Отбор циклов с периодом -простым числом в модели

Отбор циклов с периодом простым числом в модели
«хищник-жертва» с
использованием методов
компьютерного моделирования.
Работа выполнена студентами кафедры зоологии
беспозвоночных биологического факультета МГУ
Неклюдовым Б.В.
И
Горелышевой Д.И.
Объект исследования
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Phylum: Arthropoda
Class: Insecta
Order: Hemiptera
Suborder: Auchenorrhyncha
Infraorder: Cicadomorpha
Superfamily: Cicadoidea
Family: Cicadidae
Subfamily: Cicadettinae
Genus: Magicicada
Введение
Гипотезы происхождения жизненного цикла
• Гипотеза хищника
Длинные жизненные
циклы с периодом,
равным простому числу,
значительно снижают
частоту встреч цикады с
хищником
• Генетическая гипотеза
Длительные жизненные
циклы, с периодом
равным простому числу,
значительно снижают
частоту встреч разных
популяций цикад между
собой, а значит и частоту
скрещиваний
Введение
Цели
1. Подтвердить гипотезу хищника, пользуясь
методами математического
моделирования, несмотря на нехватку
биологических данных
2. Показать, что эту биологическую модель
можно использовать в теории чисел для
получения простых чисел любой величины
Выводы
• По результатам, полученным исследованием
моделей от времени, можно сделать вывод,
что существует общая предрасположенность в
таком типе динамических процессов
склоняться к простым числам.
• Несмотря на то, что существуют более простые
традиционные методы обнаружения простых
чисел, биологические модели так же можно
использовать для этих целей.
Анализ статьи при помощи методов
компьютерного моделирования
• Цели и задачи:
• Промоделировать
систему,
представленную в
статье, при помощи
языка
программирования
QBasic
• Проверить гипотезу
конкуренции
• Сравнить результаты
статьи с собственными
результатами
Гипотеза конкуренции:
При конкуренции между
двумя видами
наиболее выгодным
периодом жизненного
цикла оказывается
цифра равная простому
числу, т.к. снижается
конкуренция за
ресурсы.
Результаты проверки первичной
19
модели
17
• В статье утверждается, что если жизненный
цикл жертвы выходит на простое число, то
15
он закрепляется и больше15 не меняется.
Однако, например, для пары X=2, Y=19
правило нарушается, и жизненный цикл
мутирует до Y=15
5
5
3
2
4
3
Результаты проверки первичной
модели
• Более того можно отметить интересные
закономерности в изменении жизненных
циклов вслед друг за другом, в результате
которых получаются хаотические
колебания.
Обсуждение
• При X=2 переходы между числами Y ( с 19
или 17 на 15) можно объяснить так:
o Почему не простое число?
В данной системе главным критерием для Y
при X=2 является нечетность.
Обсуждение
• Почему с 19 на 15?
• При подсчете вручную 15 действительно
оказывается выгоднее 19:
• Ny=50\19=3; Ng=50\15=4
• ∑fy(t)=-2+1=-1; ∑fg(t)=-2+1=-1
• Fy=∑fy(t)/Ny =-1/3; Fg =∑fg(t)/Ng =-1/4
• Fy < Fg -> Y=G=15 на следующем шаге
Обсуждение
• Колебания на графике демонстрируют нам, что при
данных ограничениях система не может прийти в
равновесие. Жертва постоянно мутирует вслед за
хищником, и реже происходит наоборот.
Доработка
На основе этих пунктов дорабатываем
программу
• Вносим более жесткие ограничения:
Вместо
2 ≤ X ≤ L/2
Устанавливаем
2<X ≤ L/2
N=50 для
L=89 конечной
L=22
-> X=3;
X=4; Y=17
Y=89модели
Результаты
• Действительно, мы приходим к простым
числам для периода жизненного цикла
жертвы
Результаты
Иногда выпадают составные числа.
Очень редко происходит скачок с простых
чисел на составные и возврат.
Обсуждение результатов
• После доработки программа стала работать лучше.
• Система приходит к простым числам, но существуют
некоторые пары чисел, где период жизненного
цикла жертвы не соответствует простому числу. На
данном количестве шагов они имеют схожие
свойства с простыми числами или же являются
взаимно простыми. Это чаще случается при
больших L и малом количестве шагов. Напротив,
при малых L и большом числе шагов вероятность
прихода к простому числу выше
Пары чисел, обладающие
свойствами простых
•
•
•
•
•
X=4, Y=58, G=63
Ny=50\58=1; Ng=50\63=1
∑fy(t)=-3+2=-1; ∑fg(t)=-2+3=1
Fy=∑fy(t)/Ny =-1/1=-1; Fg =∑fg(t)/Ng =1/1=1
Fy < Fg -> Y=G=63 на следующем шаге
• Таким образом, пара чисел 4 и 63 обладает
свойствами простых чисел, то есть имеет
наименьшее общее кратное, равное X*Y=252
Модель конкуренции
Для преобразования исходной модели
необходимо было изменить моментальную
функцию успешности и ограничения на
значения жизненного цикла.
Теперь X и Y – две(-а) популяции(вида) цикад
Результаты
• Период жизненного цикла одной
популяции выпадает на простое число, а
второй – максимально приблизиться к
периоду первой.
Результаты
• Иногда встречаются, как и в модели хищник
жертва, пары составных чисел
Результаты
• Был получен график, соответствующий
реальным жизненным циклам двух видов
цикад
Обсуждение результатов
• 2 стратегии:
• Первая популяция стремится к простому
числу
• Вторая стремится приобрести как можно
больший период жизненного цикла, но
при этом не отходя далеко от периода ж/ц
первой популяции. Но если выпадает
простое число, может оставаться и на нем.
Обсуждение результатов
• Выпадение пар , в которых нет простых
чисел объясняется так же, как и в модели
хищник-жертва.
• Выпадение реальных периодов жизненных
циклов цикад при биологическом
ограничении L=22 в модели конкуренции
играет в пользу этой гипотезы.
Сравнение материалов статьи с
полученными данными.
• Ограничение на период жизненного цикла
хищника, указанное в статье, оказалось не
совсем верным.
• В нашей программе не получились
представленные в статье результаты (17 и 4)
• Данная программа не всегда генерирует
простые числа.
Выводы
• В данных системах имеется тенденция
склоняться к простым числам или же к
числам, имеющим свойства простых.
• Эти модели нельзя использовать для
получения простых чисел.
• Гипотеза конкуренции значительно лучше
гипотезы хищник-жертва, что подтверждается
полученными в программе числами,
соответствующими реальным периодам
жизненных циклов цикад.
• Возможно, что при объединении модели
конкуренции и хищника, эти программы
можно будет использовать для получения
простых чисел, поэтому требуются
дальнейшие исследования
• Так же следует провести статистический
анализ для проверки достоверности
полученных нами данных
Спасибо за внимание
Приложения
Оригинальная статья
Prime Number Selection of Cycles in a
Predator-Prey Model
ERIC GOLES,† OLIVER SCHULZ,* AND MARIO MARKUS*
†Center for Mathematical Modelling of Complex Systems, FCFM,
University of Chile, Casilla 170-3,
Santiago, Chile
*Max-Planck-Institut fu¨ r molekulare Physiologie, Postfach
500247, D-44202 Dortmund, Germany
Received September 14, 2000; revised January 30, 2001;
accepted January 30, 2001
Симуляция процесса во времени
• X – период цикла хищника-резидента,
• Q– период цикла хищника-мутанта при Y =
const
• Y – период цикла жертвы-резидента,
• G – период цикла жертвы-мутанта при X =
const
Выставляем ограничения
• Ограничения на
значения периодов X и
Y
• 2 ≤ X ≤ L/2
• L/2 + 2 ≤ Y ≤ L
• L выбирается исходя из
условий задачи
Рассмотрим моментальную
функцию успешности f(t)
fy(t):
 -1 – появление и встреча хищника;
 0 – нет появления;
 +1 – появление без хищника
fx(t):
 +1 – появление и встреча жертвы;
 0 – нет появления;
 -1 – появление без жертвы
Рассмотрим суммарную функцию
успешности
• Nx = N\X – целое число поколений хищника-резидента
за N лет; Nq=N\Q – для мутанта
• Ny = N\Y – целое число поколений жертвы-резидента
за N лет; Ng=N\G – для мутанта
•
•
•
•
Fy = ∑fy(t)/Ny при t=[0;XY];
Fg = ∑fg(t)/Ng при t=[0;XG];
Fx = ∑fx(t)/Nx при t=[0;XY];
Fq = ∑fq(t)/Nq при t=[0;QY];
• Fg > Fy –> Y=G; Fq > Fx –> X=Q
Рассмотрим вычисления на
конкретном примере:
На данном шаге
моделирования:
Условия:
• N=50 лет
• X=4; Q=5
• Y=10; G=17
•
•
•
•
0
Для Жертвы:
Ny=50\10=5
Ng=50\17=2
∑fy(t)=-3+2=-1
10
• ∑fg(t)=-2+3=1
0
17
- встреча X и Y
20
34
30
40
51
68
- встреча X и G
Рассмотрим вычисления на
конкретном примере:
На данном шаге
моделирования:
Условия:
• N=50 лет
• X=4; Q=5
• Y=10; G=17
0
0
•
•
•
•
4
Для Хищиника:
Nx=50\4=12
Nq=50\5=10
∑fx(t)=3-8=-5 - встреча X и Y
8
12 16 20 24 28 32 36 40
• ∑fq(t)=5-6=-1
5
- встреча Q и Y
10 15 20 25 30 35 40 45 50
Рассмотрим вычисления на
конкретном примере:
• Для Хищника
• Для Жертвы
• Fx =∑fx(t)/Nx =-5/12=-0,417 • Fy=∑fy(t)/Ny =-1/5=-0,2
• Fq =∑fq(t)/Nq =-1/10=-0,1 • Fg =∑fg(t)/Ng =1/2=0,5
• Fx < Fq -> X=Q=5 на
следующем шаге
• Fy < Fg -> Y=G=17 на
следующем шаге
Симуляция процесса во времени
• На рисунке 2а –
биологическая
модель, L = 22, период
цикла Y = 17 – простое
число
• На рисунке 2b – чисто
математическая
модель, L = 2,2 * 109,
период цикла Y
замыкается на числе
Эйлера
Модель конкуренции
f(t):
 -1 – появление и встреча;
 0 – нет появления;
 +1 – появление без встречи
Ограничения на значения жизненного цикла
2<X≤L
2<Y≤L