Преобразования Лапласа (2) Таблица преобразований Лапласа Оригинал Изображение a const a p e t 1 p t 1 p e t 1 p t 1 p2 cos t t Оригинал n n! p n 1 sin t t 1 p 1 cht e Изображение p p p p p2 2 2 2 2 2 Интегрирование оригинала Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p f t F p t 0 F p f d p Пример Найти изображение для функций t e d 0 t cosd 0 Интегрирование изображения Если интеграл F p dp сходится, p то он служит изображением функции f t F p dp t 0 f t t Пример Найти изображение для функции sin t t Теорема смещения Если f t F p то для любого комплексного p0 e p0t f t F p p0 Пример Найти изображение для функций f t e cos 2t t f t e sin t 3t 2 Теорема запаздывания Если f t F p то для любого положительного f t e p F p Удобно использовать при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются разными аналитическими выражениями. Пример Найти изображение для функций f t 1 t 1 t 1 2 Теорема о свёртке (умножения) Произведение двух изображений F p и p также является изображением, причем t F p p f t d 0 Пример Найти изображение для функций t t t e d 0 Нахождение оригинала по изображению Q p Если F p R p правильная рациональная дробь, то разлагают эту дробь на сумму простых дробей и для каждой находят соответствующее изображение. Пример Найти оригинал для функции 1 F p 2 p p 1 p 4 Решение задачи Коши Дано t x t 3 xt e x0 2 Требуется найти xt Находим изображение левой части уравнения xt p X p x0 p X p 2 3 xt 3 X p p X p 2 3 X p Решение задачи Коши Находим изображение правой части уравнения xt p X p x0 p X p 2 Решаем операторное уравнение 1 p X p 2 3 X p p 1 2 X p p 1 p 3 p 3 1 Решение задачи Коши Разлагаем на простые дроби 2 X p p 1 p 3 p 3 1 1 2 1 7 4 p 1 4 p 3 p 3 4 p 1 4 p 3 1 Решение задачи Коши Разлагаем на простые дроби 2 X p p 1 p 3 p 3 1 1 2 1 7 4 p 1 4 p 3 p 3 4 p 1 4 p 3 1 По изображению находим оригинал 1 7 1 t 7 3t e e 4 p 1 4 p 3 4 4