1.4.Динамика твердого тела Момент инерции Момент инерции

Момент инерции
Момент инерции тела относительно неподвижной оси – физическая
величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты
их расстояний до рассматриваемой оси и являющаяся мерой
инертности тела во вращательном движении:
n
I   mi ri 2
i 1
Суммирование производится по всем элементарным массам , на которые
можно разбить тело.
Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела равен
сумме моментов инерции его частей.
Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс
I   r 2 dm    r 2 dV
где ρ - плотность тела в данной точке; dm=ρdV - масса малого элемента
тела объемом dV, отстоящего относительно оси вращения на расстоянии
r.
Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины ρ и r
являются функциями точки (например, декартовых координат х, у и z).
Момент инерции сплошного цилиндра
Разобьем
цилиндр
на
отдельные
полые
концентрические цилиндры бесконечно малой
толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r +
dr.
Момент инерции каждого полого цилиндра
dI  r 2 dm , (dr  r ).
Объем элементарного цилиндра 2πrhdr,
его масса
dm = 2πrhρ dr
и dI=2πhρr3 dr (ρ - плотность материала).
Момент инерции сплошного цилиндра .
R
1
I   dI  2h  r 3 dr  hR 4
2
0
2
2
Поскольку R h - объем цилиндра, его масса m  R h
то момент инерции сплошного цилиндра:
1
I  mR 2
2
http://www.youtube.com/watch?v=gO2CRb8FHLA&feature=related
Теорема Штейнера
Момент инерции тела I относительно любой оси вращения
равен моменту его инерции Ic относительно параллельной
оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с
произведением массы m тела на квадрат расстояния а между
осями.
Моменты инерции однородных тел
Тело
Положение оси вращения
Полый тонкостенный
цилиндр радиуса R
I  mR2
Сплошной цилиндр или
диск радиуса R
1
I  mR2
2
Прямой тонкий
стержень длиной l
Шар радиуса R
Прямоугольная тонкая
пластинка со сторонами
аиb
Момент инерции
I
Ось проходит через центр
шара
1 2
ml
12
2
I  mR2
5
m( a 2  b 2 )
I
12
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Тело вращается вокруг неподвижной оси . Мысленно
разбиваем это тело на элементарные массы m1 , m2 , ..., mi , ...,
r1 , r2 , ..., ri , ... . При вращении
находящиеся на расстоянии
твердого тела элементарные объемы массами mi опишут
окружности радиусов ri .
Кинетическая энергия i-й элементарной массы
mi  i2 mi  2 ri 2
Eк i 

2
2
Линейная скорость элементарной массы mi равна  i   ri
(угловая скорость вращения всех элементарных объемов
одинакова).
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.
n
mi  2 2  2 n
2
Ек в р  
i 1
2
ri 
2
m r
i 1
i i
I z 2
Eк вр 
2
I z - момент инерции тела относительно оси z.
Из сравнения формул следует, что момент инерции – мера
инертности тела при вращательном движении.
Плоское движение твердого тела
Плоским называется такое движение, при котором все
точки тела движутся в параллельных плоскостях.
Произвольное плоское движение можно представить как
совокупность поступательного движения и вращения.
Разбиение движения на поступательное и вращательное
можно осуществить множеством способов, отличающихся
значениями скорости поступательного движения, но
соответствующих одной и той же угловой скорости .
Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения
твердого тела, не указывая через какую точку проходит ось
вращения. Тогда формула для скорости точек относительно
неподвижной системы отчета будет иметь вид:
 
V  Vc   r
где Vc - скорость центра масс тела, ω - угловая скорость тела.
Кинетическая энергия тела при плоском
движении
–
складывается
из
энергии
поступательного движения со скоростью, равной
скорости центра масс, и энергии вращения вокруг
оси, проходящей через центр масс тела.
mVc2 I c 2
Eк 

2
2
где
m - масса тела; Ic - момент инерции тела
относительно оси, проходящей через его центр масс.
Момент силы
Момент силы относительно неподвижной
точки
О
физическая
величина,
определяемая векторным
произведением

радиуса-вектора r , проведенного из точки
О

в точку А приложения силы, на силу F

M-
 
М  rF
осевой вектор (псевдовектор), его
направление совпадает с направлением
поступательного движения
правого винта


при его вращении от r к F .
Модуль вектора момента силы
M  F r sin  F l


 - угол между r и F ,
r sin  l - кратчайшее расстояние между
линией действия силы и точкой - плечо
силы.
Уравнение динамики вращательного движения

Сила F приложена к точке В, находящейся от
оси на расстоянии r , 
- угол между
направлением силы и радиусом-вектором r . Так
как тело абсолютно твердое, то работа этой силы
равна работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол d
точка В приложения силы проходит путь r d и
работа равна произведению проекции силы на
направление смещения на величину смещения:
d. A  F sin r d
Учитывая, что
,
M Z  F r sin   F l
получаем
d A  M Z d
.
Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической
энергии:
d A  d Eк вр , d A  M Z d , d Е  d  I    I  d .
 2 
Тогда
d
d
 IZ 
M Z d  I Z  d , или M Z
.
dt
dt
2
Z
к
Z
d


Так как угловая скорость
, то M Z  I Z  .
dt
Уравнение
динамики
твердого тела:
M Z  IZ 
вращательного
движения
.
Момент сил твердого тела относительно оси равен
произведению момента инерции тела относительно той же
оси на угловое ускорение.
Аналогия в описании поступательного и вращательного
движений
Поступательное движение
Масса
m
Вращательное движение
Момент инерции
I
Скорость


dr

dt
Угловая скорость

d

dt
Ускорение

 d
a
dt
Угловое ускорение

d

dt

F
Сила
Основное уравнение


F  ma
динамики
Работа
Кинетическая энергия


M
Момент силы
 dp
F
dt
dA  Fs ds
m 2
2

Основное
уравнение M  I 
Z
Z
динамики
Работа
Кинетическая энергия

 dL
M
dt
dA  M Z d
I Z 2
2
•Курс физики. Учебник для вузов/под. ред.
проф. В.Н. Лозовского. СПб: Лань, 2009. Т.1
•Т.И. Трофимова. Краткий курс физики.
Учебное пособие для вузов. М: КноРус,
2010.
•Лозовский В.Н., Лозовский С.В.
Концепции современного естествознания.
Учебное пособие для вузов. - СПб: Лань,
2006.
•Википедия http://ru.wikipedia.org/