МОДУЛЬ 7 волновые процессы 2015

«ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ»











Упругие волны
распространение упругих колебаний;
волна;
параметры и уравнения волны;
дисперсия волн;
энергия упругой волны;
отражение упругих волн;
интерференция и дифракция упругих волн
стоячие волны;
звуковые волны;
эффект Доплера
Электромагнитные волны
свет – электромагнитная волна;
Основные понятия
Бегущей волной
называется всякое
возмущение
(изменение) состояния
вещества или поля или
другой,
Волна называется
поперечной, если
частицы среды
колеблются в
направлении,
перпендикулярном
направлению
распространения волны
(наблюдаются только в
твердых телах)
Волна
Распространение колебаний в
упругих средах происходит за
счет упругих волн. Волны
переносят энергию и импульс
без переноса вещества.
Волна называется
продольной, если колебание
частиц происходит в
направлении
распространения волны
(наблюдаются в газах,
жидкостях и твердых телах).
Основные понятия
Длина волны  – расстояние
между двумя ближайшими
точками среды, которые
колеблются в одинаковой фазе
Волновой поверхностью
(фронтом волны) называется
геометрическое место точек
среды, колеблющихся в одной
фазе.
  v T
Волновой
вектор k
Волновая
поверхность
Волновое число k – отношение
циклической частоты к скорости
волны
y1 ( x , t1 )  y2 ( x   , t1 )
k    2


x

y  x , t   A cos   t  
 v
Волновое
уравнение
(уравнение
плоской
волны)
Основные понятия
 x
  a cos  t     a cos   t  
 u
  ( x, t )
  x 
2
 a cos  t   
2
dt
  u 
2
  ( x, t )
a
  x 
  2 cos  t   
2
dx
u
  u 
2
2
 x
    t    0
 u
Фаза волны

t  const 
x
k
Положение волновой
поверхности
Уравнение плоской волны
Решение волнового
уравнения
Волновое уравнение
2
 2


2
u
2
t
dx 2
dx 
  uф
dt k
Скорость перемещения
волновой поверхности
(фазовая скорость)
Скорость распространения упругих волн
Скорость распространения упругих волн – скорость
движения фронта волны - зависит от модуля
объемной упругости B и плотности среды 
F

u 

S

скорость
распространения
поперечной
упругой волны
P
u II  

u II 
k
u II 

E

скорость
распространения
продольных волн в
стержне
RT
uII  
 


8
v
B

скорость
распространения
продольных
волн в
жидкостях
скорость
распространения
продольных волн в газах
(звук)
Упругие волны
Принцип суперпозиции
1  a cos1t  k1 x  0 
упругих волн: если две
волны являются
решением волнового
уравнения, то решением
является и их линейная
комбинация
Дисперсия волн зависимость скорости
распространения волн в
среде от длины волны.
u  f    f  
 2  a cos2t  k2 x  0 
  1  2
1
k1

2
k2
u
Групповая скорость
1  a cos1t  k1 x
   an cosnt  k n x   n 
2  a cos2t  k2 x
n 1
  a cos1t  k1 x   a cos2t  k 2 x   2  1  1

k 2  k1
 2  1
 2a cos
t
2
 2
 A( x ,t ) cos t  kx
Модулирующая
волна биений
2
Tм 

k 2  k1
  2  1
x  cos
t
2
  2
2
м 
k
A( x,t )  2a cost  kx

x 

Несущая волна
2
4
Tн 

 2  1
2
4
н 

k
k 2  k1
Групповая скорость
  2  1
uм 

k
k 2  k1
Волновой пакет
Скорость
перемещения энергии
волны (групповая
скорость )
 d
u гр  lim

k 0 k
dk
d d ku
du
du d
u гр 

 uф  k
 uф  k
dk
dk
dk
d dk
d
2
 2
dk
k
u гр  uф  
du
d
Скорость
перемещения
максимумов
(фазовая
скорость
модулирующей
волны)
Энергия упругой волны
Энергия волны в упругой среде состоит из
кинетической энергии частиц вещества,
совершающих небольшие колебания, и из
потенциальной энергии упругой
деформации среды.
 x
  a cos  t  
 u

 x
u
 a sin   t  
t
 u
1
1
x 
2
2 2
2 
Ек  mu  S x a sin  t   
2
2
  u 
Ек 1 2 2 2   x 
к 
  a sin  t   
S x 2
  u 
Плотность кинетической энергии в точке x в момент времени t
Энергия упругой волны
1
1
 
2
En  k ( )  S xE  
2
2
 x 
2
 x
  a cos  t  
 u
  t1x  x     t1x 


x
x

 
  x 
  a sin  t   
x
x u
  u 
    t1x  x     t1x 
2
1
x 
 
2 
En  S xE  a  sin  t   
2
u 
  u 
Плотность
потенциальной
энергии в точке x в
момент времени t
En 1 2 2 2   x  
n 
 E 2 a sin  t   
S x 2 u
  u 
Энергия упругой волны
Ек 1 2 2 2   x 
к 
  a sin  t   
S x 2
  u 
En 1 2 2 2   x  
n 
 E 2 a sin  t   
S x 2 u
  u 
 x 
  n  k   a sin  t   
  u 
2 2
2
Плотность энергии в точке x в
момент времени t
1 2 2
   a
2
Средняя плотность энергии
Энергия упругой волны
W   lS *   uS*
энергия, проходящая через
площадку за время 
 
W

  uS *
Волновой поток энергии

1 2 2
j  *   u  a  u
S
2
Средняя плотность потока энергии


j u
Вектор Умова
Стоячие волны
Стоячие волны — это волны, образующиеся
при наложении двух бегущих волн,
распространяющихся навстречу друг другу с
одинаковыми частотами и амплитудами.
 2x 
 p      2a cos 
cos t

  
/
  x 
  a cos  t   
  u 
  x 
  a cos  t   
  u 
/
2x
A  2a cos

2x
1
  n

2
1
xпучн   n
2
Длина стоячей волны равна половине длины волны,
распространяющейся в среде
2x
1

  n  

2

x узл
1

  n  
2 2

Стоячие волны
Отражение упругих волн
Фаза не меняется на границе раздела, дополнительная разность
фаз =0
Фаза меняется на границе раздела, дополнительная разность
фаз =
Интерференция волн
Интерференцией волн называется явление наложения когерентных
волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное
усиление в одних точках пространства и ослабление в других в
зависимости от соотношения между фазами этих волн.
Когерентностью
называется согласованное
протекание во времени и
пространстве нескольких
колебательных или
волновых процессов.
s1  a1 cost  1 
s2  a2 cost   2 
1  k1 x1
 2  k2 x2
s  a cost   
Интерференция волн
s  a cost   
a  a12  a22  2a1a2 cos 2  1 
  1   2  k x2  x1  
1   2  2n
2  x2  x1 
 2n

x2  x1  n
a  a1  a2
Условие
интерференционного
максимума
2 x2  x1 

1   2   2n  1
2  x2  x1 
 2n

x2  x1  2n  1 
2
a  a1  a2
Условие
интерференционного
минимума
Дифракция волн
дифракция волн огибание волнами
препятствия.
Принцип Гюйгенса- Френеля:
Каждая точка пространства, до
которой дошел фронт волны,
сама становится источником
вторичной сферической волны с
параметрами, соответствующими
параметрам первичной волны.
Звук
Постоянная
A  ln10
 шкала громкости
d прирост громкости,
Iпор минимальная
интенсивность при
которой громкость =0
обусловленный приростом
интенсивности
Набор (дискретный спектр)
гармонических звуков разной
интенсивности - музыка
Минимальное изменение
интенсивности звука, которое
слышит человек на зависит от
интенсивности звука и
составляет примерно 10 % от ее
величины (закон Вебера)
I
 10 1
I
Набор (непрерывный спектр)
звуков разной интенсивности шумы
dI
 Ad
I
ln
I
I пор
 A
Закон Вебера- Фехнера
1
I
  ln
A I пор
  lg
I
I пор
Звук
Звук
Бинауральный эффект
ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний,
воспринимаемой приемником, при движении источника этих
колебаний и приемника друг относительно друга.
   0  d    ист T0

1
   0


1  ист

   0  d    ист T0
  пр
  пр 

  0 1 


0


  0
1
1
 пр

ист

Электромагнитные волны





B
D  0 E
rotE  
t
H
E  0
t


B  0 H

 D
rotH  j 
t
E
H  0
t
 E
E  00 2
t
2
1
00  2
с
с


Электромагнитные волны
p  qr  qle cos t  pm cos t ,
P ~ pm2 4 cos 2 t
Электромагнитные волны
Вектор
2 Пойнтинга
2
(Умова – Пойнтинга)
 E  E  E   2 E
 2  2  2 2
2
x
y
z
c t
2
 2 H  2 H  2 H   2 H
 2  2  2 2
2
x
y
z
c t
0 E 2 0 H 2
w  wE  wH 

.
2
2




D  0 E
B  0 H
1
w  00 EH  EH ,

S  w  EH .
S   EH 
S 
 4 sin 2 
r2