Южно-Казахстанский государственный университет им. М.Ауезова Центр послевузовского образования

Южно-Казахстанский государственный университет им. М.Ауезова
Центр послевузовского образования
Кафедра «Математические методы и моделирование»
«Утверждаю»
И.о. проректора по НИР и МС
_________________ Бажиров Т.С.
« » ______________ 2010 г.
ПРОГРАММА
вступительного экзамена по приему в магистратуру по специальности
6М060100 – Математика
Шымкент, 2010 г.
Программа вступительного экзамена составлена на основании типовых
программ дисциплин «Математический анализ», «Уравнения математической
физики», «Алгебра и геометрия», «Теория вероятностей и математическая
статистика», «Численные методы» специальности 050601-«Математика».
Программа вступительного экзамена обсуждена на заседании кафедры
«Математические методы и моделирование»
«27» 08. 2009г., протокол № 1
Заведующий кафедрой ______________________Жапбаров С.А.
Программа вступительного экзамена одобрена методической комиссией
факультета
«Информационные
технологий,
телекоммуникация
и
автоматизированные системы» «08» 09. 2009г., протокол № 1
Председатель _______________________Бердалиева Г.А.
Программа вступительного экзамена согласована с Центром послевузовского
образования
Начальник ЦПО ________________________К.Сыпабек
2
Введение
В магистратуре подготовка кадров по специальности 6N0601 – Математика
проводится по научному и педагогическому направлению.
Лицам, освоившим образовательные программы магистратуры и защитившим
магистерскую диссертацию, присуждается академическая степень «магистр» по
специальности 6N0601 – Математика.
Объектами профессиональной деятельности выпускников магистратуры
являются: вузы и научно-исследовательские организации; органы системы
государственного
административного
управления;
государственные
и
негосударственные учреждения науки и образования; промышленное
производство, проектные, технологические и конструкторские организации и т.п.
Выпускники магистратуры по специальности 6N0601 – Математика могут
выполнять следующие виды профессиональной деятельности: педагогическая;
научно-исследовательская;
административно-управленческая;
экспертноконсультативная.
Нормативная продолжительность освоения образовательной программы
магистратуры составляет 2 года.
Предшествующий
уровень
образования
лиц,
желающих
освоить
образовательные программы магистратуры – высшее или послевузовское
образование:
- высшее образование (бакалавриат) по направлению (специальностям): 050601
– Математика, 050603 – Механика, 050602 – Информатика, 050604 – Физика,
050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение, 050705 –
Математическое и компьютерное моделирование и другие;
- высшее специальное образование по направлению (специальностям): 050109 –
Математика, 091740 – Математическое и компьютерное моделирование,
050605 – Ядерная физика и другие.
Порядок приема в магистратуру устанавливается в соответствии с Типовыми
правилами приема в организации образования, реализующие профессиональные
учебные программы послевузовского образования.
Основные задачи магистерской программы по специальности 6N0601 –
Математика при научной и педагогической подготовке:
- получение
полноценного
и
качественного
научно-педагогического
образования, профессиональной компетентности, углубление теоретической и
практической индивидуальной подготовки магистрантов в области
математики;
- освоение фундаментальных курсов на стыке наук, гарантирующих им
профессиональную мобильность;
- повышение уровня владения иностранными языками для работы по
специальности;
- совершенствование навыков и знаний в области компьютерных технологий;
- выработка у обучающихся способности к самосовершенствованию и
саморазвитию, потребности и навыков самостоятельного творческого
овладения новыми знаниями в течение всей их активной жизнедеятельности;
3
- подготовка специалистов с высоким уровнем профессиональной культуры, в
том числе и культуры профессионального общения, имеющих гражданскую
позицию, способных формулировать и решать современные научные и
практические проблемы, преподавать в вузах, успешно осуществлять
исследовательскую и управленческую деятельность;
- приобретение научно-исследовательских навыков, участие в научных
мероприятиях различного уровня, продолжение научной подготовки в PhDдокторантуре;
- получение необходимого минимума знаний в области вузовской педагогики и
психологии и опыта преподавания в вузе.
1. Наименование дисциплин и их основные разделы
1.1. Математический анализ
Вещественные числа. Числовые последовательности. Пределфункций.
Непрерывность функций. Дифференциальное исчисление. Основные теоремы
дифференциального исчисления. Полгое исследование функций и построение
графика.
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл Римана. Вектор-функции.
Функции нескольких переменных. Неявные функции.
Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды. Несобственные
интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Ряды Фурье.и преобразования
Фурье. Представление функций интегралом Фурье.
Кратные интегралы. Криволинейные интегралы. Поверхностные интегралы.
Теория поля. Мера и интеграл Лебега. Интеграл Лебега по измеримому множеству
конечной меры.
1.2. Уравнения математической физики
Основные уравнения математической физики. Уравнения гиперболического
типа. Уравнения параболического типа. Уравнения эллиптического типа.
1.3. Алгебра и геометрия
Алгебра: Понятие о группе, кольце, поле. Матрицы и действия над ними.
Многочлены над полем. Линейные пространства. Евклидово и унитарное
пространства.
Линейные операторы в линейных пространствах. Линейные операторы в
евклидовых и унитарных пространствах. Квадратичные формы.
Аналитическая геометрия: Векторная алгебра и координатный метод. Прямая
на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Кривые второго порядка
канонические уравнения поверхностей. Общая теория кривых и поверхностей
второго порядка. Системы линейных неравенств. Выпуклые множества.
4
1.4. Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей. Дискретное пространство элементарныхсобытий:
Понятие о вероятностей. Условная вероятность и независимость. Случайные
величины. Предельные теоремы и их применения. Общее пространство
элементарных событий. Случайные величины. Математическое ожидание.
Характеристические функции. Центральная предельная теорема. Законы больших
чисел.
Основы математической статистики: Выборки и техники работы с ними.
Элементы теории оценок параметров. Статистические критерии.
Элементы теорий случайных процессов: Задание меры с помощью
конечномерных распределений. Среднеквадратичная теория. Цепи Маркова.
1.5. Численные методы
Численные методы алгебры. Решение нелинейных уравнений и систем.
Приближение функции. Численное интегрирование. Методы численного решения
обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения краевых задач.
Численные методы решения задач математической физики. Принцип
максимума для разностных схем. Монотонные разностные схемы. Метод
разделения переменных при исследовании устойчивости и сходимости
двухслойных разностных схем. Метод решения сеточных уравнений.
Другие методы решения задач математической физики. Метод решения
интегральных уравнений.
2. Примерный перечень вопросов вступительного экзамена по приему в
магистратуру по специальности «6N00601 - Математика»
Множество. Операции над множествами.
Определение функции. Иньективная, обратная и сложная функция.
Аксиомы числовых множеств.
Множество ограниченная сверху (снизу). Верхняя (нижняя) граница.
Наименьшая верняя (нижняя) граница. Свойства sup и inf.
5. Метод матической индукции. Формулы Ньютона-Бинома, Бернулли.
6. Абсолютная величина, свойства.
7. Последовательность. Определения существования и несуществования предела.
Связь между пределем последовательности и сходимостью.
8. Теорема о пределе монотонной последовательности.
9. Определение предела функций. Свойства функции, имющих предел. Предел
сложной, обратной функций. Предел монотоннй функций.
10.Непрерывность функций. Производная, связь с непрерывностью. Производная
элементарной функций.
11.Локальный экстремум. Теоремы Ферма, Ролль, Лагранжа, Коши и Дарбу.
12.Правило Лопиталя. Формулы Тейлора, Маклорена.
13.Точки изгиба. Выпуклость и вогнутость функций, свойства.
1.
2.
3.
4.
5
14.Методы
нахождения
неопределенных
интегралов.
Интегрирование
рациональных функций.
15.Интеграл Риамана определение, критерий, свойства. Теорема о среднем
значений.
16.Предел последовательности в Rn . Критерий Коши. Теорема БольцаноВейерштрасса.
17.Дифференциал. Связь с частной производной.
18.Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса, Можаранта, Абеля, Дирихле.
19.Криволинейный интеграл первого рода. Криволиненйный интеграл второго
рода.
20.Ряд Фурье. Сходимость в точке ряда Фурье в тригонометрии. Теорема Фейера.
21.Физические задачи, приводимые к уравнениям математической физики.
22.Постановка задачи Коши и граничных задачи для основных уравнений.
23.Уравнение эллиптического типа. Уравнения Лапласса и Пуассона.
24.Формула Грина.
25.Основные свойства гармонических функций.
26.Функция Грина для уравнения Лапласса и его свойства.
27.Формула Пуассона. Основание решения.
28.Теорема о единственности решения уравнения Лапласса и граничных задач.
29.Приведение краевых задач эллиптических уравнений к интегральным
уравнениям.
30.Уравнения гиперболического типа. Решение задачи Коши для волнового
уравнения и распространение волн в бесконечном пространстве.
31.Формулы Даламбера, Пуассона и Кирхгофа.
32.Функция Римана для гиперболического уравнения с двумя переменными.
33.Задачи Коши и Гурса. Формула Римана.
34.Теорема о существований и единственности решения задачи Коши и Гурса.
35.Краевые задачи для волнового уравнения. Методы решения краевых задач.
36.Уравнения параболического типа. Фундаментальные решения уравнения
теплопроводности. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
37.Решение краевых задач, поставленных для уравнений гиперболического,
параболического и эллиптического типа, методом Фурье.
38.Интегральные преобразования Фурье и Лапласа.
39.Задача Штурма-Лиувилля о собственном значений и собственнм функций.
40.Специальные функций и х применение в решений задач математической
физики.
41.Понятия группы, кольца и поля. Теорема Кэли.
42.Поле комплексных чисел. Разбиение комплексных чисел на плоскости.
43.Тригонометрическая запись комплексных чисел. Руппа корней единицы.
44.Кольца многочленов, деление многочленов с остатком.
45.Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего среднего делителя
многочленов.
46.Применение операции для матриц. Кольца квадратных матриц, группа неособых
маириц.
47.Определители и их свойства. Определитель произведения матриц.
6
48.Критерий обратимости матриц. Формула обратной матрицы.Решение
матричных уравнений.
49.Системы линейных уравнений, признак совместимости, структура множества
решений.
50.Формулы Крамера и обратной матрицы.
51.Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их
геометрические и алгебраические свойства, выражение через координат.
52.Геометрический смысл линейной зависимости.
53..Аффинная система координат. Преобразование координат на плоскости и в
пространстве.
54.Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
55.Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Взаймное расположение
прямых.
56.Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, их геометрический
смысл.
57.Линейное пространство, определенное в поле. Линейная зависимость системы
векторов.
58.Базис и мера пространства, координаты вектора.
59.Линейные операторы в линейном пространстве. Кольцо линейных операторов.
60.Собственные векторы и собственные значения.
61.События. Операции над событиями. Вероятность события.Свойства операции и
вероятностей. Классическое определение вероятности.
62.Элементы комбинаторики. Распределение шаров в ящиках.
63.Определение условной вероятности. Формула умножения вероятностей.
Независимость двух или более событий.
64.Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Ломанные (схема) Бернули.
65.Случайно величина и ее распределение. Общее определение случайной
величины. Эквивалентность различных определений.
66.Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
Дисперсия. Законы многомерных распределений.
67.Функция распределения случайной величины и ее элементы. Виды случайных
величин и распределений.
68.Многомерные случайные величины и их распределения. Непрерывность
случайных величин.
69.Общее определение математического ожидания. Теоремы о переходе к пределу
под графиком математического ожидания.
70.Условное математическое ожидание в случае зависимости одной случайной
величины от постоянного значения второй случайной величины.
71.Понятие статистической оценки. Неперемещаемость оценки, корректность и
эффективность.
72.Аппарат Фишера. Уравнение Рао-Крамера.
73.Доверительный интервал. Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения и для вероятности дохода в схеме Бернулли.
74.Статистические гипотезы. Значимые классы случайных процессов.
75.Теорема Колмогорова о продолжений меры.
7
76.Корреляционная функция случайных функций. Существование процесса Гаусса
для заданной корреляционной функций.
77..Средне квадратическое дифференцирование и интегрирование.
78..Стационарные случайные процессы в узком и широком смыслах.
79.Цепи Маркова. Определение и примеры.
80.Теоремы о случайных блуждениях в сетях.
81.Прямые методы решения системы линейных алгебрайческих уравнений.
82.Итерационный метод. Сходимость одношаговых итерационных методов.
83.Методы сопряженных градиентов.
84.Численное решение задачи собственных значений.
85.Решение нелинейных уравнений и систем.
86.Методы простой итерации, Ньютона и раскроя.
87.Интерполяция алгебраических многочленов.
88.Дробно-рациональное приближение. Средне квадратическое приближение.
89.Быстрое дискретное преобразование Фурье. Метод наименьших квадратов.
90.Интерполяционные квадратурные формулы.
91.Квадратурные формы в точности наивысшей алгебраической степени.
92.Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши.
93.Методы решения краевых задач.
94.Разностные приближения.
95.Разностная схема для одномерных уравнений теплопроводности и колебания
струны.
96.Связь между устойчивостью и сходимостью разностной схемы.
97.Примеры разностных схем для линейных уравнений теплопроводности.
98.Итерационные методы решения сеточных краевых задач.
99.Метод конечных элементов. Вариационно-разностная схема.
100. Методы решения интегральных уравнений. Уравнение Фредгольма 2-рода.
8
Список рекомендуемой литературы
Основная литература
1. Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа. т. I, II. - М.: Высшая школа,
1981.
2. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. М.: 1979.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.. М.: Наука.
1977,735б.
4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики.. М. Наука,1982,305б.
5. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Гостехиздат,
1954 г.
6. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Москва, 1966г.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва. 1985г.
8. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре, «Наука»,
1988г.
9. Гмурман В.Е.«Теория вероятностей и математическая статистика»:- М.Высшая
школа,1975г.
10.Смирнов Н.В.«Теория вероятностей»:- М.Наука,1972г.
11.Болшее Л.Н., Смирнов Н.В. «Таблица математической статистики»:М.:Наука,1979г.
12. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.:
Наука. 1970.
13. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 1,2. М.,1962
14.Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. Изд. 2-е. М.
Наука, 1982.
Дополнительная литература
15.Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубариков. Лекции по математическому
анализу. М.: Изд-во механико-математического факультета Московского
университета, часть 1 - 1995; часть 2 - 1997; часть 3 - 1997; часть 4 - 1997.
16.Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука.,1970, 231 б.
17.Данко П.Е. и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах» М.2002г.
18.Ляпин Е.С., Курс высшей алгебры, Учпедгиз, 1953.
19.Фадеев Д.К. и Соминский И.С., Сборник задач по высшей алгебре, изд. 36,
Гостехиздат, 1952.
20.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. «Наука», 1990г.
21.Пугачев В.С. «Теория вероятностей и математическая статистика»:М.:Наука,1979г.
22.Драйпер Н., Смит Г. «Прикладной регрессионный анализ»- М: Финансы и
статистика, 1986г.-1.1.
23.Шеффе Г. «Дисперсионный анализ»: - М.: Наука 1980г.
24.Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике»: - М: Высшая школа 1975г.
25.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.
М.: Наука, 1972.
9
26.Черкасов М.П. Сбрник задач по численным методом. Минс. 1967.
27.Митчел Э., Уэйт Р. Методы конечных элементов для уравнений с частными
производными, М.: Мир, 1981.
28.Калаткин Н:Н. Численные методы. М. Наука, 1978.
29.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.Э. Численные методы анализа. М.
Наука, изд. 3-е, 1967.
30.Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.
Физматгиз. 1963г.
31.Соболь И. М. Численные методы Монто-Карло. М.: Наука, 1973г.
32.Соболь И. Методы Меоды Монто-Карло. Изд. 4-е. М.:Наука, 1985г.
33.Марчук Г. И.. Методы вичислительной математики. М.: Наука.1989г.
34.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.:Наука, 1989г.
10
11
12