Правильные решения и критерии по физике

Решите задачи.
1) Условие: В стакане (не касаясь стенок и дна) плавает свеча, сделанная из однородного
материала, плотность которого 0,8 г/см3. Какая часть свечи находится над водой?
Решение:
Условие плавания тел – равенство сил Архимеда и тяжести (поскольку других
сил действующих на тело нет).
Сила Архимеда FA  в gVп , где  в – плотность воды, а Vп – объем
2б
подводной (или погруженной) части тела.
Сила тяжести Fт  mт g   т gVт , где mт – масса тела,  т – плотность тела,
V т – объем тела.
Объем надводной части тела Vн  Vт  Vп , откуда Vп  Vт  Vн .
Fт  FА
 в gVп   т gVт
 вVп   тVт
Подстановка Vп  Vт  Vн дает:
2б
в Vт  Vн   тVт , разделим левую и правую части на Vт

 в 1 

Vн
Vт

V
   т Vн
   т   в   т  н  в  в

Vт
в
Vт

Ответ:
Vн  в   т 1 г/см 3  0,8 г/см 3


 0,2 .
Vт
в
1 г/см 3
1б
2) Условие: Температура воздуха в комнате 25 °C, после проветривания температура в
комнате понизилась до 20 °C. Как изменилась внутренняя энергия газа в комнате при
этом? (Температуру на улице, атмосферное давление и объем комнаты можно считать
постоянными.)
Решение:
5
Внутренняя энергия воздуха находится по формуле U  RT , где  –
2
1б
количество вещества, T – температура газа в комнате, R – универсальная
газовая постоянная.
ВНИМАНИЕ! Давление воздуха в комнате равно атмосферному давлению,
так как комната не может считаться замкнутой системой из-за наличия
2б
дверей, щелей, вентиляции и т.д. В следствие этого в комнате при разных
внешних условиях будет разное количество вещества.
Тогда для расчета изменения внутренней энергии газа воспользуемся
уравнением Менделеева-Клапейрона: pV  RT , откуда
5
5
U 2  U 1   1 RT1   2 RT 2    p1V1  p 2V2  . Так как давление воздуха в 1 б
2
2
комнате и объем комнаты неизменны, т.е. p1  p2 и V1  V2 ,
p1V1  p2V2  0
и
1б
Ответ:
U 2 U1  0 .
3) Условие: В кастрюлю с водой добавили 100 г мокрого снега, при этом температура
воды понизилась с 20 °C до 10 °C. Какова доля воды в мокром снеге, если
первоначальный объем воды в кастрюле 420 мл? (Плотность воды 1 г/мл, удельная
теплоемкость воды 4200 Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг.)
Решение:
Обозначим массу мокрого снега m0 , а массу собственно снега в нем mс , тогда масса
воды в мокром снеге равна m0  mс , а первоначальную массу воды в кастрюле mв .
С учетом этих обозначений: теплота, необходимая для расплавления снега:
Qп  mc ,  – удельная теплота плавления льда.
Теплота полученная водой, содержащейся в мокром снеге, и водой, получившейся
при
расплавлении,
равна
2б
o
Qн  cв m0 t к  0 C , где cв – удельная теплоемкость воды, t к – конечная
температура воды в кастрюле.
Теплота, отданная водой, первоначально находившейся в кастрюле, равна:
Qo  cв mв t н  t к  , где t н – начальная температура воды в кастрюле.
Запишем уравнение теплового баланса: тепло отданное водой в кастрюле равно
теплу, полученному мокрым снегом и получившейся из него воды:
Qo  Qп  Qн


cв mв t н  t к   cв m0 t к  0 o C  mc
(*)
Первоначальная масса воды в сосуде
mв   вVв  1 г/см 3  420 мл  1 г/см 3  420 см 3  420 г .
Подставив численные данные в (*), получим
Дж
Дж
Дж
4200
 0,42 кг  20 o C  10 o C  4200
 0,1 кг  10 o C  0 o C  335000
 mc
o
о
кг
кг  C
кг  С
Дж
Дж
4200
 0,32 кг  10 o C  335000
 mc
o
кг
кг  C
4200  0,32  10
кг  mc
335000
Ответ:
mc  0,04 кг  40 г .



2б

1б
4) Условие: N
пар
чередующихся
собирающих
и
рассеивающих линз установлены так, что их главные
оптические оси совпадают. Фокусное расстояние каждой из
рассеивающих линз равно F, а каждой из собирающих 2F.
Слева на первую собирающую линзу падает пучок лучей
параллельный главной оптической оси (ось пучка совпадает с главной оптической осью
системы линз). Диаметр падающего светового пучка равен d, а расстояние между
соседними линзами равно F. Каков будет диаметр пучка после прохождения последней
рассеивающей линзы?
Решение:
Рассмотрим первую пару линз: собирающую и рассеивающую.
Пучок света, параллельный главной оптической оси, после прохождения
собирающей линзы превратится в конус, и все лучи соберутся в фокусе 1 б
линзы.
Но при помещении на пути конуса рассеивающей линзы лучи вновь
2б
отклонятся. После прохождения через рассеивающую линзу пучка лучей,
параллельных ее главной оптической оси, лучи начинают расходиться внутри
конуса так, что вершина конуса попадает в фокус рассеивающей линзы.
Следовательно, при попадании на рассеивающую линзу сходящегося конуса
лучей они выйдут параллельно ее главной оптической оси при условии
попадания вершины конуса в фокус рассеивающей линзы. Именно такой ход
лучей и получается при в нашем рассмотрении: фокусное расстояние
собирающей линзы 2F, а рассеивающей F, расстояние между линзами так же
равно F, таким образом (правые) фокусы рассматриваемых линз совпадают.
(см. рисунок ниже) То есть после прохождения двух первых линз,
собирающей и рассеивающей, пучок лучей останется параллельным главной
оптической оси, но его диаметр уменьшится.
Рассчитаем диаметр пучка выходящего из
рассеивающей линзы. Треугольники AOF и
A' O' F подобны (как два прямоугольных
треугольника с общим углом). С учетом подобия
OA
OF
2F


 2 , то есть при прохождении
O' A' O' F
F
пары линз радиус пучка уменьшается вдвое.
Таким образом, после прохождения всех N пар
2
 2
2  2 N раз.
линз диаметр пучка уменьшится в 2
1б
N
Ответ: D  d / 2
N
1б
5) Условие: В плоском конденсаторе на одинаковом расстоянии от горизонтальных
пластинок парит заряженная капелька масла. После попадания электрона в каплю, она
начала двигаться и спустя время t попала на одну из пластин. Считая поле внутри
конденсатора однородным, найдите массу капли. Расстояние между пластинами
конденсатора равно d, а напряжение между обкладками, удерживающее каплю в
равновесии до попадания электрона, равно U.
Решение:
Условие покоя капли масла внутри конденсатора – равенство силы тяжести и
электростатической силы:
mg  Eq
(*)
где m – масса капли, g – ускорение свободного падения, Е – напряженность
электростатического поля в конденсаторе, q – заряд капли. Напряженность 1 б
поля в конденсаторе связана с напряжением, поданным на конденсатор,
соотношением
U
E .
d
После попадания электрона капля масла начнет двигаться против
направления электрического поля. Ее ускорение находится из второго
уравнения Ньютона:
ma  Eq  e  mg
2б
С учетом (*)
ma  Ee  Eq  mg  Ee  mg  mg  Ee
U
ma  e
d
Ускорение связано со временем достижения пластинки соотношением:
1б
at 2
d
d
s a 2
t
2
2
Подставив ускорение в уравнение второго закона Ньютона, получим:
md Ue
Ue(t ) 2


m

2
d
t2
d 
Ответ: m 
Ue(t )
d 
2
1б
2
.
Методический блок.
В предложенных текстах «решений» могут содержаться ошибки в рассуждениях или в
вычислениях (как в «ответах», так и в «решениях»). Укажите все ошибки и если «решение» не
верно, то приведите верное решение.
1) Условие. Три одинаковых резистора соединены
идеальными проводами так, как показано на
рисунке. Сопротивление каждого резистора равно R.
Найдите сопротивление между клеммами А и В.
“Решение Аси.”. Для определенности предположим, что ток течет от точки А к точке
В. Ток идет по пути наименьшего сопротивления,
поэтому, пройдя через первый резистор (тот
который расположен между точками 1 и 2), ток
пойдет по идеальному проводу по пути 2-4-В. Ток, прошедший через идеальный
провод по пути 1-3, разветвится пополам: половина пройдет дальше через третий
резистор 3-4-В, а половина через второй: 3-2-4-В, так как ток делится пополам. Эти два
резистора соединены параллельно и их общее сопротивление равно 0,5R. Так что,
суммируя, получаем общее сопротивление 1,5R = (R+0,5R).
Ответ: 3R/2.
“Решение Таси.” Возможные пути прохождения тока: А-1-2-4-В, А-1-3-4-В, А-1-3-2-4В. На каждом возможном пути тока встречается один резистор, и на каждом пути
сопротивление равно R, следовательно, полное сопротивление цепи также равно R.
Ответ: R.
“Решение Васи.” Схема симметрична, поэтому направление тока неважно. Если ток
течет от точки А к точке В, то при прохождении через первый резистор (А-1-2), он не
пойдет через остальные два резистора, а потечет по идеальному проводу. Если ток идет
от точки В к точке А, то после третьего резистора (В-4-3) он тоже пойдет по
идеальному проводу, а не через два других резистора. Так как направление тока не
имеет значения, эти два рассуждения можно объединить. Тогда получается, что ток
может идти только через первый и третий резисторы, а через второй он не пройдет,
поэтому его можно убрать со схемы. В итоге мы получим два параллельно
соединенных резистора с сопротивлением R, сопротивление параллельно соединенных
резисторов ищется по формуле R=(R1R2)/(R1+R2) = R2/(2R)=R/2.
Ответ: RAB = 0,5R
Решение:
Все приведенные решения неверны.
В решении А. неверно предположение, что первый резистор соединен с двумя
другими последовательно, так как при последовательном соединении весь ток 1 б
проходит через все элементы цепи по очереди, в то время как в приведенном
решении часть тока ответвляется и огибает первый резистор.
В решении Т. Предложены три пути прохождения тока через каждый из
резисторов, но при наличии фантазии модно изобрести много других вариантов 1 б
прохождения, так что необходимо показать, что они единственные. Кроме того,
из правильных в целом путей прохождений тока сделан неправильный вывод о
том, что полное сопротивление совпадает с сопротивлением каждого из
резисторов, так как на величину полного сопротивления влияет конкретное
разделение токов по резисторам.
В решении В. рассмотрены два резистора из трех, причем при разном
подключении источника тока, и для обоих случаев не рассмотрены два других
резистора. Кроме того, прохождение тока через первый резистор не препятствует 1 б
прохождению тока через два других резистора (см, например, решение А.), учет
которого необходим при любом направлении тока.
Решение: идеальные провода на схеме можно заменять более короткими или
наоборот более длинными идеальными проводами, не изменяющими соединения
резисторов и подключение источников. Рассмотрим следующий ряд
эквивалентных схем:
4б
Как видно из крайней правой схемы начальная схема эквивалентна
параллельному соединению трех одинаковых резисторов, т.е. ее полное
сопротивление R0 связано с сопротивлениями «ветвей» схемы соотношением
1
1 1 1 3
    .
R0 R R R R
R
Ответ: R0  .
1б
3
2) Условие. Очень высокая п-образная металлическая рамка установлена вертикально так,
что плоскость рамки перпендикулярна магнитному полю, направленному
горизонтально. От верхней перекладины вдоль вертикальных направляющих начинает
скользить без трения металлический стержень массой 9 г. Через некоторое время после
начала движения скорость стержня перестает меняться. Найдите магнитную индукцию,
если установившаяся скорость стержня равна 1 м/с, его длина 30 см, а электрическое
сопротивление 1 Ом. (При расчетах ускорение свободного падения можно приять
равным 10 м/с2)
“Решение.” Рассмотрим контур, составленный из П-образной рамки и скользящего
вдоль него стержня. Магнитный поток через этот контур равен   BS  Bls , где B –
магнитная индукция, l – длина стержня, s – пройденный стержнем путь от верхней
перекладины «буквы п». Путь постоянно растет, следовательно, магнитный поток
меняется со временем. Изменение магнитного потока, благодаря явлению индукции,
создает ЭДС, поэтому через стержень начинает течь ток I. На проводник с током в
магнитном поле действует сила Ампера. Так как направление поля и направление тока
перпендикулярны, сила Ампера равна FA  BIl . Когда сила Ампера сравняется по
величине с силой тяжести, сумма сил, действующих на стержень, окажется равной
нулю, и скорость стержня перестанет расти. Таким образом, условие постоянства
скорости дает нам соотношение:
mg  FA  BIl (*).
Для нахождения силы тока можно воспользоваться законом Ома: I 

, где ЭДС
R
 Bl s 2  s1 

 Blv , где v – установившаяся скорость стержня.
t
t
Подставив все соотношения в (*) получим
Blv
B 2l 2 v
mgR
,
откуда
и
численный
ответ
mg  B
l
B
R
R
l 2v
индукции   
9  10 `3  10  1
 0,01 Тл.
30 2  1
mgR
Ответ: B 
 0,01 Тл.
l 2v
Решение:
Приведенное решение верное,
2б
но ответ не верен: при расчетах все величины берутся в единицах СИ, кроме
значения длины стержня, выраженного в сантиметрах (например, единицах 1 б
системы СГС). В итоге численный ответ неверен.
Решение: так как приведенное решение верно, достаточно исправить численную
ошибку в использованных данных:
B
B
mgR
9  10 `3  10  1

 1 Тл.
l 2v
0,32  1
Ответ: B 
2б
mgR
9  10 `3  10  1

 1 Тл.
l 2v
0,32  1
.
3) Условие. При некотором радиусе круговой орбиты искусственного спутника,
обращающегося над экватором, с поверхности Земли он кажется неподвижным. Во
сколько раз радиус такой орбиты больше радиуса Земли (6400 км).
“Решение.” На спутник действует сила притяжения Земли и других сил нет, поэтому
второй закон Ньютона, описывающий центростремительное ускорение, можно записать
в виде:
v2
m
 mg
R
Спутник движется по круговой орбите v , и скорость движения по орбите связана с
периодом обращения T соотношением:
2R  vT
2R
v
T
Тогда второй закон Ньютона можно переписать в виде:
m 4 2 R 2
4 2 R
gT 2

mg


g

R

R T2
T2
4 2
Так как с экватора Земли спутник кажется неподвижным, его период обращения
совпадает с периодом обращения земли – 1 сутки (86400 с):
gT 2 9,81  86400 2
R

 1,85  10 9 м .
4 2
4 2
R / Rз  289
Ответ: 289.
Логика решения частично верна, но получен неверный численный ответ.
В приведенном «решении» не учтено, что с изменением высоты над Землей
(которая, очевидно, связана с радиусом орбиты) уменьшается ускорение
свободного падения, что существенно при высоте в сотни и тысячи
километров, а тем более в миллионы, как получилось в ответе.
Решение.
Единственная сила, действующая на спутник, – сила притяжения Земли.
Спутник двигается по круговой орбите, так как в противном случае он будет
двигаться относительно Земли и не будет казаться неподвижным, поэтому
второй закон Ньютона, можно записать в виде:
M m
v2
m
 G з2 ,
R
R
v2
где m – масса спутника, R – радиус его орбиты, v – скорость спутника (
–
R
центростремительное ускорение), G – гравитационная постоянная, Mз - масса
Земли.
Скорость движения спутника v связана с периодом обращения T
соотношением:
2R
v

2R  vT
T
Тогда второй закон Ньютона можно переписать в виде:
M зm
m 4 2 R 2
4 2 R 3
T2
3 GM

G


GM

R

з
з
R T2
R2
T2
4 2
Если под рукой нет таблицы со значением массы Земли, не приведенной в
условии, можно выразить произведение GM з через ускорение свободного
падения на поверхности Земли и радиус Земли. Для этого учтем, что сила
тяжести – проявление закона всемирного тяготения:
M m
mg  G з2 
GM з  gRз2
Rз
Так как с экватора Земли спутник кажется неподвижным, его период
обращения совпадает с периодом обращения земли – 1 сутки (86400 с) и
окончательный ответ имеет вид:
gRз2T 2
R3
 42,3  10 6 м .
2
4
R
 6,62 .
Ответ:
Rз
3б
1б
1б
1б
1б
1б
4) Условие. Скорость тела, брошенного под углом 60° к горизонту, спустя 1 с, составляла
с горизонтом угол 30°. Найдите начальную скорость тела. Сопротивлением воздуха при
расчетах можно пренебречь.
Решение. Обозначим полную скорость тела v , тогда y-компонента скорости
v y  v sin  (  - угол, который скорость составляет с горизонтом).
v y t  1 c
v y0
sin 60 
3/2
.


3

v

y1
v y t  0 c v y 0 sin 30 
1/ 2
3
Y-компонента ускорения равна ускорению свободного падения g, следовательно

v y1


1 
3
 v y 0  gt  v0 y 1 
  gt  v0 y 
gt
3
3
3 1

3v0
2
2
3
2
2
v0 y  vo sin 60  
 v0 
v0 y 
gt 
gt 
 9,81  1  26,8 м/с
2
3
3 3 1
3 1
3 1
Ответ: 26,8 м/с.
Приведенное решение и ответ неверны.
Во-первых, при расчетах перепутаны углы, которые образует скорость с 1 б
горизонталью: при t = 1 c, угол 30°, а не 60°.
Более серьезная ошибка – со временем меняется не только угол наклона
2б
скорости, но и модуль скорости, что никак не учтено в решении.
Решение.
В отсутствие сил сопротивления x-компонента скорости тела не изменяется
при движении под углом к горизонту, так как вдоль горизонтальной оси не
действует никаких сил. То есть, для двух рассматриваемых моментов времени
справедливо соотношение:
1б
v0 x t   v0 x 0 ,
v y1  v y 0  gt 
v y0
а так как x-компонента скорости связана с модулем скорости соотношением
v0 x  v0 cos  ,
где  – угол, который вектор скорости составляет с горизонтом.
(*)
v0 t  1 c cos 30  v0 t  0 c cos 60 .
Вдоль оси Y действует ускорение свободного падения g, и зависимость
величины y-компоненты от времени имеет вид:
v0 y t   v0 y 0  gt
С учетом связи y-компоненты с модулем скорости: v 0 y  v0 sin 
v0 t  1 csin 30  v0 t  0 csin 60  g  1 c .
1б
(**)
На основе (*) можно выразить v0 t  1 c  через v0 t  0 c :
cos 60
v0 t  1 c   v0 t  0 c 
.
cos 30
Подставив в (**) получим:
cos 60
v0 t  0 c 
sin 30  v0 t  0 c sin 60  g  1 c
cos 30
cos 60
g  1 c  v0 0 sin 60  v0 0
sin 30  v0 0 sin 60  cos 60tg 30 ,
cos 30
Откуда
g 1 c
g 1 c
v0 0 

 3g  1 c  17 м / с .
sin 60  cos 60tg 30
3 1 1

2 2 3
Ответ: v0 0  17 м / с .
2б
1б
5) Условие. К вертикальной стене прижат брусок массой 100 г. Сила, прижимающая
брусок к стене, направлена вниз, составляет с вертикальной стеной угол 60° и равна
20 Н. Вычислите силу трения между стеной и бруском, если коэффициент трения
равен 1.
Решение. Запишем второй закон Ньютона:
N  mg  F  Fтр  0
(*)
N – сила реакции, mg – сила тяжести, действующая на тело, F –
сила, прижимающая брусок к стене, Fтр – сила трения между бруском
и стеной.
Fтр  N , поэтому все силы искать нет необходимости и достаточно
найти только силу реакции. Проекция сил на горизонтальную ось:
N  0  F sin   0  0
3
 17,3 Н .
Откуда Fтр  F sin   1  20 
2
Ответ: 17,3 Н.
Приведенное решение и ответ неверны.
Использованное в «решении» соотношение Fтр  N определяет не текущее
значение силы трения, а ее максимальное значение. Для того чтобы
убедиться, что полученное значение силы трения завышено, достаточно
подставить его в вертикальную проекцию уравнения второго закона Ньютона.
Fтр  mg  F cos   0 , подставим числовые данные:
3б
17,3  0,1 *10  20 cos 60  17,3  1  10  0 .
Решение.
Значение силы трения не всегда равно Fтр  N – величине, определяющей
максимально возможную величину силы трения. Чтобы в этом убедиться,
достаточно рассмотреть покоящееся тело на горизонтальной плоскости. Если
никаких сил в горизонтальной плоскости на тело не действует, сила трения
также будет равна нулю, так как в противном случае тело начало бы
двигаться под действием силы трения. Если теперь приложить к телу
горизонтальную силу по величине меньшую N сила трения так же будет
меньше N по причине, описанной выше. Для нахождения силы трения
воспользуемся вторым законом Ньютона (*) в проекции на вертикальную ось:
Fтр  mg  F cos   0
откуда
1
Fтр  mg  F cos 60  0,1  9,81  20   11 (Н).
2
Полученное значение должно быть не больше максимально возможного
значения N .
Для нахождения N рассмотрим горизонтальную проекцию второго закона
Ньютона (*)
N  0  F sin   0  0
откуда
3
Fтрmax  F sin   1  20 
 17,3 Н  .
2
Вычисленное выше значение силы трения меньше максимально возможного,
поэтому оно и будет истинным значением силы трения:
Ответ: Fтр  11 Н.
2б
2б
1б