КОМИТЕТ АДМИНИСТРАЦИИ ПЕРВОМАЙСКОГО РАЙОНА ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа» части программы курса по выбору по математике для 9 класса «Исследование квадратного уравнения с параметрами» Выполнили: учащиеся 10 «А» класса Егорова Елена, Трошина Елена, Сердюкова Ольга. Проверила: учитель математики Нагуманова Светлана Петровна. Оценка:____________________ С. Первомайское 2008 г. План: I. Введение II. Основная часть 1. Квадратный трехчлен 2. Теорема Виета 3. Исследование корней квадратного уравнения 4. Решение квадратных уравнений с параметрами lll. Задачи для самостоятельного решения lV. Обоснование актуальности выбранной темы V. Содержание Vl. Список используемой литературы 2 ВВЕДЕНИЕ Если вспомнить некоторые основные уравнения (например, ах 2 вх с 0 ), кх в 0 , то нужно обратить внимание на то, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными существующей литературе или заданными. связаны с Все разночтения толкованием того, в какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных. Например, в уравнениях х а 1 и ах 1 при а0 равенства не выполняются при любых значениях переменной х , а в уравнениях а 1 х2 при а0 х 2 а и их левые части не определены. Есть авторы, допускающие рассмотрение значения а0 во всех приведённых случаях, и есть авторы, исключающие его в двух последних, вводя понятие допустимых значений переменной а . Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговорённому множеству. Решить задачу, содержащую параметр – это, значит, выполнить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при которых задача имеет решение. При этом всегда следует помнить о сохранении равносильности решаемых уравнений с учётом области определения выражений, входящих в эту задачу. 3 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Квадратный трёхчлен Уравнение вида ах 2 вх с 0 , где а, в, с действительные числа, причём а 0 , называют квадратным уравнением. Если а 1 , то квадратное уравнение называют приведённым; если а 1 – то неприведённым. Числа а, в, с носят следующие названия: а - первый коэффициент, в - второй коэффициент, с - свободный член. В зависимости от величины дискриминанта Д: Д= в 2 4ас квадратное уравнение может иметь различное количество корней: если Д>0, то существуют два различных действительных корня трёхчлена, если Д=0, то уравнение имеет два одинаковых корня, если Д<0, то не существует действительных корней уравнения. Корни уравнения ах 2 вх с 0 находят по формуле: х Если в 2к , в в 2 4ас 2а то формула корней принимает вид: к к 2 ас х , а где к в 2 Формула особенно удобна в тех случаях, когда в 2 – целое число, т.е. коэффициент в – чётное число. Графиком квадратичной функции у ах 2 вх с является парабола: если а 0 , то ветви параболы направлены вниз (рис.1), если a 0 , то ветви параболы направлены вверх (рис.2). х х Рис. 1 Рис 2. При этом возможны три случая расположения параболы к оси Ох: 1. Парабола пересекает ось О х (т.е. уравнение ах 2 вх с 0 имеет два различных корня). 2. Парабола имеет вершину на оси О х (т.е. уравнение ах 2 вх с 0 имеет один корень) 4 3. Парабола не пересекает ось О х (т.е. уравнение имеет корней) ах 2 вх с 0 не Теорема Виета Наиболее важной и главной теоремой, помогающей в решении квадратных уравнений, является теорема Виета. Если приведённое квадратное уравнение х 2 вх с 0 имеет действительные корни, то их сумма равна в , а произведение равно с , т.е. х1 х2 в х1 х2 с (1) (сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену). Квадратное уравнение ах 2 вх с 0 имеет корни х1 и х2 . Равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид в с х2 х 0 . а а По теореме Виета в с х1 х2 , х1 х2 а а С помощью этих соотношений решаются многие задачи и, в частности, исследуются знаки корней (или формулируются условия, определяющие знаки корней) квадратного трёхчлена. Выведем ещё некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения х 2 вх с 0 . Найдём сумму квадратов корней: х12 х 22 ( х12 2 х1 х 2 х 22 ) 2 х1 х 2 ( х1 х 2 ) 2 2 х1 х 2 Воспользовавшись формулами (1), получим: (2) х12 х 22 в 2 2с Рассмотрим сумму кубов корней. Имеем: х13 х 23 ( х1 х 2 )( х12 х1 х 2 х12 ) ( х1 х 2 )(( х1 х 2 ) 2 3х1 х 2 ) Воспользовавшись формулами (1) и (2), получим: х13 х 23 в(в 2 3с) Справедлива теорема, обратная теореме Виета. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –в, а произведение равно с, то эти числа являются корнями уравнения х 2 вх с 0 . 5 Исследование корней квадратного уравнения. 1. При решении многих задач требуется знание трёх основных теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой. 2. Пусть f x ax 2 bx c имеет действительные корни x1 и x2 , а x0 - какоенибудь действительное число. Тогда: Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше, чем число х0 ( т. е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0 ), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 1): a0 a>0 x1 b 2a f(x0) x2 x2 x0 x0 b 2a f(x0) Рис.1 при а>0, при а<o, Д 0, в < х0 , 2а f x0 >0. Д 0, в < х0 , 2а f x0 <0 Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число х0, а другой больше числа х0 (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 2): a0 a>0 x0 x1 x2 x1 а) x2 x0 б) Рис.2 6 при а>0, f(x0)<0. при a<0, f(x0)>0. Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3): a0 a>0 x0 x1 b 2 a x2 x0 x1 b 2a а) Рис. 3 при а>0, x2 б) при а<0, Д 0, в >x0, 2а Д 0, f(x0)>0. в 2а >x0, f(x0)<0. 3. Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x0) представляет собой выражение ах0 2 вх0 с. 4. Кроме того, приведём наиболее часто встречающиеся следствия из этих утверждений. Следствие 1 Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А (М<А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно (рис. 4): a0 a>0 М x1 b 2 a x2 М x1 x2 А А а) Рис. 4 б) при а>0, при a<0, Д 0, Д 0, f(M)>0, f(A)>0. f(M)<0, F(A)<0. 7 b 2a Следствие 2. Для того чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (М<A), необходимо и достаточно (рис. 5): a0 a>0 x1 х1 x2 М А а) М Рис.5 x2 А б) при а>0, при а<0, f(M)<0, f(M)>0, f(A)>0. f(A)<0, при этом меньший корень лежит вне отрезка МА . Следствие 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (M<A), необходимо и достаточно (рис. 6): a0 a>0 М x 1А а) при а>0, f(M)>0, f(A)<0. отрезка МА . х1 x2 Рис. 6 x2 б) при а<0, f(M)<0, F(A)>0, при этом больший корень лежит вне Следствие 4. Для того чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А(М<A), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно (рис. 7): 8 a0 a>0 x1 М А а) х1 x2 Рис.7 А x2 б) при а>0, при а<0, f(M)<0, f(M)>0, f(A)<0. f(A)>0. Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение. 9 Решение квадратных уравнений с параметрами. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры - один из труднейших разделов школьной математики. Здесь, кроме использования определённых алгоритмов решения уравнений, приходится думать об удачной классификации. Квадратные и дробно- рациональные уравнения с параметрами – это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им математики. Пример 1. При каких к уравнение ( к 2 ) х 2 4 2к х 3 0 имеет единственное решение? Решение: в условии не сказано, что уравнение – квадратное. 1. Ясно, что надо начинать решение со случая а 0 , т.е. к 2 0 или к 2. 2. Но при к 2 уравнение не имеет решения , так как - 3 0 3. Если а 0 , т.е. к 2 0 или к 2 , то уравнение квадратное: Д= 4 2к 2 12к 2 4к 2 28к 40 Д= к 2 7к 10 . Исходные значения параметра – это корни дискриминанта Д 49 40 9 73 к 2 к 2 или к 5 , но к2 не подходит. Ответ: к 5 Пример 2. При каких значениях параметра а , корни уравнения таковы, что сумма их квадратов равна 7 ? 4 Решение: По теореме Виета: х1 х 2 в а с а х1 х2 3а х1 х 2 10 х 2 3ах а 2 0 х1 х 2 а 2 Возведём в квадрат первое условие: х1 х2 2 3а 2 х12 2 х1 х 2 х 22 9а 2 7 2а 2 9а 2 4 7 7а 2 4 а12 0,5 Ответ: а 0,5 Пример 3. Дано уравнение к 2 5к 3 х 2 3к 1 х 2 0 . Определить к так, чтобы один из корней был вдвое больше другого. Решение: По теореме Виета: х1 х2 1 3к к 5к 3 к 2 5к 3 0 2 Д 25 12 13 2 х1 х 2 2 к 5к 3 к12 5 13 2 2х1 х2 т.к. один из корней вдвое больше другого, то имеют место только положительные корни: 3х1 1 3к к 5к 3 2 2 х12 2 к 5к 3 2 2 х1 х2 х1 1 3к 3 к 5к 3 2 2 1 3к 2 2 2 2 к 5к 3 3 к 5к 3 2 21 3к 2 2 2 2 к 5к 3 9к 5к 3 1 3к 2 1 9 к 2 5к 3 1 6к 9к 2 9к 2 45к 27 39к 26 2 к 3 11 Вернёмся к исходному уравнению и, подставив значение дискриминант: если Д 0, то к соответствует условию задачи. к, найдём Проверка: 4 10 2 3 х 2 1х 2 0 9 3 1 2 х х20 9 х 2 9 х 18 0 Д 81 72 9 93 х 2 х1 6 х2 3 Корни отрицательные, значит кратно не сравниваются решения. Ответ: пустое множество. Пример 4. Даны уравнения 7 р 3х 35 р 2 х5 р оба р2 3 нет и р 3х2 2 х р 9 27 0 . При каких значениях уравнения имеют по одному различному корню? Решение: 1. Решаем второе уравнение: Если р 3 0 , т.е. р 3 , то уравнение обращается в линейное: 2х 3 9 27 0 27 9 х - единственный корень 12 4 Исследуем другое уравнение при 7 3 3х 35 3 2 9 3 р 3 х5 х 5 17 30 единственное решение Значит: при р=-3 оба уравнения имеют по одному различному корню. 2. Если р 3 0 т.е. р 3 , тогда уравнение обращается в квадратное, и количество корней зависит от дискриминанта, а именно, при Д=0 – уравнение имеет один корень. 2 Д 2 р 9 4 * 27 р 3 4 р 2 72 р 324 108 р 324 4 р 2 36 р 0 12 4 р р 9 0 или р 9 при р=0 другое уравнение не имеет смысла, при р=9 другое уравнение имеет корень х=1,5, значит и при р=9 оба уравнения имеют по одному различному корню. Ответ: -3; 9. ро Пример 5. При каких значениях параметра а корни квадратного трёхчлена 2 а х 2 3ах 2а действительны и оба больше, чем 1 ? 2 Решение: f х 2 а х 2 3ах 2а 1. 2 а 0 , т.е. а 2 2. Первый случай: 2-а>0 Второй случай: 2-а<0 х1 > х0 и х2 > х0 Исходя из теоремы 3 о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой, составляем систему неравенств: а. 0 D0 f x 0 в x0 2а 2 а >0 3а 2 42 а 2а 0 2 2 а 1 3а 1 2а >0 2 2 3а >1 22 а 2 a<0 17a2-16a 0 1 1 а >0 2 4 4а 2 1 > 2а 2 Общее решение: a<2 16 а0 17 -2 13 0 1 16 2 17 + 2 а a>-2 0,5 a 2 Ответ: а 16 ;2 . 17 Задачи для самостоятельного решения №1 При каких значениях к уравнение имеет единственное решение? кх 2 х 3 0 Ответ: к=0 или к= 1 . 12 №2 При каких значениях а квадратное уравнение имеет действительные корни? а 1х2 2а 1х а 5 0 Ответ: при 21 а ;1 1; . 20 № 3* Для каких значений а один из корней уравнения меньше 1, а второй – больше 2? Ответ: 2 х 2 2ах 2а 2 4а 3 0 2 a 2. 2 № 4* Для каких значений m уравнение заключённые между –1 и 1? Ответ: 2 <m< 1 . 4х2 2х m 0 имеет корни, 4 № 5* При каких значениях параметра р уравнение 1 р х2 3 рх 4 р 0 имеет хотя бы один корень, причём все корни больше 1 ? Ответ: 16 ;1. 7 14 Обоснование актуальности выбранной темы. Задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах по математике и столь же часто оказываются не по силам абитуриентам. Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в общении с параметрами. Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не освещается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить, знакомые нам, х 2 а, ах 2 вх с 0, sin x a, cos x a, tgx a, ctgx a , школьные в которых уравнения: а, в, с есть не что иное, как параметры. Но нам кажется, что задачам с параметрами, следовало бы уделять больше внимания. Несмотря на то, что часто они нелегко входят представляют в понимание чисто учащихся, математический задачи интерес, с параметрами способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для обработки навыков. Поэтому предлагаем в курс по выбору для предпрофильной подготовки учащихся в 9-х классах включить тему «Исследование квадратного уравнения с параметрами». 15 Содержание План-----------------------------------------------------------------------стр.2 Введение------------------------------------------------------------------стр.3 Основная часть-----------------------------------------------------стр.4-14 Квадратный трёхчлен----------------------------------------------------------стр.4 Теорема Виета--------------------------------------------------------------------стр.5 Исследование корней квадратного уравнения------------------------стр.6-9 Решение квадратных уравнений с параметрами------------------стр.10-13 Задачи для самостоятельного решения------------------------стр.14 Обоснование актуальности выбранной темы----------------стр.15 Содержание ------------------------------------------------------------------ стр16 Список используемой литературы------------------------------стр.17 16 Список используемой литературы. 1. В.С. Крамор. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа». Москва, издательство «Просвещение», 1990 г. 2. В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. «Математика. Справочные материалы». Москва, издательство «Просвещение», 1992 г. 3. В.С. Крамор. «Примеры решения задач с параметрами». Москва, издательство «Просвещение», 1997 г. 17