Делимость и остатки. Принцип Дирихле для остатков при делении.

31. Принцип Дирихле для остатков.
Принцип Дирихле для остатков формулируется следующим образом:
Роль кроликов могут играть остатки при делении на фиксированное число p,
при этом роль клеток играют числа 1, 2, 3, …, р1. Тогда если дано р1
натуральное число, все они не делятся на р и разность любых двух из них не
делится на р, то любое натуральное число от 1 до р1 является остатком при
делении на р одного из данных чисел.
Задачи см.[4], [19], [26], [10], [34],[6, с.8-9] и др. Литература
Задача 1. Имеются п целых чисел. Доказать, что среди них найдутся несколько
(или, быть может , одно) сумма которых делится на п.
Доказательство. Пусть а1, а2, а3,…, ап данные числа. Составим п сумм:
а1,
а1+ а2,
а1+ а2+ а3,
···········
а1+а2+а3+а4+…+ ап.
Возможны варианты: 1) одна из этих сумм делится на п, т.е. является искомой;
2) ни одна из этих сумм не делится на п, тогда по принципу Дирихле
существуют суммы с одинаковым остатком, т.к. сумм п, а остатков от деления
на число п, может быть только п1.
Разность этих сумм будет делиться на п:
(а1+ а2+ а3+…+ аk+ аk+1+…+ аm)(а1+ а2+ а3+…+ аk)= аk+1+…+ аm .
и тоже представляет собой одно из чисел данных в задаче или сумму
нескольких из них, стоящих рядом.
Задача 2. Даны 1999 натуральных числа . Доказать, что из них можно выделить
три числа так, чтобы а(bc) делилось на 1999.
Решение
Задача 3. Пусть р  простое число. Доказать, что для любого целого а разность
ар а делится на р (малая теорема Ферма).
Доказательство. Утверждение очевидно, если а делится на р. Если же это не
так, то каждое из р1 чисел а, 2а,…,( р1)а ("зайцев") дает при
делении на р ненулевой остаток:
а=k1 p+r1,
2a= k2 p+r2
(*)
············
( р1)а= kp1 p+rp1
Если число различных встречающихся здесь остатков (клеток) меньше р1, то
среди них найдутся по крайней мере два одинаковых  принцип Дирихле  (в
клетке по крайней мере два зайца), но это не возможно, т.к. при rn=rm число (
nm)а=(knkm)p делится на р, что противоречиво, ибо |nm|a<p и а взаимно
просты с р. Значит, все остатки между собой различны и образуют перестановку
чисел 1, 2, …, р1. Перемножая все равенства (*) получаем
( р1)!·ар1=N·p+r1 r2 r3 …rp1 = N·p+( р1)!
 ( р1)!(ар11) делится на р, а тогда ар11 и ара делятся на р.
Задача 4. Докажите, что из любых 12 натуральных чисел можно выбрать два,
разность которых делится на 11.
Решение
Задача 5. В строку выписано 5 натуральных чисел:а1, а2, а3, а4, а5,. Докажите,
что-либо одно из них делится на 5, либо сумма нескольких рядом
стоящих чисел делится на 5.
Решение
Задача 6. Докажите, что из любых 52 натуральных чисел можно выбрать два
числа так, чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 100.
Решение
Задача 7. Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть
число, которое делится на 1987.
Решение
Содержание