Методы ускорения расчетов Выполнил: Степанов Алексей
реклама
Методы ускорения расчетов Выполнил: Степанов Алексей Кафедра ТМ 5 курс Уравнения для дискретных моделей • Для одного тела: 𝐹 𝑝, … 𝑟, 𝑟 ′ , 𝑟, 𝑟 ′′ , 𝑟, … , 𝜜, … = 0 • Для системы тел: 𝐹𝑖 𝑝𝑖 , … , 𝑟𝑖 , 𝑟𝑗 , 𝑟𝑖 , 𝑟𝑗 , 𝑟𝑖 ′ , 𝑟𝑗 ′ , … , 𝜜𝒊 , … = 0 • Обычно в результате дискретизации модели получаются уравнения вида ⅆ 2 𝑉𝑖 m 2 = 𝐹𝑖 𝑡, 𝑟𝑖 , 𝑟𝑗 , 𝑟𝑖 , 𝑟𝑗 ⅆ𝑡 𝑗 • В результате получается система нелинейных Д.У. порядка не меньше второго. Гравитационная задача N тел ⅆ𝑟𝑖 ⅆ𝑡 ⅆ𝑉𝑖 ⅆ𝑡 = 𝑉𝑖 𝑁 = 𝑗≠𝑖 𝐺𝑚𝑗 𝑟𝑗 − 𝑟𝑖 𝑟𝑗 − 𝑟𝑖 3 Число вычислений сил для каждого шага ~𝑁 2 Вода • 100 × 100 × 100нм содержит ~30 ∙ 106 частиц • Модель воды TIP4P Структура воды и льда Ускорение • • • • Быстрый метод мультиполей (FMM) Направлен на уменьшение вычислительной сложности расчета дальнего взаимодействия; Суть заключается в аппроксимации влияния области частиц на рассматриваемую частицу, не лежащую в области; Метод имеет линейную вычислительную сложность при гарантированной точности; Данный метод лучше подходит для распараллеливания, например, чем БПФ. Уравнения МСС • Баланс массы: 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝛻 ∙ (𝜌𝑉) = 0 • Уравнение равновесия: 𝛻 ∙ 𝛔т + 𝜌𝑓 = 𝜌𝑉 • Балансы импульса, момента импульса, энергии Нахождение аналитического решения в такой задаче может быть весьма затруднительно Метод конечных элементов (FEM) МКЭ — метод решения вариационных задач, характерной чертой которого является использование локальных базисных функций. Выбор базисных функций является важной частью решения, т.к. неудачный выбор может привести к серьезным различиям точного и полученного решения. Преимущества и недостатки Недостатки: • Зависимость решения от сетки. Метод требует оценки сходимости, что требует дополнительных расчетов. Преимущества: • Возможность расчета реальных деталей, т.к. на конечные элементы можно разбить область любой формы. Submodeling Для нахождения более точного решения в областях с большими градиентами напряжений можно использовать метод submodeling. Метод представляет собой последовательный расчет деформаций и напряжений в исследуемой области при постоянном сужении области расчета и использовании результатов предыдущих вычислений в качестве ГУ текущих. При этом, если априорно известно, что напряжения конечны по всей структуре материала, то такой механизм позволит получить их с любой заданной точностью. Аппаратные средства Распараллеливание расчетов с использованием возможностей GPU является передовым методом ускорения расчетов, позволяющим получить значительные результаты. Используемая литература • • • • • • Д.Ф. Марьин, В.Л. Малышев, Е.Ф. Моисеева, Н.А. Гумеров, И.Ш. Ахатов, К.И. Михайленко Ускорение молекулярно-динамических расчетов с помощью быстрого метода мультиполей и графических процессов. // Вычислительные методы в программирование. 2013. Т. 14 Чернявский А. О. Метод конечных элементов. Основы практического применения. Гетманский В. В. Высокопроизводительные методы расчета дискретных моделей связанных систем тел. // Афтореферат A.E. Bogdanovich, I. Kizhakkethara Three-dimensional finite element analysis of double lap composite adhesive bounded joint using submodeling approach// Composites part B 30 537551 А. А. Лукашевич Современные численные методы строительной механики // Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2003 А. А. Юдаков, В Г. Бойков Численные методы интегрирования уравнений движения многокомпонентых механических систем, основанные на методах прямого интегрирования уравнений динамики метода конечных элементов // Вестник удмуртского университета, 2013, Вып. 1
