МОДУЛЬ 1 механика мат точки 2014

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ № 1
«МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ»
Кинематика материальной точки
• системы координат
• кинематические
характеристики
• средняя и мгновенная
скорости
• среднее и мгновенное
ускорения
• движение по окружности
•
•
•
•
•
•
•
Динамика поступательного
движения
законы Ньютона
силы в природе
центр масс системы
работа и энергия
поле сил
взаимодействие
материальных точек
неинерциальные системы
отсчета
Элементы специальной теории относительности
•
Принцип относительности Галилея и постулаты Эйнштейна
•
Преобразования Лоренца и следствия из них
•
Основные соотношения релятивистской механики
Механика и ее структура
• классическая механика
• релятивистская механика
• квантовая механика
•
•
• Кинематика — это
раздел механики, в котором
изучаются геометрические
свойства движения тел без
учета их массы и
действующих сил.
•
• Динамика изучает
движение тел в связи с
вызывающими его
причинами —
взаимодействиями тел.
• Статика — изучает
законы равновесия системы
тел.
•
Физические модели:
Материальная точка — тело, форма и
размеры которого несущественны в
условиях данной задачи.
Абсолютно твердое тело —
деформацией которого в условиях данной
задачи можно пренебречь и расстояние
между любыми двумя точками этого тела
остается постоянным.
Абсолютно упругое тело — деформация
которого подчиняется закону Гука, а после
прекращения внешнего силового
воздействия такое тело полностью
восстанавливает свои первоначальные
размеры форму.
Абсолютно неупругое тело —
полностью сохраняющее
деформированное состояние после
прекращения действия внешних сил.
ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ
Механическим движением называется изменение положения тела в
пространстве с течением времени.
Различают пять видов движения твердого тела:
1) поступательное движение. При поступательном движении любая
прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной
своему
начальному положению.
Поступательное
движение — это движение, при котором
2) вращение
вокругжестко
неподвижной
оси.сВращением
вокруг неподвижной оси
любая прямая
связанная
телом, остается
называется
движение,
припервоначальном
котором существуют
по крайней мере две
параллельной
своему
положению.
неподвижные
точки тела
Вращательное
движение — это движение, при котором
все точки
тела движутся
по окружностям,
которых
3) плоское
движение.
При плоском
движениицентры
траектория
каждой точки
лежат
на одной
и той
же прямой вназываемой
осью вращения.плоскости
твердотвердого
тела
расположена
некоторой фиксированной
и плоскости движения всех точек параллельны между собой (иначе говоря,
все точки тела движутся в параллельных плоскостях).
4) вращение
вокруг
неподвижнойтвердого
точки. Вращением
вокруг неподвижной
Любое
движение
тела можно
точки называют движение твердого тела, если существует только одна
представить
комбинацию
точка тела, скорость
которой вкак
любой
момент времени равна нулю
скорость. поступательного
Движение твердого тела,и имеющего
одну неподвижную точку,
вращательного
представляет собой вращение вокруг проходящей через эту точку
мгновенной оси (мгновенноедвижений.
вращение).
5) свободное движение. При свободном движении никаких кинематических
ограничений на движение твердого тела не накладывается.
Постулаты классической
механики
1)
Линейные
масштабы
и
промежутки времени остаются
неизменными при переходе от
одной системы отсчета к другой,
они не зависят от выбора
системы отсчета
2)время абсолютно
3)пространство
абсолютно
Способы описания движения в
механике
• Векторный способ описания движения
• Координатный способ описания движения
• Естественно-параметрический способ описания
движения частицы описания
СИСТЕМА КООРДИНАТ
• Тело отсчета — произвольно
выбранное тело, относительно
которого определяется
положение остальных тел.
• Система отсчета —
совокупность системы
координат и часов, связанных с
телом отсчета.
• Декартова прямоугольная
система координат — это три
пересекающиеся в одной точке
(начало координат) взаимно
перпендикулярные оси х, у, z

 

r  xi  yj  zk
радиус-вектор

| r | r  x 2  y 2  z 2
Эти уравнения
называются
кинематическими
уравнениями
движения точки.
x  x (t )
y  y (t )
z  z (t )
 
r  r (t )
СИСТЕМА КООРДИНАТ
• Декартова прямоугольная
система координат — это три
пересекающиеся в одной точке
(начало координат) взаимно
перпендикулярные оси х, у, z
• Положение тела на
плоскости удобно
определять в полярной
системе координат
• В сферической системе
координат положение тела в
пространстве задается тремя
числами
Векторный способ описания движения
длина пути
траектория
s  s (t )
радиус-вектор
Перемещение



   

r  r  r0  r (t )  r (t0 )  xi  yj  zk
Скорость — это векторная величина, которая определяет как быстроту
движения, так и его направление в данный момент времени.

r
 
t

Вектором средней скорости за интервал времени t
называется отношение приращения r радиуса-вектора точки к
промежутку времени t
Мгновенная скорость — векторная величина, равная
первой производной по времени от радиуса-вектора r
рассматриваемой точки:
Средняя скорость неравномерного
движения (другое название —
средняя путевая скорость).


r dr 
  lim

r
t dt



| r |
s ds
 |  | lim
 lim

t
t dt
t2
Длина пути s, пройденного точкой за промежуток
времени от t1 до t2, задается интегралом:
s    (t )dt
t1
Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то
движение называется ускоренным, если же он убывает с
течением времени, то движение называется замедленным.
Ускорение —
это векторная величина, характеризующая быстроту
изменения скорости по модулю и направлению.
Среднее ускорение в интервале времени t — векторная
величина, равная отношению изменения скорости v
интервалу времени t

 
a 
t
Мгновенное ускорение материальной точки — векторная
величина равная первой производной по времени скорости
рассматриваемой точки (второй производной по времени от


радиуса-вектора этой же точки)




d
d r
r
a  lim

  

t
dt
dt 2
В общем случае плоского криволинейного
движения вектор ускорения удобно
представить в виде суммы двух проекций
  
a  an  a
Виды движения


a  a  const , an  0
t
at 2
s   (0  at )dt  0t 
2
0
2
    0    0
a  a 


t
t  t0
t
  0  at
Тангенциальное ускорение
характеризует быстроту
изменения скорости
a
по модулю (рис.(А))

d
dt
Нормальное ускорение
направлено по нормали к
траектории к центру ее кривизны
O и характеризует быстроту
изменения направления вектора
скорости точки (рис.(B)).
 0
| 1 || 2 | 
n   sin     
s    t  R
  ( 2t ) / R
2




n
n  t

R
Полное ускорение
(рис.(C))
t
R
d n  2
an 

dt
R
a  an2  a2
Координатный способ описания движения.
Законом движения
называется
зависимость от
времени координат
частицы x(t), y(t), z(t).
Путь S частицы
dS  V (t )dt
t2
S   V (t )dt
t1
Скорость частицы
dx d
dx dy
dz
V (t ) 
 ( xi  yj  zk )  i 
j k
dt dt
dt
dt
dt
dx
Vx 
dt
cos  
dy
Vy 
dt
Vx
V
Vz 
cos  
dz
dt
Vy
V
V  V V V
2
x
2
y
2
z
Vz
cos  
V
Ускорение частицы
dVx d 2 x
ax 
 2
dt
dt
d2y
ay 
 2
dt
dt
dVy
dVz d 2 z
az 
 2
dt
dt
dVy
dVx
dV d
dVz
a
 (Vxi  Vy j  Vz k ) 
i
j
k
dt dt
dt
dt
dt
Естественно-параметрический способ описания движения


V  V
Дуговой координатой I называется
измеренное вдоль траектории
расстояние от точки О (начала
отсчета) до частицы
Скорость частицы
V  V  
dS
dl
 
dt
dt
Вектор  — это единичный вектор,
связанный с частицей и
направленный по касательной к
траектории в сторону возрастания
дуговой координаты.
Ускорение частицы
a
2
4
dV
V


a  a2  an2  
  2
 dt  
dV
dV d
d
 (V )     V
dt dt
dt
dt
dV
dV
dV
V2
a

n
 n
dt
dt
dt

 dV 
a 

dt
an 
V2

n
Число степеней свободы.
Количество независимых величин,
которые необходимо задать, чтобы
определить положение тела в
пространстве, называется числом
степеней свободы тела.
Для определения положения в
пространстве материальной
точки нужно задать три
координаты (x, у, z).
Две материальные точки (N=2),
связанные между собой (n=1)
имеют 5 степеней свободы 3+3 –
1 или 3N-n
В общем случае для твердого тела
2
6 степеней свободы 3+3+3-3=6. ( x1  x3 )2  ( y1  y3 )2  ( z1  z3 )2  l13
Если тело состоит из 3-х точек
2
2
2
2
(
x

x
)

(
y

y
)

(
z

z
)

l
1
2
1
2
1
2
12
(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3)
( x2  x3 )2  ( y2  y3 )2  ( z2  z3 )2  l232
Примеры движения
Поступательное
движение- это такое
движение при
котором любой
отрезок при
движении остается
параллельным
самому себе
Движение вокруг
оси
Движениемгновенной
вокруг
вращения
неподвижной оси
Плоское движение это такое движение при котором
траектории точек лежат в неподвижных параллельных
плоскостях
Кинематика вращательного движения
Угловое
перемещение d —
векторная величина,
модуль которой равен
углу поворота, а
направление
совпадает с
направлением
поступательного период вращения T —
движения правого временя, за которое
точка совершает один
винта.
полный оборот
T
2

1 
n 
T 2
Элементарные
повороты
(обозначаются 
или d) можно
рассматривать как
псевдовекторы.
Угловая скорость
d


dt
Угловое ускорение
d
d 2

 2 
dt
dt
Частота вращения — число полных
оборотов в единицу времени
Кинематика вращательного движения
s
R  

  lim
 lim
 R  lim
 R
t
t
t
 
 
  , R


|  | R sin 
При равномерном вращении
d

 const
dt
При равноускоренном
вращательном движении:
  const
  0  t
2
t
  0t 
2
an 
2

  t
 2 R2
 2R
R
R
d  d( R )
d
a 

R
 R
dt
dt
dt
d
s   dt   Rdt  R  dt  R
dt
t1
t1
t1
t2
t2
t2
Первый закон Ньютона.
Тело может испытывать внешние воздействия двух
типов:
а) воздействия, возникающие при непосредственном контакте
тел, их соприкосновении (например, давление, трение);
б) воздействия со стороны порождаемых телами силовых
полей (например, электрического, гравитационного).
Тело называется свободным, если на его положение и
движение в пространстве не наложено никаких ограничений,
и — несвободным — если на его возможные положения и
движения наложены те или иные ограничения (связи)
Закон инерции Галилея-Ньютона: существует
система отсчета, называемая инерциальной, в
которой не подверженное внешним воздействиям
тело (материальная точка) находится в состоянии
покоя, либо движется равномерно и прямолинейно.
Масса
Инертностью называется свойство тела
оказывать сопротивление при попытках привести
его в движение или изменить величину и
направление его скорости.
Масса есть мера инертности тела.
Свойства массы.
1. Аддитивность - масса составного тела равна
сумме масс его частей.
2. Инвариантность (постоянство). В общем
случае масса определяет гравитационные и
инерционные свойства тел
dm

dV
m    ( x, y,z )dV
V
Сила
Сила — векторная величина, являющаяся мерой механического действия
на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело
приобретает ускорение или изменяет форму и размеры.
Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия
силы.
Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль
прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку — центр сил, и
зависят только от расстояния до центра сил.
Внутренними силами называются силы взаимодействия между частями
рассматриваемой системы.
Механическая система называется замкнутой, или изолированной,
системой, если она не взаимодействует с внешними телами (на нее не
действуют внешние силы).
Силы, работа которых при перемещении тела из одного положения
в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение
произошло, а зависит только от начального и конечного положений,
называются консервативными (например, сила тяготения).
Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории
перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется
диссипативной (например, сила трения).
Второй закон Ньютона
импульс, или количество движения материальной точки.
Ускорение, приобретаемое материальной точкой
(телом), пропорционально вызывающей его силе,
совпадает с ней по направлению и обратно
пропорционально массе материальной точки
(тела):
d  d( m ) dp
F  ma  m


dt
dt
dt


p  m
 dp
F
dt


F  ma
 
dp  Fdt
Скорость изменения импульса материальной
точки равна действующей на нее силе.
t2
Векторная величина Fdt называется

p  p2  p1  Fdt
элементарным импульсом сил F за
малое время dt ее действия.
t1

Законом силы называется конкретный вид функции F.
dx dy dz
F  F ( x, y , z , , , )
dt dt dt
Основной закон динамики материальной точки выражает принцип
причинности в классической механике — однозначная связь между
изменением с течением времени состояния движения и положения в
пространстве материальной точки и действующие на нее силой, что
позволяет, зная начальное состояние материальной точки, вычислить ее
состояние в любой последующий момент времени.
Принцип независимости действия сил: если на материальную точку
действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает
материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто
других сил не было. Согласно этому принципу силы и ускорения можно
разлагать
на
составляющие,
использование
которых приводит к
существенному упрощению решения задач (принцип суперпозиции).
F  F1  F2  ...  Fi 
Третий закон Ньютона
Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер
взаимодействия;
силы
с
которыми
действуют
друг
на
друга
материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно
направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки. Эти силы
приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют
парами и являются силами одной природы.
F12  F21
Классификация сил в природе. Законы сил
Типы фундаментальных взаимодействий - гравитационные,
электромагнитные, ядерные и слабые.
• Ядерные и слабые взаимодействия характерны для процессов с участием
атомных ядер и элементарных частиц и проявляются на малых расстояниях
(~ 10-13 см).
• Электромагнитные и гравитационные силы убывают с увеличением
расстояния между взаимодействующими телами медленно потому
электромагнитные и гравитационные силы называют
дальнодействующими. ё
Сила гравитационного притяжения
m1m2
F12   2 er
r12
постоянная
 — гравитационная
 = 6,672 х 10-11 м3/(кг-с2).
В системе отсчета связанной с Землей, на всякое тело массой m
действует сила тяжести —с которой тело притягивается Землёй. Под
действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым
ускорением - ускорением свободного падения.
Весом тела — называется сила, с которой тело вследствие
тяготения к Земле действует на опору или натягивает нить подвеса.
Невесомость — это состояние тела, при котором оно движется
только под действием силы тяжести.
Классификация сил в природе. Законы сил
Упругие силы.
Деформация — это изменение формы и размеров твердых тел под
действием внешних сил.
Пластическая деформация — это
Деформация называется упругой,
деформация, которая сохраняется в
если после прекращения действия
теле после прекращения действия
внешних сил тело принимает
внешних сил.
первоначальные размеры и форму.
Напряжение σ — физическая величина, численно равная упругой
силе Fel, приходящейся на единицу площади dS сечения тела:

 dF
  el
dS
Относительная деформация — количественная мера,
характеризующая степень деформации и определяемая отношением
абсолютной деформации ∆x к первоначальному значению величины x ,
характеризующей форму или размеры тела:
относительное изменение длины l
стержня (продольная деформация) ε:

относительное поперечное растяжение
(сжатие) ε′ ,где d — диаметр стержня.
(поперечная деформация)
l
l
 '
d
d
µ — положительный
коэффициент,
зависящий от свойств
материала и
называемый
коэффициентом
Пуассона.
 '   
x
x
Классификация сил в природе. Законы сил
Закон Гука: при малых
деформациях
относительная деформация
ε пропорциональна
напряжению σ:
E — коэффициент пропорциональности
(модуль упругости), численно
равный напряжению, которое возникает при
относительной деформации,
равной единице. Для случая одностороннего
растяжения (сжатия) модуль упругости
называется модулем Юнга.
Закон Гука: удлинение стержня при упругой
деформации пропорционально действующей
на стержень силе
k — коэффициент упругости.
  E

l 
F
 
l
E ES
ES
F
l  kl
l
Eст ≈ 2·1011 Н/м2 Eр ≈ 2·106 Н/м2
Кулоновская сила
1
q1q2
F
40 r 2
0 = 8.85 • 10-12 Ф/м.
Классификация сил в природе. Законы сил
Силы трения
сухое трение между поверхностями твердых тел
трение покоя
max
трение скольжения
тр
тр
трение качения
вязкое трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой
F F
 N
Сила трения направлена по
касательной к трущимся
поверхностям в сторону,
противоположную
движению данного тела
относительно другого.
Сила вязкого трения значительно меньше силы сухого трения. Она
также направлена в сторону, противоположную относительной скорости
тела. При вязком трении нет трения покоя.
Сила вязкого трения сильно зависит от скорости тела. При
достаточно малых скоростях Fтр ~ υ, при больших скоростях Fтр ~ υ2.
При этом коэффициенты пропорциональности в этих соотношениях
зависят от формы тела.
Закон сохранения импульса
Импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени :

 n
p   mii  const
i 1
Закон сохранения импульса является следствием однородности
пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой
системытел как целого ее физические свойства не изменяются (не
зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы
отсчета).
Закон сохранения импульса можно применять
1. Если система замкнута, т.е. внешние силы отсутствуют
2. Если система незамкнута, но действие внешних сил скомпенсировано
3. Если система незамкнута, но существует направление вдоль которого
действие внешних сил скомпенсировано. Тогда для этого направления
можно записать закон сохранения импульса
4. Если система незамкнута, но время процесса, в результате которого
происходит обмен импульсами между телами, столь мало, что внешняя
сила не успевает существенно повлиять на перераспределение импульсов
между телами
 
dp  Fdt
dt  0
p  const
Закон движения центра масс
Центром масс (или центром инерции) системы
материальных точек называется воображаемая точка
C, положение которой характеризует распределение

массы этой системы.

 m1r1  m2 r2
rC 
m1  m2
xC 
rC 
i 1
m
n
m   mi
i 1
m1 x1  m2 x2
m1  m2
Закон движения центра масс: центр масс системы
движется как материальная точка, в которой
сосредоточена масса всей системы и на которую
действует сила, равная геометрической сумме всех
внешних сил, действующих на систему.

m
r
 ii
n
m1 y1  m2 y2
yC 
m1  m2



drC
pm
 mC
dt

n 
d C
m
  Fi
dt
i 1
Из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой
системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается
неподвижным.
Энергия. Работа. Мощность
Энергия — это
универсальная мера
различных форм движения и
взаимодействия.
Работа силы — это
количественная
характеристика процесса
обмена энергией между
взаимодействующими телами.
В общем случае на элементарном
(бесконечно малом) перемещении dr можно
ввести скалярную величину —
элементарную работу dA силы F
 
dA  ( F  dr )  F cos   ds  Fs ds
Работа силы на участке траектории от
точки 1 до точки 2 равна алгебраической
сумме элементарных работ на отдельных
бесконечно малых участках пути:
При прямолинейном движении
тела под действием постоянной
2
2
силы F
A   Fds cos    Fs ds
1
1
A  Fs s  Fs cos 
Энергия. Работа. Мощность
2
2
1
1
A   Fds cos    Fs ds
Мощность N - скорость совершения работы
равна скалярному
произведению вектора силы на вектор скорости, с которой
движется точка приложения этой силы.
 
 
dA Fdr
N

 ( F , )
dt
dt
Единица работы — джоуль (Дж) – 1м: 1Дж=1Н⋅м.
Единица мощности — ватт (Вт): 1Вт —1Дж: 1Вт=1Дж/с.
Кинетическая энергия механической системы
Кинетическая энергия механической системы (K) — это
энергия механического движения этой системы.
dK  dA


 
m 2
 
d 
dA  Fdr  m
dr  m d  md  dK K   md 
2
dt
0
Теорема о кинетической энергии для системы: при переходе системы
частиц из произвольного начального в произвольное конечное
положение работа А всех приложенных к частицам сил равна
приращению К кинетической энергии системы:
кинетическая энергия:
(1) является функцией состояния системы;
(2) всегда положительна;
(3) неодинакова в разных инерциальных системах отсчета.
Теорема Кенига: кинетическую энергию K системы
частиц можно представить как сумму двух
слагаемых: а) кинетической энергии mVc2/2
воображаемой материальной точки, масса которой
равна массе всей системы, а скорость совпадает со
скоростью центра масс; б) кинетической энергии
Kотн системы частиц, вычисленной в системе
центра масс.
mVC2
K  K отн 
2
Потенциальная энергия механической системы
Потенциальная энергия (П) — механическая энергия системы тел,
определяемая их взаимным расположением и характером сил
взаимодействия между ними.
Свойства потенциальной энергии.
1. Потенциальная энергия является функцией только координат x,
у, z точки поля, в которой расположена частица: П = П(x,y,z) функция состояния системы.
2. Работа А сил поля при перемещении частицы из произвольного
начального в произвольное конечное положение равна убыли
потенциальной энергии частицы А = П1 - П2 , П1, П2 — потенциальная
энергия частицы в начальном и конечном положениях.
3. Потенциальная энергия частицы определена с точностью до
произвольной постоянной величины.
A  FT s cos   mgs
A  mg(h2  h1 )
A  (mgh2  mgh1 )
A  ( П2  П1 ) П  mgh
Закон сохранения энергии
Полная механическая энергия системы — энергия механического движения
и взаимодействия, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
K  П  const
Закон сохранения механической энергии: в
системе тел, между которыми действуют только
консервативные силы полная механическая
энергия сохраняется, т.е. не изменяется со
временем. Это —фундаментальный закон
природы. Он является следствием однородности
времени — инвариантности физических законов
относительно выбора начала отсчета времени.
Энергия никогда на исчезает и не появляется вновь, она
лишь превращается из одного вида в другой.
В этом заключается физическая сущность закона сохранения
и превращения энергии — сущность неуничтожимости
материи и ее движения.
Соударения
Удар (соударение) — столкновение двух или более тел, при котором
взаимодействие длится очень короткое время.
Центральный удар — при котором тела до удара движутся по
прямой, проходящей через их центры масс.
Абсолютно упругий удар —законы сохранения импульса и
сохранения механической энергии выполняются.



'
m11  m22  m   m22
' '
1 1
m112 m2 22 m11'2 m2 2'2



2
2
2
2
Абсолютно неупругий удар — столкновение
двух тел, в результате которого тела
объединяются, двигаясь дальше как единое
тело.
Не выполняется закон сохранения
механической энергии: (разогрев).


(m1  m2 )1  2m2 2
m1  m2


 ' (m2  m1 ) 2  2m11
2 
m1  m2

1' 



m11  m22  (m1  m2 )


 m   m2 2
 1 1
m1  m2
 m112 m222  (m1  m2 ) 2
m1m2
 
K  


(1  2 ) 2
2 
2
2(m1  m2 )
 2
Соударения
Абсолютно упругий центральный удар шаров
Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы.
d – прицельное расстояние
Потенциальное поле сил.
Потенциальное поле — поле, в котором работа, совершаемая силами при
перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по
какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от
начального и конечного положений.
 
Fdr  dW
 
W    Fdr  const

F   gradW  W
  h
W   Pdr   mgdx  mgh
h
W  gradW
W  W  W 
gradW 
i
j
k
x
y
z
     
 i 
j k
x
y
z
0
0
x
x
kx2
W    Fdx   kxdx 
2
0
0
Потенциальное поле сил. Поле сил тяготения
Закон всемирного тяготения
F G
m1m2
r2
Работа в поле сил тяготения
 
mM
dA  FdR  G 2 dR
R
Работа не зависит от траектории перемещения, а
определяется только начальным и конечным
положениями тела.
R2
A  G
R1
 GM GM 
mM


dR


m

2
R
R1 
 R2
потенциальная энергия поля
сил тяготения:
A  (W2  W1 ) W  G
Потенциалом поля тяготения в данной точке поля
называется скалярная величина, равная отношению
потенциальной энергии материальной точки,
помещенной в рассматриваемую точку поля, к массе
материальной точки:
dA   md

mM
R
W
M
 G
m
R
dA  Fdr  mgdr
Потенциальное поле сил. Поле сил тяготения
Напряженность поля тяготения это физическая величина,
равная отношению силы, действующей со стороны поля на
помещенное в него тело (материальную точку), к массе этого
тела.
Напряженность является векторной силовой
F GM
характеристикой поля тяготения.
Eg  2

 F
E
m

GM
( R3  h) 2

m
R

F  mg
 
 
 
dA   md
dA  FdR  mEdR  mgdR

g   grad  
Первая космическая скорость
GmM
12
 man  m
2
R
R
P GM
g  2
m
R
1  gR  7,9км / с
Вторая космическая скорость

m 22
mM
GmM
  G 2 dr 
2
r
R
R
2  2 gR  11,2км / с
Третья космическая скорость
3  16,7км / с
Элементы специальной теории относительности
механический принцип относительности (принцип
относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех
инерциальных системах отсчета.
Для произвольной точки A:
    
r  r ' r0  r 'ut
x  x'u xt
z  z 'u z t
y  y 'u y t
t  t'
к преобразованиям Галилея
нужно добавить
соотношение:
Правило сложения скоростей в
классической механике:

 
   'u




 d d (  u ) d ' 
a


 a'
dt
dt
dt
ОГРАНИЧЕННОСТЬ ЗАКОНОВ КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Основные постулаты и противоречия
1. Физическое пространство
При затмении Солнца наблюдалось
однородно и изотропно.
отклонение солнечных лучей от
прямолинейного распространения
Пространство и время
(кривизна пространства)
существуют сами пор себе и
независимо от материальных тел
2. Все механически явления
протекают одинаково в любой
инерциальной системе отсчета
Скорость света не зависит от
системы координат и является
предельной
3. Взаимодействие между
физическим объектами
происходит мгновенно
(скорость бесконечно большая)
Скорость света не зависит от
системы координат и является
предельной
4. Масса материальной точки не
зависит от скорости движения
Масса и энергия связаны со
скоростью
5. Все кинематические
характеристики можно измерить
сколь угодно точно
Выполняются соотношения
неопределенностей
Элементы специальной теории относительности
Постулаты Эйнштейна.
1) Принцип относительности: никакие опыты,
проведенные внутри данной инерциальной системы
отсчета, не дают возможность обнаружить, покоится ли
эта система или движется равномерно и
прямолинейно; все законы природы инвариантны по
отношению к переходу от одной системы отсчета к
другой.
2) Принцип инвариантности скорости света:
скорость света в вакууме не зависит от скорости
движения источника света или наблюдателя и
одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Элементы специальной теории относительности
Преобразования Лоренца
Пусть
система
O′
движется
относительно системы O со скоростью υ
=const, причем c ≈ υ ( c - скорость света).
Обозначим отношение скоростей υ и c
через β = υ/c.
Пусть вектор скорости υ направлен
вдоль оси OX. Тогда координаты и
времени будут иметь вид:
Эти преобразования Лоренца — при
c
<< υ они переходят в преобразования
Галилея.
x
x't '
1  2
y  y' z  z '
t '
x '
2
c
t
1  2
Преобразования Лоренца (релятивистские преобразования)
устанавливают взаимосвязь пространства и времени — в
закон преобразования координат входит время, а в закон
преобразования времени — пространственные координаты.
Элементы специальной теории относительности
Следствия из преобразований Лоренца
1. Длительность события, происходящего в некоторой точке,
наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно
которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся
относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее
покоящихся часов.
 '  t '2 t '1 
t2  x / c 2
1 
2

t1  x / c 2
1 
2

t 2  t1
1 
2


1 
2

2. Размер тела, движущегося относительно инерциальной
системы отсчета, уменьшается в направлении движения, причем
лоренцово сокращение длины тем больше, чем больше скорость
движения. Поперечные размеры тел не зависят от скорости его
движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
l '0  x'2  x'1 
x2  t
1 
2

x1  t
1 
2

x2  x1
1 
2

l
1 
2
l
Элементы специальной теории относительности
3. Если материальная точка движется в системе O′
 'u

вдоль оси x′ со скоростью υ′ , а сама система O′
u '
движется со скоростью u относительно системы O,
1 2
то релятивистский закон сложения скоростей:
c
4. В качестве величины, инвариантной по отношению к преобразованию
координат в четырехмерном пространстве Эйнштейна (не зависящей от
выбора системы отсчета) вводится интервал между событиями:
s12  c 2 (t 2  t1 ) 2  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2  l12
интервал между событиями
t12  t2  t1
расстояние между
точками обычного
трехмерного
пространства.
s12  c t  l
2 2
12
2
12
Элементы специальной теории относительности
Основные соотношения релятивистской динамики
m
m0
1 
Релятивистский импульс
2
Релятивистская масса
Основной
закон
релятивистской
динамики:
классическая
динамики получаются в
предельном случае υ << c.

p

m0
1  2
Полная энергия тела - соотношение
носит универсальный характер, оно
применимо ко всем формам энергии,
т.е. можно утверждать, что с энергией,
какой бы формы она не была, связана
масса и, наоборот, со всякой массой
связана энергия. Покоящееся тело
обладает энергией покоя.
 dp d  m0 

F
 
dt dt  1   2 
E  mc 
2
m0 c 2
1  2
Элементы специальной теории относительности
Основные соотношения релятивистской динамики
5. Кинетическая энергия:
6. Релятивистское соотношение
между полной энергией и
импульсом тела:
 1


K  E  E0  mc
 1
 1  2


 E 2  m 2c 4  m 2c 4  p 2c 2
0
2
7. В случае, когда масса покоя
частицы равна нулю, то
E 2  p 2c 2  0
Следовательно, такая частица может
обладать отличными от нуля энергией и
импульсом только в том случае, когда она
движется со скоростью света. К таким
частицам относятся фотоны.
Основной вывод теории относительности —
пространство и время органически взаимосвязаны и
образуют единую форму существования материи —
пространство-время.
Движение относительно неинерциальных систем
отсчета
  
Скорость и ускорение частицы А в
неподвижной системе отсчета называют
абсолютной скоростью Vабс и абсолютным
ускорением аабс,
Скорость и ускорение в движущейся
системе
отсчета
—
относительной
скоростью
Vотн
и
относительным
ускорением аотн.
Vабс
R  R0  r
d 2x d 2 y
d 2z
dx dy
dz
aотн  2 i  2 j  2 k
Vотн  i 
j k
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dR
dR d
dx dy
dz

 ( RO  xi  yj  zk )  O  i 
j  k  VO  Vотн
dt dt
dt
dt
dt
dt
Vабс  VO  Vотн  Vпер  Vотн
aабс  aO  aотн  aпер  aотн
Движение относительно неинерциальных систем
отсчета
di
  , i 
dt
dj
  , j 
dt
dk
  , k 
dt
dx dy
dz
Vотн  i 
j k
dt
dt
dt
aотн
d 2x d 2 y
d 2z
 2 i 2 j 2 k
dt
dt
dt
dRO dx dy
dR d
dz
di
dj
dk
Vабс 
 ( RO  xi  yj  zk ) 
 i
j kx  y z

dt dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
 VO  Vотн  xi   yj   zk   VO  Vотн   , xi  yj  zk   VO  Vотн  r 
Vабс  VO  r   Vотн  Vпер  Vотн
VO  r   Vпер
Движение относительно неинерциальных систем
отсчета
Движение относительно неинерциальных систем
отсчета
aабс  aO  r    r   2Vотн   aотн  aпер  aкор  aотн
aO  r    r   aпер
ma  F
Свободное
не
подверженное
внешним воздействиям тело в
неинерциальной системе отсчета
движется с отличным от нуля
ускорением, несмотря на то что
силы взаимодействия с другими
телами отсутствуют (F = 0)
Уравнение
движения
инерциальной системе
ma1  F
тела
в
Движение относительно неинерциальных систем
отсчета
 d 
a1  aO  
r    r   2Vотн   a
 dt 
 d 
ma  ma1  maO  
r   m r   2mVотн 
 dt 
поступательная сила инерции:
центробежная сила инерции
сила Кориолиса
Fпост  maO
Fцб   m r 
Fкор  2mVотн   2mVотн 
 d 
ma  F  Fпост  m 
r   Fцб  Fкор
 dt 
Уравнение называется уравнением движения частицы в
неинерциальной системе отсчета.
Движение относительно неинерциальных систем
отсчета
• Силы инерции возникают не из-за взаимодействия тел, а
вследствие ускоренного движения системы отсчета.
• Силы инерции изменяются при переходе от одной
неинерциальной системы отсчета к другой, они не
инвариантны относительно такого перехода.
• Силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона.
• Все силы инерции, подобно силам тяготения,
пропорциональны массе тела.
Пример.
Вагон
движется
с
ускорением a0 по прямолинейному
горизонтальному участку дороги. К
потолку вагона на нити подвешен
груз
массой
т.
Найти
угол
отклонения нити от вертикали.
0  mg  T  ma0
0  T sin   ma0
0  T cos   mg
tg 
a0
g
Движение относительно неинерциальных систем
отсчета
На
расположенное
вблизи
поверхности Земли тело массой
т,
скорость
которого
по
отношению к Земле равна нулю,
действует центробежная сила
инерции
Fцб,
и
сила
гравитационного
притяжения
Frp, направленная к центру
Земли и равная по модулю
M Зm
Fгр  
RЗ2
Центробежная сила инерции
направлена перпендикулярно оси
вращения Земли.
mg  Fгр  Fцб
g
gэкв = 9,780 м/с2
Fцб  Fгр
m
gпол= 9,832 м/с2
Движение относительно неинерциальных систем
отсчета
Сила Кориолиса возникает, если тело движется относительно
неинерциальной вращающейся системы отсчета. Вектор Fкор
перпендикулярен к вектору скорости Vотн и вектору угловой скорости .
Наличием
силы
Кориолиса
объясняются такие явления, как
отклонение свободно падающих тел
к востоку, размыв правых берегов
текущих северных рек и др.
Пример. Найдем силу бокового
давления, с которой поезд
массой т, который движется со
скоростью V вдоль меридиана в
направлении с севера на юг,
действует на рельсы
Сила бокового давления возникает за счет действия на
поезд силы Кориолиса, величина которой равна
Fкор | 2mV  | 2mV sin(    )  2mV sin 
ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА КОЛЛОКВИУМ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Кинематические характеристики поступательного и
вращательного движения материальной точки
Способы описания движения (краткая характеристика).
Динамика поступательного движения. Законы Ньютона и силы в
природе
Импульс. Центр масс системы и закон его движения
Работа, энергия и мощность
Поле сил - основные понятия
Взаимодействие материальных точек, виды столкновений
Принцип относительности Галилея и постулаты Эйнштейна
Преобразования Лоренца и следствия из них
Основные соотношения релятивистской механики
Силы инерции. Закон движения в неинерциальных системах
отсчета