Операции с множествами Алгебра множеств Пример Примеры

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 1
Множества, числа, отображения
11 сентября 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Операции с множествами
П.1 Операции над множествами.
Сложение. ( объединение) A  B  A  B   x  A  B : x  A или x  B
Умножение. ( пересечение) A  B  A B   x  A  B : x  A и x  B
m  an , n  N
Алгебра множеств
Разность множеств : A \ B  A  B  x  A \ B : x  A и x  B
Симметрическая разность множеств :
AB  ( A  B )  ( A  B )  ( A \ B)  ( B \ A)
Отрицание множеств :


A  x A: x A
Пример
Пример 1 A - множество студентов, сдавших физику и математику
на оценку 4 или 5;
В - множество студентов с рыжими волосами;
С - множество студентов занимающихся спортом.
Какие студенты попадают в множество ( AB)  C ?
Это либо нерыжие хорошисты не занимающиеся спортом,
либо рыжие троечники не занимающиеся спортом.
Примеры формул алгебре множеств
В алгебре множеств возможно написание утверждений
в виде формул: 1. A  B  A  B
2. A  B  A  B
 x  A,  x  A,
Док. x  A  B  x  A  B  

 xA B
 x  B
 x  B
 x  A,  x  A,
x A B  

 x  A B  x A B
 xB
 x  B
Вещественные числа
1. Аксиомы сложения ( операция определена x, y  R)
1.1. Существование нуля:   R , для которого
x      x  x, x  R
1.2. Существование противоположного элемента:
x  R ( x) : x  ( x)  
1.3. Правило раскрытия скобок: ( x  y )  z  x  ( y  z ), x, y, z  R
1.4. Коммутативность: x  y  y  x, x, y  R
2. Аксиомы умножения ( операция определена x, y  R)
2.1. Существование единицы: 1 R , для которого
x 1  1 x  x, x  R
2.2. Существование обратного элемента:
x    x 1 : x  x 1  x 1  x  1
2.3. Правило раскрытия скобок: ( x  y )  z  x  ( y  z ), x, y, z  R
2.4. Коммутативность: x  y  y  x, x, y  R
Аксиомы вещественных чисел
3. Аксиома сложения и умножения: ( x  y )  z  x  z  y  z , x, y, z  R
4. Аксиомы порядка:
4.1. x  x
4.2. Если x  y и y  x, то x  y
4.3. Если x  y и y  z , то x  z
4.4. Если x  y, то x  z  y  z , z  R
4.5. Если   x,   y, то   x  y
5. Аксиома полноты: Пусть X, Y и Z подмножества R такие, что
Y  X и Z  X , причем y  Y и z  Z справедливо y  z. Тогда
a  X , для которого y  a  z , y  Y , z  Z
Следствия из аксиом
Следствие 1. Единственность нуля.
Док. Пусть нуля два 1 и  2 . Тогда 1  1   2   2  1   2
Следствие 2.  ( x)  x
Док.  ( x)    (( x))  x  ( x)  (( x))  x    x
Следствие 3.   x   , x  R
Док. x  x 1  x  1     x  x    x    x    x  
Следствие 4. (1)  (1)  1
Док.   1  ( 1)   1  ( 1)   1 1  ( 1) 1  1  ( 1)  ( 1)  (1) 
 1  (1)  (1)  (1)   1  (1)  (1)   1  (1)  (1)  1
Точная верхняя, нижняя грань
Опр. Числовое множество X называется ограниченным сверху, если
существует число M, для которого x  M , x  X .
Опр. Числовое множество X называется ограниченным снизу, если
существует число m, для которого m  x, x  X .
Опр. Число M называется точной верхней гранью множества X, если
1) x  X  x  M , 2)  0 x  X : x  M  
Обозначение: M=supX
Опр. Число m называется точной нижней гранью множества X, если
1) x  X  m  x, 2)  0 x  X : x  m  
Обозначение: m  infX
Теоремы о sup и inf
Теорема. Числовое множество имеет единственный sup и inf.
Док. Пусть их два: M1 и M 2 , M1  M 2 . Тогда для  =  M 2  M 1  / 2
M1  M 2
 M 1. Последнее противоречит
2
условию, что M1  верхняя грань.
существует x  X : x  M 2   
Теорема. Всякое ограниченное сверху числовое множество X имеет
точную верхнюю грань.
Док. Пусть Y- множество верхних граней для X. Оно не пусто. Элементы
этих множеств связаны неравенством: x  y. По аксиоме 5 существует
M  R , для которого x  X  x  M  y. Число y=M -   Y, т.е.
существует x  X, для которого x  M -  .
Лемма о вложенных отрезках
Лемма. Если последовательность отрезков  an ; bn  вложенных друг
в друга, т.е.n  an ; bn    an 1; bn 1  , то существует число c  R, для
которого с   an ; bn  ,n
Док. Y- множество левых концов отрезков, Z- множество
правых концов. По аксиоме 5 о полноте существует c  R:
a n  c  bm для любых n и m. В частности при m=n.
Стягивающиеся отрезки
Опр. Последовательность вложенных отрезков называется
стягивающейся, если длины отрезков стремятся к нулю.
Теорема. Если последовательность вложенных отрезков стягивающаяся,
то существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Док. Пусть таких точек две C1 и C 2 . Тогда b n  an  C1  C2 и длина
отрезков не стремится к нулю.
Отображения множеств
X  D f  область определения отображения f
Совокупность y  Y: x  X, таких, что y=f(x) обозначается Imf или
Yf - область значений отображения.
y - образ x при отображении f;
x - прообраз y при отображении f.
Инъективность,суръективность,биективность
Отображение инъективно, если каждый y  Y f имеет единственный
прообраз,т.е. из равенства f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 .
Отображение суръективно, если Y=Y f , т.е. каждый y  Y имеет прообраз.
Отображение биективно, если оно инъективно и суръективно.
Биективное отображение осуществляет взаимно однозначное
соответствие между множествами X и Y.
Множества, связанные биекцией, называют равномощными.
Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называются
счетными.
Биективное отображение имеет обратное.
Счетность Q
m
Опр. Числа вида  Q, m, n  Z , n  0 называются рациональными.
n
m1 m2
Два рациональных числа
и
равны, если m1n2  m2 n1
n1
n2
Теорема. Множество Q  счетное.
Несчетность отрезка
Теорема. Множество вещественных чисел на отрезке  0;1 несчетное.
Док. Предположим противное: все числа на отрезке можно
переномеровать  0;1   x1 , x2 ,..., xn ,... .
 1  1 2   2 
Разобьем отрезок  0;1  0;    ;    ;1 . Выберем тот отрезок,
 3 3 3   3 
который не содержит x1. Разобьем его на три отрезка и выберем тот,
который не содержит x2 и т.д. Построенная система вложенных отрезков
имеет общую точку x   0;1 и не совпадающую ни с одним xn .
Примеры отображений
  
Пример. X    ;  , Y   1;1 , f ( x)  sin x  биекция,
 2 2
обратное отображение y  arcsin x
Пример. X   1;1 , Y   0;1 , f ( x)  x 2  суръекция
Пример. X   0;1 , Y   0;1 , f ( x)  x 2  инъекция,
обратное отображение y  x
Вопросы к экзамену
1. Операции с множествами.
2. Аксиомы вещественных чисел.
3. Верхняя и нижняя грань числового множества. Теоремы существования
и единственности.
4. Лемма о вложенных отрезках.
5. Отображения множеств, счетность множества рациональных чисел.
6. Несчетность множества вещественных чисел на отрезке.
Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Множества, числа, отображения.
Лекция 1
Завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Комплексные числа.
Лекция состоится в четверг 18 сентября
в 10-00 по Московскому времени.