Моментом импульса частицы относительно неподвижной оси

ЛЕКЦИИ 9-10
Задача Кеплера
1
Момент импульса материальной точки.
Законы сохранения импульса и момента импульса
Момент импульса частицы относительно
выделенного неподвижного полюса
o
L  [r, p]  m[r, v]
L  rp sin   pl p
l p  r sin   плечо импульса:
o
кратчайшее расстояние от точки
до линии,
вдоль которой направлен вектор импульса p
Вектор L перпендикулярен плоскости, в которой лежат
вектора p и r
Моментом импульса частицы относительно неподвижной оси называется
проекция на эту ось момента импульса, вычисленного относительно произвольного
полюса лежащего на данной оси
Lz  r, p z  r, p  , e z   e z , r  , p   e z , r  , p 
2
Геометрическая интерпретация момента импульса частицы с
постоянной массой
r, dr 

dS
 dr 
L  m[r, v]  m r,   m
 2m
dt
dt
 dt 
Величина
dS
равна площади, заметаемой радиус-вектором за время
dt
dS / dt  вектор секториальной (секторальной) скорости, определяемой
площадью, заметаемой радиус-вектором в единицу времени.
Момент импульса частицы относительно неподвижного полюса равен
произведению массы частицы на удвоенный вектор секториальной скорости
3
Момент силы относительно неподвижного полюса
Моментом M силы F относительно полюса O называется физическая
величина, определяемая векторным произведением радиус вектора r ,
проведенного из данного полюса к точке приложения силы на вектор силы
M  r, F
F
M  M  rF sin   FlF
  угол между векторами r и F
lF  r sin   плечо силы: наименьшее
расстояние от полюса до
M  r, M  F
линии действия силы
При определении момента силы существенны
не только ее величина и направление, но и
точка приложения. Момент силы не
изменяется при перемещении силы вдоль
линии ее действия:
M  r, F   l F  r , F    l F , F 
Моментом силы относительно оси Oz называется проекция на эту ось
момента силы, вычисленного относительно любого полюса, лежащего на оси
M z  r, F z  r, F  , e z   e z , r  , F   e z , r  , F 
4
Динамическое уравнение для момента импульса материальной точки
dL  dr   dp 
 dp   dp 
  , p   r,   m[ v, v]  r,   r,   [r,  fi ]  [r, F ]  M
dt  dt   dt 
 dt   dt 
i
dL
 [r, F ]  M
dt
Законы сохранения момента импульса
Если момент силы относительно некоторого полюса равен нулю, то
вектор момента импульса относительно этого полюса остается в
процессе движения неизменным.
Если момент силы относительно некоторой оси равен нулю, то момент
импульса относительно этой оси остается в процессе движения неизменным.
dp
dp
 F ; F  0 
 0, p  p(0);
Fl  0  pl  pl (0)  const
dt
dt
dL
 M  [r, F ]; M  0  L  L(0)
M l  0  Ll  Ll (0)  const
dt
Учитывая связь, между моментом импульса и секториальной скоростью,
получаем динамическое уравнения изменения секториальной скорости:
d 2S
1 dL
1
M


[r, F ] 
2
dt
2m dt 2m
2m
5
Пример.
Шайба (материальная точка), скользя по
гладкой горизонтальной поверхности,
испытывает упругое столкновение с гладкой
вертикальной стенкой. Определить все точки
поверхности, относительно которых момент
импульса шайбы не изменится до и в момент
столкновения.
До столкновения равнодействующая всех сил, действующих на шайбу (силы тяжести
и силы нормальной реакции горизонтальной поверхности) равна нулю.
Следовательно, до столкновения момент импульса относительно любого полюса
сохраняется неизменным. В момент столкновения на шайбу действует сила
нормальной реакции стенки N , перпендикулярная стенке. Момент этой силы
относительно произвольного полюса, лежащего на линии действия силы (прямой a ),
равен нулю. Следовательно, линия действия силы будет геометрическим местом
точек, относительно которых момент импульса останется неизменным в результате
столкновения.
6
Сохранения момента импульса при движении материальной точки под
действием центральных сил
Физически выделенный полюс – полюс центральных сил.
Векторное поле сил называется центральным, при выполнении следующих
условий:
1. В каждой точке пространства сила F направлена вдоль радиус-вектора r ,
проведенного из определенной точки.
2. Величина силы зависит только от величины радиус вектора, проведенного из
силового полюса F  F (r ) .
Момент центральных сил относительно силового полюса равен нулю
F  Fr (r )er  M  r, Fr (r )er   F (r )[r, er ]  0 
dL
d 2S
 0,
0
2
dt
dt
При движении под действием центральных сил вектор момента импульса, и,
следовательно, вектор секториальной скорости тела, сохраняются
неизменными в процессе движения.
Траектория движения лежит в одной плоскости. За равные промежутки времени
радиус вектор, проведенный из силового полюса, заметает равные площади.
7
Движение материальной точки в гравитационном поле сферически
симметричного тела.
Гравитационное взаимодействие, между сферически симметричными телами,
такое же, как и взаимодействие между точечными массами, т.е. является
центральным:
r
mM
F  FG  G 2 e r
r
расстояние между центрами тел.
1. Движение тела является плоским.
2. Движение тела происходит с постоянной
секториальной скоростью: за равные
промежутки времени радиус вектор,
проведенный из силового полюса, заметает
равные площади. (Второй закон Кеплера).
8
Механические моменты как динамическими характеристиками
вращательного движения
Приращение радиус вектора в полярной системе координат.
Разложение вектора линейной скорости на радиальную и вращательную
составляющие.
dr  drer   rd  e  v   dr / dt  er   rd / dt  e  vr er  (r )e
  d / dt  угловая частота поворота радиус вектора
L  m r,  v r e r  (r )e    m r, (r )e   mr 2 e r , e   mr 2ω  Iω;
I  mr 2  момент инерции
9
Динамическая роль момента инерции тела
Момент инерции I точечной массы равен величине массы m , умноженной
2
на квадрат расстояния r до оси вращения радиус-вектора, вдоль которой
направлен вектор угловой скорости
. Связь между угловой скоростью и
моментом импульса аналогична связи между линейной скоростью и импульсом
частицы. Роль массы играет момент инерции .
Соответственно, момент силы, определяющий изменение момента импульса,
называют иногда «вращательным моментом», поскольку он связан с
изменениями вращательного движения тела.
ω
10
Определение траектории движения материальной точки в центральном
гравитационном поле (задача Кеплера).
Законы Кеплера
11
12
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
13
Иоганн Кеплер и Тихо Браге (памятник в Праге).
14
Постановка задачи
Точечное тело массы m движется в центральном силовом поле,
убывающим по закону обратных квадратов. Требуется рассчитать все
допустимые типы движения тела и определить условия для реализации
движения каждого типа.
Решение задачи Кеплера.
Движение тела происходит по одному из конических сечений – окружности
или эллипсу, параболе или гиперболе.
Все три возможных варианта кривых возникают в сечении конической
поверхности плоскостью, наклоненной по некоторым углом к высоте.
15
Конические сечения.
Все типы сечений можно представить в полярных координатах в виде одной
формулы:
p
r
1  e cos 
r  расстояние до силового центра
  угол между радиус  вектором, проведенным из силового центра
и осью симметрии орбиты
p  фокальный параметр
e  эксцентриситет орбиты
Финитные орбиты:
окружность e  0;
эллипс 0  e  1
pr
Инфинитные орбиты:
Парабола e  1
гипербола e  1
16
Элементы эллиптической орбиты кеплерового движения
17
Элементы эллиптической орбиты кеплерового движения
ra  rp
p
p
rp 
; ra 
; e
1 e
1 e
ra  rp
rp  p  ra ;
Равенство
rp  p  ra
при
e0
2p
rp  ra  2a 
; r1  r2  rp  ra  2a  const
2
1 e
f  CF1  CF2 
a 2  b2  f 2 ;
ra  rp
2
pe

 ae
2
1 e
b2
p
 a 1  e2  ; b  ap  a 1  e 2
a
18
Аналитическое решение задачи Кеплера на основе закона
сохранения полной механической энергии и закона сохранения
момента импульса
d
W  K  U  const ; L  mr
 const
dt
2
L2
V  V  V  r  r   r  2 2
mr
pr2 L2
mV 2 mVr2
L2
K




 Kr  K L
2
2
2
2mr
2m 2 I
2
2
r
2
2
2
2
2
19
Полная механическая энергия при движении по кеплеровой орбите
mM mr 2
L2
mM
W  K  U  Kr  K L  G



G
 const
2
r
2
2mr
r
Сохраняющиеся в процессе движения величины энергии и момента
импульса определяются начальными условиями движения.
Введем величину эффективной потенциальной энергии U eff
L2 GMm
 KL  UG  2 
mr
r
График эффективной
потенциальной
энергии для
радиальной
составляющей
движения тела по
кеплеровой орбите
20
21
Параметры минимума эффективной потенциальной энергии
радиального движения.
U G (r0 )
L2
GMm
r0 
,
U
(
r
)




 W0 ;
eff 0
2
GMm
2r0
2
r0W0  
GMm
2
На дне потенциальной ямы ее глубина равно
половине гравитационной потенциальной энергии.
Произведение r0W0 целиком определяется
тяготеющими массами и не зависит от начальных
условий их движения (т.е. от значений энергии и
момента импульса)
Кинетическая энергия радиального движения при удалении от силового центра на
расстояние r  r0
L2
1
K L (r0 ) 
 U eff  U G   U G  W0
2
2mr0
2
22
Замечание
Исключение энергии вращения из кинетической энергии тела равносильно
переходу в систему отсчета, вращающуюся вместе с телом. Поскольку такая
система не является инерциальной, в ней появляются силы инерции. Вычислим
«эффективную силу взаимодействия», отвечающую эффективной потенциальной
энергии:
U eff
GmM
L2
GmM
 d 
eff
Fr (r )  
  2  3   2  mr 
  FG  Fц .б .
r
r
mr
r
 dt 
2
Эффективная сила представляет собой сумму гравитационной и
центробежной силы. Последняя является силой инерции, которая возникает
при переходе в систему отсчета, вращающуюся с угловой частотой d / dt
Поэтому величину кинетической энергии вращательного движения
иногда называют центробежной энергией
L2
KL 
2I
При малом удалении r  r0 от силового центра центробежная сила превалирует
над гравитационной, так что суммарная сила является силой отталкивания от
силового центра. При достаточно большом удалении от силового центра r  r0
превалирует гравитационная сила притяжения. При r  r0 обе силы
уравновешивают друг друга. Этот случай соответствует равномерному вращению
23
тела вокруг силового центра.
Определение траектории движения тела посредством интегрирования уравнений,
выражающих законы сохранения энергии и момента импульса.
Выражение эффективной потенциальной энергии через параметры ее минимума:
2
r
r 
r 
U eff  2W0  0   W0  0   2W0 q  W0 q 2 , q  0
r
r
r
GMm
L2
GMm


W
r
;

W0  U eff (r0 )  
0 0
2
2mr02
2r0
dr
2
d
L
Vr 

(W  U eff );  
 2
dt
m
dt mr
dr dr d
2


(W  U eff ) 
dt d dt
m
dr
1

d

2
2m
(W  U eff )   r 2
(W  U eff );
2
m
L
1 dr
d 1
2m




(W  U eff );
 
2
2
r d
d  r 
L
24
q
2mr02
(W  U eff ) 
2
L
dq
2m
 r0
(W  U eff ) 
2
d
L

 d     0 
0
q

q0
r0
r
q

q0
d  q  1 / e 
1   (q  1) / e
2
dq
W
 2q  q 2
W0
1
W  U eff  
W0
q


q0
dq
W
 1  (q  1) 2
W0
W
 2q  q 2
W0

  arccos  q  1 / e   q  1  e cos   0 
W
W
e  1
 1
W0
W0
25
r  r0 / q
r0
r
;
1  e cos(  0 )
W
W
L2
e  1
 1
, r0 
W0
W0
Gm2 M
GMm
G 2 M 2 m3
W0  U eff (r0 )  

2r0
2 L2
Полученная зависимость определяет траекторию движения тела в полярных
координатах ( r ,  ) полюс которых совмещен с полюсом центральных сил.
Вид этой зависимости определяет траекторию движения тела в поле
гравитационной силы как коническое сечение
Фокальный параметр орбиты определяется величиной момента импульса и
гравитационными массами.
Эксцентриситет орбиты зависит от обоих инвариантов движения: полной
механической энергии и момента импульса.
26
При достаточно малых значениях полной механической энергии W0  W  0
тело движется по эллиптической орбите (при W0  W по круговой орбите), в
одном из фокусов которой находится силовой полюс гравитационной силы –
первый закон Кеплера.
27
При достаточно больших энергиях W  0 тело неограниченно удаляется от
силового полюса, двигаясь, при W  0 по гиперболической траектории, а в
пограничном случае W  0  по параболе.
28
Кеплерово движение по эллиптической орбите
r0
r0W0 GMm
p
a



1  e 2 1  (1  W / W0 ) W
2 |W |
b  a 1  e2  r0
W0
W
L2
p  r0 
Gm2 M
S   ab 
r02
W / W0 
3/ 2
Величина большой полуоси эллиптической орбиты определяется только энергией
тела и гравитационными массами. Величина фокального параметра определяется
только моментом импульса и гравитационными массами.
Величина малой полуоси зависит от обоих инвариантов движения: полной
механической энергии и момента импульса
29
Третий закон Кеплера
Отношение квадрата периода обращения по кеплеровской орбите к кубу большой
полуоси орбиты не зависит от параметров движущегося тела и определяется только
массой тела, создающего гравитационное поле:
a 3 GM

 const
2
2
T
4
2
T   a 
  1   1 
 T2   a2 
3
Поскольку большие полуоси эллиптической орбиты зависят только от полной
механической энергии тела, то и периоды обращения тела определяются (кроме
тяготеющих масс) только полной механической энергией вращающегося тела.
Для доказательства этого утверждения используем связь между моментом
импульса и секториальной скоростью, условие постоянства обеих величин при
движении в центральном силовом поле и выражение для малой оси b  ap ,
2
2
а также фокального параметра p  r0  L / GMm кеплеровой орбиты:


2
dS
1
2mS
4m2 S 2 4m  ab 
4 2 a 2 m2b 2 4 2 a3m2 r0 4 2 a 3
2
S
T
LT  T 
 T 




.
dt
2m
L
L2
L2
L2
L2
GM
2
И.Кеплером был получен этот результат для круговой орбиты: a  b  r0 .
Его экстраполяция на движение по эллиптическим орбитам впервые была сделана
И.Ньютоном.
30
Параметры орбит планет Солнечной системы
• Астрономическая единица –величина, равная полусумме афелия и
перигелия Земли относительно Солнца:
1a.e.  1, 495 1011 м  150 млн.км
Эксцентриситеты больших планет невелики: траектории планет близки к круговым.
31
Трансформация кеплеровой орбиты при последовательном
увеличении начальной скорости тела
• Начальная скорость тела ортогональна направлению на силовой центр.
В начальный момент Vr 0  0, K0  K L
Начальному состоянию отвечает точка W  U eff
При K0  1/ 2 U G 0 , V0  VK  GM / r (0)
эта точка лежит на правом берегу кривой U eff в апогеи эллиптической орбиты:
r0  p  r (0)
С ростом начальной скорости ,
трансверсальной радиус-вектору,
увеличивается величина как W , так и L
Кривая эффективной потенциальной
энергии трансформируется; ее минимум
поднимается и сдвигается вправо.
При V  VK орбита становится круговой:
r (0)  r0  p
При V0  VK начальная точка оказывается на
левом берегу потенциальной кривой – в перигеи эллиптической орбиты:
p  r0  r (0)
32
Годограф вектора скорости при движении по кеплеровой орбите
Годограф вектора скорости при движении по кеплеровой орбите любого вида
представляет собой окружность
Годограф вектора скорости при движении по эллиптической кеплеровой орбите
33
Годограф вектора скорости при движении по параболической кеплеровой орбите
34
Годограф вектора скорости при движении по гиперболической кеплеровой орбите
35
Космические скорости
Моделируя Землю шаром постоянной плотности, можно считать, что ее
гравитационное поле совпадает с полем точечной массы, равной массе Земли и
помещенной в центр земного шара. В частности, движение тела, брошенного
под углом к горизонту, при учете центрального характера гравитационной силы
происходит по кусочку эллипса с фокусом в центре Земли (движение по
параболе отвечает приближению однородного гравитационного поля).
Первая космическая скорость - это минимальная
скорость, с которой, выпущенная с Земли ракета
может облететь земной шар r0  Rз . Минимальная
величина скорости достигается при запуске ракеты в
ортогональном по отношении к радиусу Земли
направлении  L  Lmax 
GMm
mV 2
W  W0  
 K  
 KL
2r0
2
V  VI 
GM
GM

RЗ  gRЗ  7,9км / с
2
RЗ
RЗ
36
Если запуск осуществляется непосредственно с поверхности Земли в направлении
горизонта, то при условии V  VI эллиптическая траектория корабля целиком лежит
внутри Земли. При запуске корабля с некоторой высоты или под некоторым углом к
горизонту, то он, совершив полет по дуге эллипса, рухнет на Землю.
Семейство баллистических траекторий снарядов, запущенных с поверхности Земли с
разными по величине скоростями V  VI под углом к 45 горизонту
37
Эллиптические орбиты спутников, запущенных из одной точки в одном
направлении под углом к горизонту с разными по модулю начальными скоростями,
превышающими первую космическую скорость V  V . V
I
II
38
Семейство эллиптических орбит спутников, вылетающих из одной точки S
во всевозможных направлениях с равными по модулю скоростями, немного
превышающими первую космическую скорость.
Поскольку все движения обладают одинаковой полной механической энергией, они
происходят по кеплеровым эллипсам с равными большими полуосями.
39
Вторая космическая скорость (скорость освобождения) определяется
минимальной энергией, при которой запущенная с Земли ракета может выйти
за пределы земного тяготения, т.е. удалиться от Земли бесконечно далеко. Это
условие отвечает нулевому значению энергии, при котором возникает
инфинитное (неограниченное) движение по параболической орбите
2GM З
mV 2 GM З m
W

 0  V  VII 
 2 g З RЗ  11, 2км / с
2
RЗ
RЗ
40
Значение скорости освобождения в
зависимости от высоты над
поверхностью Земли
Значение скорости освобождения на
поверхности планет и Луны
Планета
скорость, км/сек
Высота, км
скорость, км/сек
Меркурий
4,15
0
11,19
Венера
10,25
Земля
11,19
Луна
2,36
500
10,77
1000
10,40
Марс
5,09
2000
9,76
Юпитер
60,2
Сатурн
36,2
Уран
21,4
Нептун
23,4
5000
8,37
10000
6,98
41
Третья космическая скорость определяется минимальной энергией,
необходимой для выхода за пределы солнечного тяготения.
Минимальная скорость относительно Солнца, которая обеспечивает ракете
освобождение от солнечной гравитации, должна превосходить вторую
космическую скорость Солнца:
mV
2
2
GmM
2GM

 0 V 
R
R
 42км / с
Ракета, запущенная с Земли с такой скоростью,
покинет пределы солнечного тяготения при любом
направлении запуска. Если же запуск ракеты с
Земли осуществляется в направлении орбитального
движения Земли (на рис. траектория [2]), то
относительно Земли скорость освобождения от
солнечного тяготения равна V  V  VЗ
Земля является космическим спутником Солнца,
вращающимся вокруг него по почти круговой орбите.
Следовательно, орбитальная скорость вращения Земли
вокруг Солнца равна первой космической скорости Солнца:
VЗ  GM / R  30км / с
R  радиус земной орбиты.
42
Скорость освобождения от гравитации Солнца при оптимальном запуске ракеты
с Земли:
V  V  VЗ  VЗ ( 2 1)  12км / с
Прежде, чем попасть в условия доминирования солнечной гравитации, ракета
должна преодолеть земное тяготение, т.е. освободиться от гравитационного
притяжения Земли. Сделаем расчет при упрощающем допущении независимого
действия земного и солнечного влияния на ракету: сначала она освобождается от
земной гравитации, а затем от солнечной. В этих условиях, при бесконечном
удалении от земли ракета должна обладать кинетической энергией,
необходимой для освобождения от солнечной гравитации. Соответствующая
этой энергии скорость VIII называется третьей космической скоростью:
mV2 mVIII 2 GM 3m
W 


; VIII 2  VII2  V2 ;
2
2
R3
VIII  VII2  V2  16, 7км / с
43
Voyager 1 - первый в истории космический аппарат, достигший границ Солнечной
системы и вышедший за её пределы. Зонд пересек внешнюю границу Солнечной
системы 25 августа 2012 года.
В тот день он находился на расстоянии 121 астрономической единицы от Земли.
В настоящее время зонд Voyager 1 движется со
скоростью 45 км/сек относительно Солнца и
17км/с относительно Земли
Запуск Voyager 2.
Космический зонд Voyager 2
44
Послание внеземным
цивилизациям.
Образец золотой пластинки,
прикреплённой к аппаратам
Voyagers.
45
Бледно-голубая точка (Pale Blue Dot). Снимок Земли сделанный с помощью
Вояджера-1 (Voyager-1) с огромного расстояния, примерно, 5,9 миллиардов
километров.
46
Условие космической катастрофы
В гравитационное поле Земли попадает
«пришелец
из
космоса»
(комета).
Приближаясь из бесконечно далекого
расстояния,
она
движется
по
гиперболической орбите.
Комета имеет массу m входит в гравитационное
поле со скоростью V и ее прицельный параметр
(плечо импульса) равен
h
Столкновения с Землей не произойдет, если перигей орбиты окажется на расстоянии,
значительно превосходящем радиус Земли. Определим, какие требования
накладывает это условие на входные параметры кометы.
Движение по гиперболе отвечает положительному значению полной механической
энергии летящего тела W  0 эксцентриситет орбиты равен e  1  W / W0  1
Будем считать начальное состояние кометы настолько удаленным от Земли, что
энергия их гравитационного взаимодействия пренебрежимо мала:
W  K 0  mV02 / 2.
47
В указанных условиях получаем:
r
r1  rp  0
1 e
W
W
h
R3
R3  1  e
r0
 e
R3
r0
 1 e 2
R3
2
 r0

W

1

1



R
W0
 3 
 r0


1


R
 3 
 GM 3m  r0

r0  r0
(mV0 h) 2 2Wh 2
L2
W0


;
  2 
  2  ; r0 
2
2
R3  R3
2 R3  R3
GM 3m
GM 3m
GM 3m


2
 h  2 
 h  GM 3m
GM 3m
W  
;
W    1 ;
R3
R3
 R3 

 R3 
 GM 3m / R3   V 2  2GM 3 / R3   V
VII
2
1 W

V
R
/
h
.


0
0
II
3
2
2
2
 h / R3   1
 h / R3   1
 h / R3 
Катастрофы не произойдет, если комета войдет в гравитационное поле Земли по
орбите с достаточно малым эксцентриситетом и со скоростью, превышающей
вторую космическую скорость Земли:
48
2
Прецессия орбиты спутника при отклонении гравитационного
взаимодействия от закона обратных квадратов.
Полярный радиус Земли меньше ее экваториального радиуса на 21 км .
Отклонение формы источника гравитационного поля от сферически
симметричной приводит нарушению кулоновского вида силы
гравитационного взаимодействия – закона обратных квадратов. Это влечет
качественную деформацию кеплеровых орбит: возникает явление,
называемое прецессией орбит (оскуляцией кеплеровых эллипсов).
Изменение силы гравитационного взаимодействия при малой сферической
асимметрии источника поля
Для сплюснутого тела
b0
, для тела вытянутой формы
b0
49
Прецессия орбиты спутника, вращающегося в экваториальной плоскости
планеты, «сплюснутой» относительно экваториальной плоскости.
Тонкими линиями показаны оскулирующие эллипсы для трех точек
траектории: точки S , A, B.
50