Презентация "Задачи на смеси и сплавы. Методика решения".

ЗАДАЧИ НА СМЕСИ.
Смешивание веществ разных
концентраций
При решении задач на смеси часто путают
проценты и доли, раствор и растворенное вещество.
Масса вещества (m) =
Масса раствора (m) *
m= m *
процентная
концентрация (v)
100
0,01 v
 Имеется 80% раствор – в растворе 0,8 части вещества.
 Имеется n% раствор – в растворе 0,01n части вещества.
 Получили из 80% раствора 40% раствор – в растворе
стало 0,4 части вещества, т.е. вещество уменьшили в 2
раза.
 Сделали из 25% раствора 75% раствор – в растворе
стало 0,75 части вещества, т.е. вещество увеличили
в 3 раза.
В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НУЖНО
ДЕЙСТВОВАТЬ ПО СЛЕДУЮЩЕЙ СХЕМЕ:




1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных
величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.),
относительно которых составляем пропорции. Выбирая
неизвестные параметры, мы создаем математическую
модель ситуации, описанной в условии задачи.
2. Поиск плана решения. Используя условия задачи,
определяем
все
взаимосвязи
между
данными
величинами.
3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного
решения – переход от словесной формулировки к
составлению математической модели.
4. Изучение полученного решения, критический анализ
результата.
ЗАДАЧА №1. В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й
растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор?
Концентрация
Масса
(v), %
раствора (m), г
0,01 v
Масса
кислоты (m), г
1 раствор
a
х
0,01ax
2 раствор
b
у
0,01by
х+у
0,01c (x + y)
смесь
с, (a < с < b)
Составим уравнение:
0,01c (x + y) = 0,01(ax + by)
cx + cy = ax + by
cx – ax = by – cy
ax – cx = cy – by
х(c – a) = у(b – c)
х : у = (b – c) : (c – a)
!
0,01(ax + by)
m= m *
Составим таблицу:
ЗАДАЧА №1. В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й
растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор?
Составим диагональную схему, зная что a < с < b:
a
b
с
(b – c)
(b – c) : (c – a)
(c – a)
В этой схеме а и b – концентрации исходных
растворов, с – требуемая концентрация кислоты в
процентах, а «крест-накрест» – записаны их разности
(b – с) и (с – а), соответствующие отношению масс
растворов а и b.
ЗАДАЧА №2. Сколько граммов 9%-го раствора спирта можно
получить из 200 г 72%-го раствора спирта?
9%-й раствор спирта получают из 70%-го, разбавляя
его водой. В воде 0% спирта.
Составим диагональную схему:
0
72
9
63
7
x
9
1
200
х = 7 * 200, х = 1400
200 + 1400 = 1600(г) –Значит,
получат
раствора
1 часть9%-го
70%-го раствора
спирта
Данные числа
разделить
на 9воды.
надоможно
разбавить
7 частями
спирта.
Решаем получившуюся пропорцию.
ОТВЕТ: 1600г получат 9%-го раствора спирта.
ЗАДАЧА №3. Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г
864-й пробы. Определить пробу сплава.
Составим диагональную схему:
600
864
х
864 – х
75
1
х – 600
150
2
2(864 – х) = х – 600;
1728 – 2х = х – 600;
х = 776 .
Данные числа можно
разделить на 75
Решаем получившуюся пропорцию.
ОТВЕТ: получат сплав 776 пробы.
ЗАДАЧА №4. Вычислите массу сплава и массовую долю (в
процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг
чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а
сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат
сплав с 84-процентной массовой долей серебра.
Составим две диагональные схемы для двух условий:
х кг – масса сплава, р% - массовая доля серебра в сплаве.
р
90
10
х
100
90 – р
р
6
84
90
х(90 – р) = 30
Составим вторую пропорцию.
3
х
х(84 – р) = 12
Составим первую пропорцию.
84 – р
2
ЗАДАЧА №4. Вычислите массу сплава и массовую долю (в
процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг
чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а
сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат
сплав с 84-процентной массовой долей серебра.
х кг – масса сплава, р% - массовая доля серебра в сплаве.
Из двух уравнений составим систему, т.к. искомые элементы
должны удовлетворять каждому уравнению.
х(90 – р) = 30
х(84 – р) = 12
6х = 18
х=3
р = 80
3 (90
х
– р)данную
= 30систему.
Решим
90 – р = 10
р = 80
ОТВЕТ: 3 кг масса сплава, содержащего 80% серебра.
ЗАДАЧА №5. В один из двух сосудов, каждый емкостью по 6 л,
налито 4 л 70% раствора соли, а во второй – 3 л 90% раствора
соли. Сколько раствора нужно перелить из второго сосуда в
первый, чтобы в нем получился раствор концентрации а%?
Составим диагональную схему:
70
90
а
90 – а
4
а – 70
х
Оценим возможные значения
х(90 – а) = 4(а – 70)
параметра а.
х = 4(а – 70) : (90 – а) Решаем получившуюся
пропорцию
относительно х.
4(а
–
70)
70 ≤ а ≤ 230 : 3
0
2,
(90 – а)
ОТВЕТ: Необходимо перелить х = 4(а – 70) : (90 – а),
где 70 ≤ а ≤ 230 : 3.
ЗАДАЧИ НА СМЕСИ.
Удаление вещества из смесей
ЗАДАЧА №6. Имеется х кг раствора с процентным
содержанием вещества А равным k%. Сколько необходимо
удалить из него раствора с процентным содержанием вещества
А равным q%, чтобы в оставшемся растворе процентное
содержание вещества А стало равным р%?
исходный
раствор
удаленный
раствор
полученный
раствор
Масса
кислоты (m), г
k
х
0,01kx
q
у
0,01qy
х–у
0,01p (x – y)
p, (q < k < p)
0,01(kx – qy)
Концентрация
Масса
(v), %
раствора (m), г
v
Составим уравнение:
(x –k, Обе
y)
у =уравнения
(q – k) разделим
: (k – p)
Оценим параметры
p, q.:части
m= m *
0,01
0,01p (x – y) = 0,01(kx – qy)
на
0,01
и
раскроем
скобки.
k
обязательно
должно
быть
больше
q,
тогда
px – py = kx – qy
Из обоих частей уравнения
концентрация
полученного
раствора
p ky.
или вычтем
qy = kx
– px – py
Сгруппируем, вынося общий множитель
qy – ky
= kx –больше
px – py –концентрации
ky (x – y) : у =исходного.
будет
– q) : (p – k)
за (k
скобки.
y(q – k) = (x – y) (k – p)
ЗАДАЧА №6. Имеется х кг раствора с процентным
содержанием вещества А равным k%. Сколько необходимо
удалить из него раствора с процентным содержанием вещества
А равным q%, чтобы в оставшемся растворе процентное
содержание вещества А стало равным р%?
Составим диагональную схему, зная что q < k < p:
p
k
q
(k – q)
x–y
(p – k)
(x – y) : у = (k – q) : (p – k)
y
ЗАДАЧА №6. Имеется х кг раствора с процентным
содержанием вещества А равным k%. Сколько необходимо
удалить из него раствора с процентным содержанием вещества
А равным q%, чтобы в оставшемся растворе процентное
содержание вещества А стало равным р%?
% вещества в оставшемся
растворе
p
k
q
(k – q)
(p – k)
% вещества в
удаленном растворе
% вещества в исходном
растворе
x–y
y
ЗАДАЧА №7. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а
сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Из грибов удаляется вода с процентным содержанием 100%.
Составим диагональную схему:
12
90
100
39х = 5(22 – х);
44х = 110;
х = 2,5
10
5
78
39
х
22 – х
Данные числа можно разделить на 2.
Решаем получившуюся пропорцию.
ОТВЕТ: 2,5 кг сухих грибов получится из 22 кг свежих.