pr-4-grafy-252732fa200666

ГРАФЫ. ДЕРЕВЬЯ.
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Краснощёкова Светлана Викторовна,
ст. методист ХК ИРО
Повторение
Задача. В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта – коверсамолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний –
одна, а из всех остальных городов – по 20. Докажите, что из столицы
можно долететь в Дальний (возможно с пересадкой).
Решение: 1. Построим граф, в качестве вершин графа – города
государства. 2. Необходимо доказать, что столица и город Дальний
находятся в одном компоненте связности графа.
3. Предположим противное: граф не связный, город Д. и С.
находятся в разных компонентах связности.
4. Рассмотрим компоненту связности, содержащую столицу. Тогда в
этой компоненте связности из одной вершины (столицы) выходит 21
ребро, а из остальных – по 20 ребер. Таким образом в этом графе
(компоненте связности) ровно одна нечетная вершина.
Противоречие.
ИЗОМОРФИЗМ
ИЗОМОРФИЗМ
Изоморфны ли графы в парах
Решение под буквой А
Изоморфны ли графы в парах
ЦИКЛ
Циклом называется замкнутый путь, не
проходящий дважды через одну и ту же вершину
На рис. а: 1-2-3-4-1 и 5-6-7-5
На рис. б: 1-5-6-7-1, 1-2-3-4-5-1, 1-2-3-4-5-6-7-1
Задача 1
В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую
систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в
каждый, минуя не более одного промежуточного города, и
чтобы из каждого города выходило не более 5 дорог. Докажите,
что это возможно.
Разновидности графов





Связный
Дерево
Плоский
Планарный
Ориентированный
ДЕРЕВЬЯ
Деревом называется связный граф, не
имеющий циклов.
ДЕРЕВЬЯ
Дерево – это граф, в котором любые две
вершины соединены простым путем (простой
путь – путь, в котором никакое ребро не
встречается дважды).
Вершина, из которой выходит ровно одно
ребро, называется висячей.
Лемма. В дереве есть вершина, из которой
выходит ровно одно ребро.
ДЕРЕВЬЯ
Задача 2. В стране Древляндия 101 город, и некоторые из них
соендинены дорогами. При этом любые два города соединяет
ровно один путь. Сколько в этой стране дорог?
Решение:
1. Граф Древляндии – дерево с висячей вершиной.
2. Удалим эту вершину вместе с ее ребром. Осталось дерево.
3. Удаляем очередную висячую вершину вместе с ее ребром.
4. На 100 шаге получили граф, состоящий из одной вершины.
5. Вывод: удалено 100 ребер – сто дорог.
ДЕРЕВЬЯ
Теорема. В дереве число вершин на единицу
больше числа ребер.
Верно и обратное утверждение.
ДЕРЕВЬЯ
Задача 3. Волейбольная сетка имеет вид
прямоугольника размером 50×600 клеток. Какое
наибольшее число веревочек можно перерезать
так, чтобы сетка не распалась на куски?
ДЕРЕВЬЯ
Задача 3. Волейбольная сетка имеет вид
прямоугольника размером 50×600 клеток. Какое
наибольшее число веревочек можно перерезать
так, чтобы сетка не распалась на куски?
Решение.
1. Волейбольная сетка – граф, вершины – узлы
сетки, ребра – веревочки.
2. Искомый граф – дерево.
ДЕРЕВЬЯ
Задача 3. Волейбольная сетка имеет вид
прямоугольника размером 50×600 клеток. Какое
наибольшее число веревочек можно перерезать
так, чтобы сетка не распалась на куски?
Решение.
3. Посчитаем число ребер дерева:
51*601=30651 – количество вершин
30651-1=30650 – количество ребер
4. Начальное количество ребер:
601*50+600*51=60650
5. Ответ: 60650-30650=30000
ДЕРЕВЬЯ
Задача 4. В некоторой стране 30 городов, при чем
каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее
число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из
каждого города можно было проехать в каждый?
Задача 5. Докажите, что в любом связном графе можно
удалить вершину вместе со всеми выходящими из нее
ребрами так, чтобы он остался связным.
Задача 6. В стране 100 городов, некоторые из которых
соединены авиалиниями. Известно, что от любого
города можно долететь до любого другого (возможно , с
пересадками). Докажите, что можно побывать в каждом
городе, совершив не более 198 перелетов.
ЭЙЛЕРОВЫ ГРАФЫ
Задача 7. Можно ли нарисовать граф (см. рис.)
не отрывая карандаш от бумаги и проводя
каждое ребро ровно один раз?
ЭЙЛЕРОВЫ ГРАФЫ
Граф, который можно нарисовать, не отрывая
карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно
один раз, должен иметь не более двух нечетных
вершин.
Задача 8 (кенигсбергские мосты). Схема мостов
города Кенигсберга изображена на рисунке. Можно
ли совершить прогулку, пройдя по каждому мосту
ровно один раз?
ПЛОСКИЙ ГРАФ
Граф, который можно нарисовать так, чтобы его
ребра не пересекались (нигде, кроме вершины),
называется плоским.
А)
В)
С)
ПЛОСКИЙ ГРАФ
Заметим, что правильно нарисованный плоский
граф разбивает плоскость на куски.
Обозначим:
F – число таких кусков плоскости (учитывая внешний кусок
плоскости)
V – число вершин графа
E – число ребер графа
Пример:
V=4, E=6, F=4
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Теорема (Эйлера). Для правильно нарисованного
связного плоского графа имеет место равенство
V – E + F = 2.
Равенство V – E + F = 2 называется формулой
Эйлера
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Задача 9. В стране Озерная 7 озер, соединенных
между собой 10 каналами, при чем от любого
озера можно доплыть до любого другого.
Сколько в этой стране островов?
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Задача 10. В квадрате отметили 20 точек и соединили
их непересекающимися отрезками друг с другом и с
вершинами квадрата так, что квадрат разбился на
треугольники. Сколько получилось треугольников?
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Задача 10. В квадрате отметили 20 точек и соединили
их непересекающимися отрезками друг с другом и с
вершинами квадрата так, что квадрат разбился на
треугольники. Сколько получилось треугольников?
Решение.
1. Отмеченные точки и вершины квадрата – вершины,
отрезки и стороны квадрата – ребра.
2. Посчитаем для каждого куска, на которые этот граф
разбивает плоскость, посчитаем число
ограничивающих ребер.
3. Просуммируем полученное число ребер (получим
удвоенное количество).
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Задача 10. В квадрате отметили 20 точек и соединили
их непересекающимися отрезками друг с другом и с
вершинами квадрата так, что квадрат разбился на
треугольники. Сколько получилось треугольников?
Решение.
4. Т.к. (F-1) – кусков треугольников, 1 кусок
четырехугольник, то количество ребер
3(F – 1) + 4 =2E или E = 3(F – 1) + 2
5. Число вершин 24, тогда
6. Ответ: F = 43, треугольников 42.
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Следствие 1. Для плоского связного графа
справедливо неравенство
E ≤ 3V – 6
Доказательство основано на том, что 2E ≥ 3F.
Следствие 2. Для любого плоского графа (в том числе и
несвязного) справедливо неравенство
E ≤ 3V – 6
Требуемое утверждение получится сложением неравенств для
компонент связности
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Задача 11. Можно ли построить три дома, вырыть
три колодца и соединить тропинками каждый дом
с каждым колодцем так, чтобы тропинки не
пересекались?
Подсказка: Для графа этой задачи неравенство 2E≥3F можно
усилить: т.к. в задаче каждый кусок должен быть ограничен
по меньшей мере 4 ребрами, то справедливо E ≥ 2F (см.
задачу 10)
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Задача 12. Докажите, что в плоском графе есть
вершина, степень которой не превосходит 5.
Задача 13. Каждое ребро полного графа с 11
вершинами покрашено в один из двух цветов:
красный или синий. Докажите, что либо
«красный», либо «синий» граф не является
плоским.
ЗАВЕРШЕНИЕ
Задача 14. В стране несколько городов, некоторые пары
городов соединены беспосадочными рейсами одной
из N авиакомпаний, причем из каждого города есть ровно по
одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из
любого города можно долететь до любого другого (возможно, с
пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт N-1 рейс,
но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса.
Докажите, что по-прежнему из любого города можно долететь
до любого другого.
ЗАВЕРШЕНИЕ
Решение:
1. Рассмотрим некоторый путь, соединяющий некоторые два города
(возможно с закрытыми после кризиса рейсами). Покажем, что в этом пути
любой закрытый рейс можно заменить последовательностью незакрытых.
2. Пронумеруем авиакомпании числами от 1 до N . В одной из
авиакомпаний сохранились все рейсы: предположим, что в первой. Тогда в
любой другой авиакомпании закрыли по одному рейсу.
3. Рейсы первой и второй авиакомпаний: из каждого города выходит по
одному рейсу этих авиакомпаний. Следовательно, все города разбиваются
на циклы.
4. В одном из этих циклов закрыли один рейс. Очевидно, можно пролететь
остальными рейсами этого цикла, следовательно, мы можем обойти любой
закрытый рейс.
5. Отметим, что мы при этом не используем рейсы других авиакомпаний,
следовательно, аналогично можно обойтись без остальных закрытых
рейсов.