ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы Центр развития одаренности школьников 9 класс 1. Найти значения , , для которых выполняется равенство: Решение: 4 х 2 4 х 1 9 у 2 6 у 1 16 z 2 8 z 1 0 (2 x 1) 2 (3 y 1) 2 (4 z 1) 2 0 1 x 2 2 x 1 0 1 3 y 1 0 y 3 4 z 1 0 1 z 4 1 1 1 Ответ: ( ; ; ) 2 3 4 2. Упростить: Решение: а3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + с)((a + b)2 – (a + b)c + c2) – 3ab(a + b + с) = (a + b + с)(a2 + b2 + c2 – ab – aс – bс). а 3 в 3 с 3 3авс (а в с)( а 2 в 2 с 2 ав ас вс) авс а 2 в 2 с 2 ав ас вс а 2 в 2 с 2 ав ас вс Ответ: a + b + с 3. Основания трапеции и . В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий площадь трапеции на равные части. Найти длину этого отрезка. Решение: ABCD – трапеция, ВС=а, AD=b, MN || AD, SAMND=SMBCN, MN=? Пусть MN=x, BB2=h, BB1=h1 тогда SAMND=0,5(b+x)(h-h1)=0.5(x+a)h1, т.е. (h-h1)(b+x)=(x+a)h1; h(b+x)=(a+b+2x)h1 SABCD= SAMND + SMBCN, т.е. 0.5(a+b)h=(b+x)(h-h1)+0.5(x+a)h1 или (a+b)h=(b+x)h+(a-b)h1 (a-x)h=(a-b)h1 (a b)h (a b 2 x)h1 Получим систему уравнений: (a x)h (a b)h1 (a-x)(a+b+2x)=(b+x)(a-x) a2+ab+2ax-ax-bx-2x2=ab+ax-b2-bx a2 -2x2 + b2=0 2x2 = b2+ a2 x2= (b2+ a2):2 х а2 в2 2 Ответ: 4. Доказать, что при всяком нечетном выражение а2 в2 2 делится на 512. Решение: n12 n 8 n 4 1 n 8 (n 4 1) (n 4 1) (n 4 1)( n 8 1) (n 2 1)( n 2 1)( n 4 1)( n 4 1) (n 1)( n 1)( n 2 1)( n 2 1)( n 2 1)( n 4 1) (n 1)( n 1)( n 1)( n 1)( n 2 1)( n 2 1)( n 4 1) 512=8·8·8 Из двух последовательных четных чисел (n-1)(n+1) одно делится на 4, а их произведение делится на 8. Значит, (n-1)(n+1)(n-1)(n+1) делится на 64. А так как, n2+1, n2+1 и n4+1 числа четные, значит каждая сумма делится на 2, а значит и на 8. Следовательно, делится на 512. Что и требовалось доказать. 5. Найти наименьшее значение функции: Решение: x2 1 x2 1 2 2 y 2 1 2 2 x 1 x 1 x 1 Так как x 2 1 при любых х положительно, то наименьшее значение выражения 2 равно 1. Значит наименьшее значение функции равно 0. х 1 2 Ответ: 0 6. Решите систему уравнений: Решение: 2( x y ) 1,2( z y ) 10 x 10 y 6 z 6 y xyz 2( x y ) 10 x 6 z 4 y xyz 1,2( z y ) 2( x y ) 1,5( z y ) 4 x 4 y 3 z 3 y y 3 z 4 x xyz 1,5( x z ) 1,2( z y ) 1,5( x z ) 12 z 12 y 15 x 15 z z 4 y 5x 10 x 24 y 30 x 4 y 40 x 20 y 2x y y 2x y 3z 4 x y 3z 4 x y 3z 4 x y 3z 4 x z 4 y 5x z 8x 5x z 3x z 4 y 5x x 2 x 3x 2 x 2x 6x3 2 3x x2 1 x 1 y 2 z 3 Ответ: (1;2;3), (-1;-2;-3). 7. Известно, что . Найдите значение выражения 2а 4в 2а 4 2а 4в 2а в в Решение: в 4 в в 1 в в 2а 2а а 11 4 7, 11, в в в 2 . 2а 3в 2а 3 2а 3в 3 3в 6 6 в в в 2 2 2 2 а а а а а 11 11 в в в Ответ: 2 8. Найдите остаток от деления числа 6 11 на Решение: найдем последнюю цифру числа а 16913 16 256 Последние цифры числа 169к повторяются через два шага, то есть 91=9 92=81 93=729 94=6561 95=59049 ………… Поэтому последняя цифра у числа 16913 такая же как и у числа 91=9 (13=2·6+1) Аналогично, последняя цифра у числа 16256 такая же как и у 161, то есть 6 161=16 162=256 163=1096 ………… Следовательно, последняя цифра у числа а такая же, как и у суммы 6+9=15, то есть 5. Найдем остаток отделения числа а на 85. Заметим, что остатки от деления на 85 вида 169к повторяются через 2 шага, поэтому остаток от деления 16913 на 85 равен остатку от деления на 85 числа 169, то есть 84. Аналогично, остаток от деления числа 16256 на 85 повторяются через 2 шага и равен 16. Следовательно, остаток от деления числа а на 85 равен остатку от деления на 85 суммы 16+84=100, то есть равен 15. Ответ: 15 9. Решите уравнение: Решение: (х2-12х+27)(х2+8х+12)=56х2 х4-4х3-113х2+72х+324=0 делители свободного члена 324: ±1,±2, ±3, ±4 ±6, ±9… х=2 16-32-452+144+324=0, значит х=2 корень х=-9 6561+2916-9153-648+324=0, значит х=-9 корень Разделим х4-4х3-113х2+72х+324 на х2-7х-18 получим х2-11х-18, то есть х4-4х3-113х2+72х+324=(х-2)(х+9)( х2-11х-18) (х-2)(х+9)( х2-11х-18)=0 х-2=0 или х+9=0 или х2-11х-18=0 х=2 х=-9 х 11 193 2 Ответ: -9; 2; 11 193 2 10. До какого веса надо выпарить 800г десяти процентного раствора соли, чтобы довести ее содержание до шестнадцати процентов? Решение: в 800гр раствора 800·10:100=80гр соли 80·100:16=500 гр раствора Ответ: 500 ВЫПОЛНИЛ Фамилия Давлетшин Имя Ильдар Отчество Флюрович Класс 9а Школа МОБУ СОШ № 2 Город (село) Бижбуляк Район Бижбулякский Ф.И.О. учителя Алексеева Елена Юрьевна