ТиМОМ 5курс 9семестр 10лекция

Подходы к
определению понятия
объёма. Проблемы,
связанные с выводом
формул для
вычисления объёмов.
Возможности их
разрешения
Аксиоматическое
определение
Объём – это то, что обладает
следующими свойствами:
1. Всякому телу соответствует
положительное число, называемое
его
объёмом
(свойство
положительности).
2. Если тело разбито на
непересекающиеся
части,
то
объём тела равен сумме объёмов
этих
частей
(свойство
аддитивности).
3. Если тела равны, то равны и их
объёмы
(свойство
инвариантности).
Конструктивное
определение
Рассмотрим 1 кубильяж - куб,
разбитый на единичные кубики.
Пусть тело F содержит фигуру,
составленную из P1 кубов этого
кубильяжа, и, в свою очередь, само
тело F содержится в фигуре,
составленной из Q1 кубов этого
кубильяжа.Тогда верно неравенство:
P1<V(F)<Q1 (с точностью до целых).
Далее рассмотрим 2 кубильяж куб, разбитый на кубики с ребром
0,1 ед. Аналогично получаем
неравенство:
P2<V(F)<Q2
(с
точностью до десятых).
…
Если
существует
lim 𝑃𝑛 = lim 𝑄𝑛 ,
то
его
𝑛→∞
𝑛→∞
4. Куб с ребром единица имеет
объём, равный единице в кубе считают равным V(F) и говорят,
что фигура F кубируема, т.е. имеет
(свойство нормированности).
объём.
Впервые формулу объёма пирамиды вывел
известный древнегреческий учёный из города
Сиракуз - Архимед. Он разработал следующий
метод: высота пирамиды разбивается на n равных
частей; через точки деления проводятся плоскости,
параллельные основанию пирамиды; пирамида
разбивается на n слоёв; для каждого такого слоя
(кроме верхнего) строятся две призмы, одна из
которых содержится в слое, а другая содержит слой:
Данный чертёж получил название «Чёртовой
лестницы».
Если известны площади поперечных сечений
A1, A2, A3, ..., A7, разделённые интервалом шириной
d для неправильного тела, ограниченного двумя
параллельными плоскостями (как показано на
рисунке), то объём тела находится по формуле
Симпсона:
𝒅
V= ∙[(A1 + A7) + 4(A2 + A4 + A6) + 2(A3 + A5)]
𝟑
Методика введения
понятия объёма
тела, вывода
формул объёма
прямой призмы и
цилиндра
1. Что является
площадей?
единицей
измерения
2. Какие единицы измерения площадей вы
знаете?
3. Каким числом выражается площадь
каждого многоугольника (плоского тела)?
4. Что показывает это число?
5. Какие свойства площадей вам известны?
6. Какие два многоугольника (плоских тела)
называются равными?
1. Введение единиц измерения площадей.
2. Выяснение то, что такое площадь
фигуры (в чём состоит процедура
измерения площади фигуры).
3. Свойства площадей.
4. Площадь квадрата.
5. Формулы площадей других фигур.
6. Площадь круга.
1. Введение единиц измерения объёмов.
2. Выяснение то, что такое объём тела (в
чём состоит процедура измерения объёма
тела).
3. Свойства объёмов.
4. Объём куба.
5. Формулы объёмов других тел.
6. Объём цилиндра.
1. Что является единицей измерения
объёмов?
2. Какие единицы измерения объёмов вы
знаете?
3. Каким числом выражается объём каждого
многогранника (пространственного тела)?
4. Что показывает это число?
5. Какие свойства объёмов вам известны?
6.
Какие
два
многогранника
(пространственных
тела)
называются
равными?
Получение общей
формулы для
вычисления объёмов тел
с помощью
определенного
интеграла. Объём
наклонной призмы,
пирамиды, конуса
1. Выбрать определённым образом систему
координат (ось Ох перпендикулярна к
основанию).
2. Рассмотреть сечение тела плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох и проходящей
через точку с абсциссой х.
3. Выразить площадь сечения S(x) через
площадь
основания,
высоту
и
х.
Убедиться, что полученная формула задаёт
непрерывную функцию.
4. Применить общую формулу для
вычисление объёмов тел с помощью
𝒃
определённого интеграла: 𝑽 = 𝒂 𝑺 𝒙 𝒅𝒙.
Ключевые
задачи темы
«Объёмы тел»
№ 662. Основанием прямой призмы является
параллелограмм. Через сторону основания,
равную а, и противолежащую ей сторону
другого основания проведено сечение,
составляющее угол  с плоскостью
основания. Площадь сечения равна Q.
Найдите объём призмы.
1. Задача-теорема (№ 682): Докажите, что объём
наклонной призмы равен произведению бокового
ребра на площадь сечения призмы плоскостью,
перпендикулярной к боковым рёбрам
и
пересекающей их.
2. Задачи на нахождение объёма наклонной призмы,
у которой задано основание (можно найти его
площадь) и заданное боковое ребро образует
определённый угол с основанием (№ 676).
3. Задачи на нахождение объёма наклонной призмы,
у которой одна из вершин верхнего основания
проектируется в определённую точку нижнего
основания, т.е. на виды наклонных призм (№№ 677681).
4. Задачи на нахождение объёма пирамиды, у
которой плоские углы при одной из вершин прямые
(№ 695(в)): Найдите объём треугольной пирамиды
SABC,
если
боковые
рёбра
попарно
перпендикулярны и имеют длины a, b и c.
5. Задачи на нахождение объёма правильной
пирамиды (№№ 685-690).
6. Задачи на нахождение объёма неправильной
пирамиды, у которой вершина проектируется в
определённую точку основания, т.е. на виды
неправильных пирамид (№№ 691-696).
7. Задачи на метод объёмов: требуется найти
расстояние от вершины тетраэдра до плоскости
противоположной грани или между плоскостями
противоположных граней параллелепипеда.
Метод объёмов
Задача № 1: Основанием
M
C
B
H
K
A
пирамиды
MAВC является 𝛥ABC, в
котором AB = BC = a и
ABC равен . Боковая
грань MBC перпендикулярна
к основанию, а две другие
боковые грани наклонны к
нему под углом . Найдите:
а) площадь грани AMB;
б) объём пирамиды;
в) расстояние от вершины C
до плоскости грани AMB.
Решение:
1) Т. к. (MBC) ┴ (ABC), то М проектируется в
точку Н прямой ВС (МН ┴(ABC)).
2) Т. к. МВАС = МСАВ, то боковое ребро МА
проектируется на АН - биссектрису ВАС.
3) Дополнительное построение: НК ┴ АВ, тогда по
теореме о трёх перпендикулярах МК ┴ АВ, т. е.
МКН – линейный угол МВАС, МКН = .
4) Рассмотрим треугольник ABC, по теореме
косинусов 𝐴𝐶 = 𝑎2 + 𝑎2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝛼
= 𝑎 2 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2𝑎𝑠𝑖𝑛 .
2
5) AH – биссектриса 𝛥ABC, тогда по свойству
𝐵𝐴
.
𝐴𝐶𝑥
𝑎−𝑥
=
𝐵𝐻
𝐻𝐶
=
Пусть ВН = х, тогда НС = а – х. Получаем:
𝑎
𝛼, в итоге
2𝑎𝑠𝑖𝑛 2
6)
Рассмотрим прямоугольный треугольник
𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼
BHK (ВКН = 90˚): 𝐾𝐻 = 𝐵𝐻 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
.
𝛼
2𝑠𝑖𝑛 2 +1
7)
Рассмотрим прямоугольный треугольник
𝐾𝐻
𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼
MHK (MНK = 90˚): 𝑀𝐾 =
=
,
𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑀𝐻 = 𝐾𝐻 ∙ 𝑡𝑔𝛽 =
𝛼
2𝑠𝑖𝑛 +1
2
.
1
𝑎2 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑆𝐴𝑀𝐵 = 𝐴𝐵 ∙ 𝑀𝐾 =
.
𝛼
2
2𝑐𝑜𝑠𝛽(2𝑠𝑖𝑛 2 +1)
1
1 1 2
𝑉𝑀𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 ∙ 𝑀𝐻 = ∙ 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼
3
3 2
8)
9)
=
𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑡𝑔𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛽(2𝑠𝑖𝑛 2 +1)
𝑎3 𝑠𝑖𝑛2 𝛼∙𝑡𝑔𝛽
𝛼
6(2𝑠𝑖𝑛 2 +1)
10)
𝑑 𝐶,
.
1
𝑉𝑀𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝑀𝐵 ∙ 𝑑(𝐶, 𝐴𝑀𝐵 ),
3
3𝑉𝑀𝐴𝐵𝐶
𝐴𝑀𝐵 =
= 𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽.
𝑆𝑀𝐴𝐵
∙
𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑡𝑔𝛽
𝛼
2𝑠𝑖𝑛 2 +1
Метод объёмов
Задача № 2:Основанием
C1
В1
A1
D1
В
A
α
O
С
K
a
D
наклонной
призмы
ABCDA1B1C1D1
является ромб с острым
углом А, равным α, и
стороной а. Известно, что
вершина А1 призмы удалена
на расстояние a от точек A, B
и D. Найдите:
а) SBB1D1D;
б) VABCDA1B1C1D1;
c) d(AA1D,BB1C),
d(DD C,AA B).
1
1
Решение:
1) Т. к. вершина A1 равноудалена от вершин A, B
и D, тогда A1 проектируется в центр описанной
около треугольника ABD окружности - точку О
(A1О ┴(ABC)).
2) Треугольник ABD - равнобедренный (ABСDромб), то O лежит на AK, где AK – медиана,
биссектриса, высота треугольника ABD (Кточка пересечения диагоналей ромба ABСD).
3) AC ┴ BD (свойство диагоналей ромба), тогда
имеем: A1О ┴(ABC), AA1 – наклонная к (ABC),
AO – проекция наклонной AA1 на плоскость
(ABC), AO┴BD, значит по теореме о трёх
перпендикулярах AA1┴BD.
4) AA1┴BD, AA1||BB1 , тогда (по лемме) B1B┴BD,
следовательно, BB1D1D - прямоугольник.
5) Рассмотрим прямоугольный треугольник AKD
𝛼
(АКD=90˚), в нём 𝐾𝐷 = 𝑎𝑠𝑖𝑛
, тогда
𝛼
2𝑎𝑠𝑖𝑛 .
2
2
𝐵𝐷 =
6) AA1 = BB1 = а (по свойству боковых рёбер
призмы).
𝛼
2
7) 𝑆𝐵𝐵1 𝐷1 𝐷 = 𝐵𝐵1 ∙ 𝐵𝐷 = 2𝑎 𝑠𝑖𝑛 .
2
8) Рассмотрим треугольник ABD:
9)
Рассмотрим
прямоугольный треугольник
A1АО (А1ОА=90˚), по теореме Пифагора:
10)
=
11)
Рассмотрим правильный треугольник АA1D
(AA1 = A1D = AD = a),
12)
=
Ответ:
№ 691: Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник ABC, в
котором АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см.
Каждое боковое ребро пирамиды
образует с её высотой угол в 30˚.
Вычислите объём пирамиды.