученый Кавальери.
Но подлинное открытие интегрального исчисления принадлежит двум великим
ученым XVII века – Ньютону и Лейбницу.
Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм
Лейбниц
Архимед
Бонавентура
Кавальери
Операция интегрирования является
обратной операции дифференцирования.
Операция интегрирования позволяет по
заданной производной f′ (x) найти
(восстановить) функцию f (x) (латинское
слово integratio означает «восстановление»).
Определение
Функция F (x) называется первообразной для
функции f (x) на заданном промежутке, если
для любого x из этого промежутка F' (x) = f (x).
Пример
Для функции f (x) = x3 на интервале (–∞; +∞)
первообразной является функция F(x) =
F′(x) =
х𝟒
𝟒
′
𝟏
𝟒
= ∙ 𝟒 ∙ х𝟑 = х𝟑
х𝟒
𝟒
, поскольку
Задание 1. Найти одну из первообразных
для следующих функций
1) f(x) = 3
2) f(x) = -2x
3) f(x) = x5
4) f(x) = sin x
5) f(x) = 3x2 + 3cos x
1) 𝑭 𝒙 = 𝟑𝒙
2) 𝑭 𝒙 = −𝒙𝟐
𝒙𝟔
𝟔
3) 𝑭 𝒙 =
4) 𝑭 𝒙 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒙
5) 𝑭 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝒙
Основное свойство первообразных
Если F(x) – первообразная функции f(x), то и
функция F(x)+C, где C – произвольная
постоянная, также является первообразной
функции f(x)
Выражение F (x) + C называют общим видом
первообразных для функции f (x).
Геометрическая интерпретация
y
y= F(x)
x
Графики любых
первообразных для
данной функции
получаются один
из другого
параллельным
переносом вдоль
оси Оy
Задание 2.
Укажите первообразную функции
f ( x )  x  cos x
2
2
x
1.F ( x )   sin x  С
2
x
2.F ( x )   sin x  С
2
3.F ( x)  x  cos x  С
4.F ( x )  2  cos x  С
2
Задание 3. Для функции
1
f ( x) 
найти
x
первообразную, график которой проходит
через точку М (4;5)
Решение.
F ( x )  2 x  C , где С – произвольная постоянная
Так как по условию
F ( 4)  2 4  C  4  C  5
то С=1.
Ответ:
F ( x)  2 x  1
Задание 4.
x
Найти первообразную функции y  2 sin 3x  4 cos
,
которая при

x
3
принимает значение, равное 0.
Решение.
1
x
F ( x )  2  cos 3x  4  2 sin , где С – произвольная
3
2
постоянная. Так как по условию
2

2
 
F     cos   8 sin  C  4  C  0,
3
6
3
 3
2
то C  4 .
3
2
2
x
2
Ответ:F ( x )   cos 3x  8 sin  4 .
3
2
3
Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается  f ( x)dx :
 f ( x)dx  F ( x)  C



где f(x) – подинтегральная функция,
f(x)dx – подинтегральное выражение
(дифференциал),
С – постоянная интегрирования
Техника интегрирования – сложный раздел математики.
В нем сделали свои открытия Эйлер, Лобачевский,
Коши, Остроградский.
Вам предстоит ознакомиться с тремя самыми простыми
правилами интегрирования.
Основные свойства
неопределенного интеграла
1.  kf ( x ) dx  k  f ( x ) dx.
2.   f1 x   f 2 ( x )  dx   f1 ( x ) dx   f 2 ( x ) dx.
1
3.  f kx  b  dx  F kx  b   C.
k
Задание 5. Найдите интегралы с помощью таблиц:
1. (3x  5)dx
1

2.  2  x  3dx
x

3. x x dx
3
Решение:
3x 2
 5x  C
1.
2
1 2x x
2.  
C
x
3
3.
3x
23
7
x
C
Задание 6. Вычислить интеграл
 sin 3x cos xdx
Решение. Преобразуем произведение в сумму
тригонометрических функций
1
1
1
 sin 3x cos xdx  2  sin 4 x  sin 2 x dx   8 cos 4 x  4 cos 2 x  C.