Математика. Программа вступительного испытания

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И
ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ
ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СМОЛЕНСКИЙ ФИЛИАЛ
Кафедра «Менеджмент»
УТВЕРЖДАЮ
Директор Смоленского филиала РАНХиГС
_________________ И.Ю. Тимофеева
"___"____________2014 г.
ПРОГРАММА
вступительного испытания по направлению
по дисциплине «Математика»
для поступающих на заочную форму по сокращенным программам обучения
Программа утверждена
Ученым Советом
Протокол №___от «
»
___20__г.
ученый секретарь, доцент
__________________ С.А. Асриев
Смоленск 2014
Введение
На вступительном экзамене по математике поступающий должен
показать:
- четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных
программой, умение применять их на практике;
- умение точно и сжато выражать математическую мысль в письменном
изложении;
-
уверенное
владение
математическими
знаниями
и
навыками,
предусмотренными программой, умение применять их при решении задач.
ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ
Абитуриент должен уметь:
Производить арифметические действия над числами, заданными в виде
обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять
данные числа и результаты вычислений.
Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей,
содержащих
переменные,
выражений,
содержащих
степенные,
показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной,
логарифмической и тригонометрических функций.
Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и
неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств
первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности,
относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные,
показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
Использовать геометрические представления при решении алгебраических
2
задач, а методы алгебры и тригонометрии применять при решении
геометрических задач.
Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и
вычитание векторов,
умножение вектора на число) и пользоваться
свойствами этих операций.
Пользоваться понятием производной при исследовании функций на
возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков функций.
ПРОГРАММА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Арифметика, алгебра и начала анализа
• Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель,
кратное. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Целые числа (Z). Рациональные
числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление.Сравнение
рациональных чисел.
• Действительные числа (R), их представление в виде десятичных
дробей. Изображение чисел на прямой линии. Модуль действительного
числа. Его геометрический смысл.
• Числовые
выражения.
Выражения
с
переменными.
Формулы
сокращенного умножения (в том числе для кубов).
• Степень с целым и рациональным показателем. Арифметический
корень.
• Логарифмы. Их свойства. Логарифм произведения, частного, степени.
• Одночлен
и
многочлен.
Многочлен
от
одной
переменной.
Действительные корни многочлена на примере квадратного трехчлена.
• Понятие
функции.
определения,
Возрастание
Способы
задания
функции.
Область
ее
множество значений функции. График функции.
(убывание)
функции,
периодичность,
нечётность. Достаточные условия возрастания
чётность,
(убывания) функции
на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие
3
экстремума
функции
(теорема
экстремума.
Наибольшее
и
Ферма).
наименьшее
Достаточное
значения
условие
функции
на
промежутке.
• Определение
и
основные
свойства
функций:
линейной,
квадратичной у = ах + bх + с, степенной у = ахn, (n Є N), у = к/х,
показательной
у = а х,
а>0,
логарифмической, тригонометрических
функций (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x), арифметического корня
у= √х.
• Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
Формула корней квадратного уравнения. Дискриминант. Разложение
квадратного трёхчлена на линейные множители, теорема Виета.
• Свойства числовых неравенств. Неравенства. Решение неравенств.
Понятие о равносильных неравенствах.
• Системы уравнений и неравенств. Решения системы уравнений,
неравенств. Решение уравнений и неравенств с параметрами.
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула п -го члена и
суммы п первых членов арифметической прогрессии. Формула п го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии.
• Решение уравнений вида: sin х = а (| а |≤1); cos x = a (| а |≤1); tg x = a,
(a Є R); ctg x = a, (a Є R).
• Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того
же
аргумента.
Синус, косинус и тангенс
суммы и разности двух аргументов
(формулы). Тригонометрические функции двойного и половинного
аргумента.
Формулы
приведения.
Преобразование в произведение сумм тригонометрических функций
типа
sin
x
±
sin
y;
cos x ± cos у; tg x ± tg у. Преобразование произведений типа sin x · cos у;
cos x · cos у в суммы. Формула вспомогательного аргумента.
• Производные функций у = sin х, у = cos х, у = tg x, у = аn, y = хп, (п Є Z),
у = ln x.
4
Геометрия
 Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла.
Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг.
 Параллельные прямые.

Примеры
преобразования
фигур,
виды
симметрии.
Преобразование подобия и его свойства.

Векторы. Операции над векторами.

Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.

Треугольник.
треугольника.
Его
медиана,
Соотношения
биссектриса,
между
высота.
сторонами
и
Виды
углами
прямоугольного треугольника.

Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб,
квадрат, трапеция.

Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к
окружности. Дуга окружности. Сектор.

Центральные и вписанные углы.

Формулы
площади:
треугольника,
прямоугольника,
параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла.
Площадь круга и площадь сектора.

Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных
фигур.

Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.

Параллельность прямой и плоскости.

Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

Двугранные
углы.
Линейный
угол
двугранного
угла.
Перпендикулярность двух плоскостей.

Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и
наклонная призмы, пирамиды. Правильная призма и правильная
пирамида. Параллелепипеды и их виды.
5

Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр,
радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.

Формула объема параллелепипеда.

Формулы площади поверхности и объема призмы.

Формулы площади поверхности и объема пирамиды.

Формулы площади поверхности и объема цилиндра.

Формулы площади поверхности и объема конуса.

Формула объема шара.

Формула площади сферы.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ
Алгебра и начала анализа:
• Свойства функции у = kх + b и её график.
• Свойства функции у = k/х и её график.
• Свойства функции у = ах2 + bх + с и её график.
• Свойства корней квадратного трехчлена, его разложение на линейные
множители.
• Свойства числовых неравенств.
• Логарифм произведения, степени, частного.
• Определение и свойства функций у = sin x, у = cos х и их графики.
• Определение и свойства функции у = tg x и её график.
• Определение и свойства функции у = ctg x и её график.
• Решение уравнений вида sin x = а (| а |≤1); cos x = а (| а |≤1); tg x = a,
(a Є R); ctg x = а, (а Є R).
• Формулы приведения.
• Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента.
• Тригонометрические функции двойного аргумента.
• Производная суммы двух функций.
Геометрия
 Свойства равнобедренного треугольника.
6
 Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
 Признаки параллельности прямых.
 Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого
многоугольника.
 Признаки параллелограмма.
 Окружность, описанная около треугольника.
 Окружность, вписанная в треугольник.
 Касательная к окружности и ее свойство.
 Измерение угла, вписанного в окружность.
 Признаки подобия треугольника.
 Теорема Пифагора.
 Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
 Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение
окружности.
 Признак параллельности прямой и плоскости.
 Признак параллельности плоскостей.
 Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
 Перпендикулярность двух плоскостей.
 Теоремы о параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
ТРЕБОВАНИЯ К АБИТУРИЕНТУ
На экзамене по математике поступающий должен продемонстрировать
умение:
- выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми
выражениями; преобразовывать буквенные выражения; производить операции
над векторами (сложение, умножение на число, скалярное произведение);
переводить одни единицы измерения в другие;
- сравнивать числа и находить их приближенные значения (без
калькулятора); проводить операции над тождествами и неравенствами для
буквенных выражений;
7
- решать уравнения, неравенства, системы (в том числе е параметрами) и
исследовать их решения;
- исследовать функции; строить графики функций и множества точек на
координатной плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;
- пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их графиков,
свойствами
арифметической и геометрической прогрессий;
- пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени,
корни, логарифмические, тригонометрические выражения, величины углов,
длины, площади, объемы;
- составлять уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя
из условий задачи;
- излагать и оформлять решение логически
последовательно, с необходимыми пояснениями.
правильно,
полно
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА
ДЛЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ (ПИСЬМЕННО)
Направление бакалавриата
080200.62 «Менеджмент»
080100.62 «Экономика»
081100.62 «Государственное муниципальное управление»
(очная форма обучения на базе среднего (полного) общего образования)
Вариант №1.
1. Решить уравнение:
x 2  3x  5  x 2  3x  7 .
2. Упростить выражение:
4
1 
 2
2



  9  6a  a  .
2
9  3a 
 9  3a 9  a
3

;2  .
 2

3. Вычислить cos  , sin  , если ctg  ,   
3
4
4. Решить систему неравенств
8
и
 3x  1 13  x 7 x 11x  3
,
 5  2  3 
6

 2 x  7  3x  5  8  10  3x .
 3
7
5
5. Определите общий объем инвестиций в социальный объект, если 45%
инвестиций составляют вложения частного инвестора, государственные
инвестиции составляют 60% от вложений частного сектора, а остальные
42 тыс. руб. вложены муниципальным инвестором.
Вариант №2.
1. Решить неравенство:
3
 
4
6 x 10 x 2

27
.
64
2. Упростить выражение:
tg 2 1  ctg 2

 tg 2 .
2
ctg

1  tg 
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  x 3  3x 2  3x  2
на отрезке  2;2.
4. Решить систему уравнений:
 х  3 y  2,
 2
 x  2 xy  7.
1. Вкладчик первоначально снял со счета в банке 10% вложения. Вторично
он снял 45% оставшейся суммы и еще 20000 рублей. Определить объем
исходного вклада, если после проведенных операций на счете осталось
12% вложенной исходной суммы.
Вариант №3.
2. Найти область определения функции:
y   x 2  x  2. .
3. Упростить выражение:
a  2  a2  4
a  2  a2  4

a  2  a2  4
a  2  a2  4
3

;2 
 2

4. Вычислить sin 2 , если sin    ,   
3
5
5. Найти производную функции y 
9
15
x  3 x  10
2
..
6. При продаже товара за 1386 тыс. руб. получено 10% прибыли.
Определить себестоимость товара.
Вариант №4.
1. Решить уравнение:
lg x  6  2 
1
lg 2 x  3  lg 25 .
2
2. Упростить выражение:
1
a2
1
1 3
a
1
 a2  a4 1
. .
 1 
2a  1 


3. Вычислить cos  , sin  , если tg   ,    ;   .
4
2 
3
4. Решить систему неравенств
x
13x  12
 6 x  4,

 5
2

 3x  4  1 x  3  x .
 9
4
2

5. Сбербанк начисляет в конце года 10% к сумме, находящейся на счету в
начале года. Каким станет вклад через 5 лет, если первоначальный взнос
составил 10000 рублей?
Вариант № 5.
1. Решить уравнение:
 1

cos 2 x    .
3 2

2. Упростить выражение:
1
a 2  b 2  a  b 
1

..
  2
1
1 
a  b  ab 
a  b2
3. Вычислить 361log 5 .
4. Решить систему уравнений
6
 x y 13
   ,
y x 6
 x  y  5.

5. Определите общий объем инвестиций в социальный объект, если 35%
инвестиций составляют вложения частного инвестора, государственные
10
инвестиции составляют 40% от вложений частного сектора, а остальные
48 тыс. руб. вложены муниципальным инвестором.
Вариант №6.
1. Решить неравенство:
log 1 1  x   1 .
2
2. Упростить выражение:
sin 
sin 

..
cos   sin  cos   sin 
3. Вычислить log 2 8 .
4. Решить систему уравнений:
1
 1
 x  y  x  y  2,


 3  4  7.
 x  y x  y
5. Сбербанк начисляет в конце года 15% к сумме, находящейся на счету в
начале года. Каким станет вклад через 3 года, если первоначальный
взнос составил 7000 рублей?
Вариант №7.
1. Найти область определения функции:
y  x 2  x  2.
2. Решить систему уравнений:
 x  y 2  7,
 2
 xy  12.
3

;2 
 2

3. Вычислить sin 2 , если cos   ,   
3
5
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  3x 4  4 x 3 на
отрезке  2;1 .
5. Вкладчик первоначально снял со счета в банке 20% вложения.
Вторично он снял 60% оставшейся суммы и еще 14000 рублей.
Определить объем исходного вклада, если после проведенных операций
на счете осталось 22% вложенной исходной суммы.
Вариант №8.
1. Решить уравнение:
11
4  x  5  x  3.
2. Упростить выражение:
sin   tg 1  cos 

.
cos   ctg 1  sin 
3. Вычислить log
2
1
.
4
4. Найти производную функции
x2 1
y 2
x 1
5. Сбербанк начисляет в конце года 20% к сумме, находящейся на счету в
начале года. Каким станет вклад через 2 года, если первоначальный
взнос составил 25000 рублей?
Основная литература
Учебники по математике для средней школы, 7-11 классы.
Дополнительная литература
1. Кремер Н.Ш., Константинова О.Г., Фридман М.Н. Математика для
поступающих в экономические вузы: Учеб. Пособие для вузов/ Под ред.
Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999.
2. 2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы / В.К.
Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави. – М.:
ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и
Образование», 2003..
3. Рывкин А.А., Ваховский Е.В. Сборник задач по математике с решениями
для поступающих в вузы – М.: Мир и образование, 2003.
4. Сборник задач по математике для поступающих в вузы /. Под ред. М.И.
Сканави. – М.: Мир и образование, 2009.
5. Шарыгин И.Ф. Сборник задач по математике с решениями. М.: АСТ, 2001.
6. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика, справочник для поступающих в
вузы. – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001.
7. Пособие по математике для поступающих в вузы. / Под ред. Г.Н.
Яковлева.–М.: Наука, 1988.
12