Интеграл

Тема1: Неопределенный интеграл
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент кафедры
Высшей математики и математической физики ТПУ
ПОДВЕДЕНИЕ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА
1)

cos x
d (sin x )
1 d ( 2  3 sin x ) 1
dx 

 ln | 2  3 sin x | C
2  3 sin x
2  3 sin x 3
2  3 sin x
3

cos x
1
2)
dx

2  3 sin 2 x
3



 3 sin x 
d ( 3 sin x )
1 1
C

arctg
2
2  ( 3 sin x )
3 2
2 

ln 2 xdx
1
3)
 ln 2 xd (ln x )  ln 3 x  C
x
3

4)
5)



e
x
x

dx  2 e x d ( x )  2e
e x dx
1  e2x


d (e x )
1  (e x ) 2
x
C
 arcsin( e x )  C
ПОДВЕДЕНИЕ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА
6)
7)
xdx
1

2  x4 2


d( x2 )
2  x4

1
ln | x 2  2  x 4 | C
2

sin(1 / x )
dx   sin(1 / x )d (1 / x )   cos(1 / x )  C
x2

( x  1)dx
1 d ( x 2  2 x  7) 1
2


ln
|
x
 2 x  7 | C
2
2
x  2x  7 2
x  2x  7
2
8)


1
9) cos 3 xdx  cos 2 x cos xdx  (1  sin 2 x )d (sin x )  C  sin x  sin 3 x  C
3

10)



dx
1 d (arctg 2 x ) 1  1 
1
1
1




C


C


(1  4 x 2 )arctg 3 2 x 2 arctg 3 2 x
2  2  arctg 2 2 x
4 arctg 2 2 x

u=2 x  3
du=2  dx
1.  (2 x  3) cos5 x dx=
=
1
1
dv= cos5 x dx v= cos5 x dx=  cos5 x d (5 x)= sin 5 x
5
5
1
2
2x  3
2
= (2 x  3) sin 5 x   sin 5 x dx =
sin 5 x  cos5 x  c.
5
5
5
25
x
2. x  e dx =
u=x
du = dx
dv = e x dx v = e x dx =  e x d ( x) = e x

=

=  x  e x    e x  dx =x  e x e x  d ( x)=x  e x e x c.
 3.
ln x
3
x2
U = ln x
dx =
dV =
dx
3
x2
dU =
dx
x
V =  ( x) 2/3 dx = 3 x1/3
= 3 x1/3 ln x  3x1/3 
dx
=
x
= 3 x1/3 ln x  3( x)2/3 dx = 3 x1/3 ln x  9 x1/3 dx = 33 x (ln x  3)  C.
5  dx
U = arcsin 5 x dU =
5 x  dx
2
 4. arcsin 5 x dx=
=
125 x =x  arcsin 5 x  
2
1  25 x
dV = dx
V = dx = x
1
d (1  25 x 2 )
1
= x arcsin 5 x   5
= x  arcsin 5 x
1  25 x 2  C
50
25
1  25 x 2
2dx
u = arctg 2 x du =
2 x dx
2
5. arctg 2 x dx =
=
14 x = x arctg 2 x  
2
14 x
dv = dx
v=x
d ( x2 )
= x arctg 2 x  
=
2
14 x
1 d (4 x 2  1)
1
2
 x arctg 2 x  
=
x

a
rctg
2
x

ln
(1

4
x
)  c.
2
4
14 x
4
x 2 4 x10=( x 2 2 x24)410=( x2) 2 6
dx
 1.  2
= x  2 = t ; x = t  2; dx = dt
=
x 4 x10
x 2 4 x10 = t 2  6
dt
1
t
1
x2
= 2
=
arctg
=
arctg
 C.
6
6
6
6
t 6
3  2 x  x 2 = 3  ( x 2  2 x) =
 2.

= 3  [( x 2  2  x  1  1)  1] =
dx
3  2x  x
2
= = 3  [( x  1) 2  1] = 4  ( x  1) 2 ,
x  1 = t ; x = t  1; dx = dt
3  2 x  x2 = 4  t 2
=
t
( x  1)
= arcsin = arcsin
 C.
2
2
2
4t
dt
=
Интегрирование рациональных дробей методом
неопределенных коэффициентов
Рациональная дробь есть отношение двух многочленов целой степени
Pn ( x) an x n  an1x n1    a2 x 2  a1x  a0
R( x) =
=
.
m
m1
2
Qm ( x) bm x  bm1x    b2 x  b1x  b0
Если
Если
n<m
nm
, то дробь называется правильной.
, то дробь называется неправильной.
Прежде, чем интегрировать неправильные дроби, следует
обязательно выделить целую часть дроби путем деления
многочлена Pn (x) на многочлен Qm (x ).
3x  5 1 6 x  10 1 3(2 x  1  1)  10 1 3(2 x  1)  3  10

= 
= 
= 
=
2x  1 2 2x  1 2
2x  1
2
2x  1
1 3(2 x  1)  13 3
13
 
= 
.
2
2x  1
2 2(2 x  1)
3
-- целая часть,
2
13
-- правильная дробь
2(2 x  1)
Схема интегрирования правильной рациональной дроби.
1. Знаменатель дроби раскладываем на простые множители,
которых существует четыре типа:
I  ( x  a); II  ( x  a) k ; III  ( x 2  px  q); IV  ( x 2  px  q) k ,
Частным случаем квадратичных множителей могут быть
( x 2  a 2 ) или ( x 2  a 2 ) k .
множители вида
При разложении используются формулы сокращенного умножения:
x 2  a 2 = ( x  a)( x  a),
x3  a 3 = ( x  a)( x 2  ax  a 2 ),
x3  a 3 = ( x  a)( x 2  ax  a 2 ), x 4  a 4 = ( x  a)( x  a)( x 2  a 2 ).
2. Рациональную дробь представляем в виде суммы
простейших дробей, причем, как известно из алгебры,
каждому из четырех простейших сомножителей
в разложении знаменателя соответствует определенный
набор простейших дробей с неопределенными коэффициентами
3. Находим неопределенные коэффициенты.
4. Проводим интегрирование каждого слагаемого.
Примеры разложения дробей на сумму простейших дробей
3x  4

x ( x  5)( x  7)
1

3
( x  3)( x  2)
A
B
C


x x5 x7
A
B
C
D



x  3 ( x  2)3 ( x  2) 2 x  2
x 2  3x

2
2
( x  3 x  5)( x  4)
2x  3

2
2
x ( x  2)( x  3)
3x

3
x 8
Ax  B
Cx  D
 2
2
x  3x  5 x  4
A B
C
Dx  E
 
 2
2
x x2 x 3
x
A
Bx  C
 2
x  2 x  2x  4
В этих примерах A, B, C , D  неопределенные коэффициенты
dx
 2. 
( x  4) 2 ( x  2)
Разложим подынтегральную
функцию на простые слагаемые
Приводим к общему
знаменателю
1
( x  4) 2 ( x  2)
=
A
B
C


( x  4) 2 x  4 x  2
A( x  2)  B( x  4)( x  2)  C ( x  4) 2
=
2
( x  4) ( x  2)
( x  4) 2 ( x  2)
1
Приравниваем числители
1 = A( x  2)  B( x  4)( x  2)  C ( x  4) 2
Для нахождения неопределенных коэффициентов в это выражение
подставляем те значения x , при которых знаменатель обращается в ноль
x  4 :
x  2:
1  A(6)
1  C (36)
A  1/ 6
C  1/ 36
Для нахождения третьего коэффициента можно взять любое значение
x
B  1/ 36
dx
1
dx
1 dx
1 dx
= 
 
 
=
Теперь исходный интеграл 
2
2
6 ( x  4) 36 x  4 36 x  2
распишется на сумму трех ( x  4) ( x  2)
интегралов
1
1
1
1
 
 ln | x  4 |  ln | x  2 | C
6 ( x  4) 36
36
x  0:
1  2 A  8B  16C
1  1/ 3  8B  16 / 36
Тригонометрические подстановки.
Универсальная тригонометрическая подстановка
x
tg = t
2
2
2
1

t
x = 2arctg t , dx =
dt; cos x =
,
2
2
1 t
1 t
2t
sin x =
.
2
1 t
С помощью универсальной подстановки находятся интегралы вида:
dx
 a sin x  b cos x  c ,
dx
 cos x ,
dx
 2 cos x  5 ,
sin x dx
 (3sin x  2) 2 .
2dt
x
2dt
=
t
,
dx
=
2
2
dx
2dt
1

t
2
1

t
 1. 
=
=
= 2
=
2t
2  4 sin x sin x = 2t
2t  8t  2
2

4
1 t2
1 t2
tg
=
dt
dt
1
t 2 3
1
tg ( x/2)  2  3
=
=
ln
=
ln
c

2
2
t  4t  1
(t  2)  3 2 3 t  2  3 2 3 tg ( x/2)  2  3
Интегрирование тригонометрических функций
2
x dx,
cos
В интегралах вида 
 sin 4 2x dx.
 cos2 x sin 6 x dx,
sin x, cos x
только с четными степенями
применяются формулы понижения степени
1  cos2 x
x
=
,
sin
2
2
2
cos x =
1  cos 2 x
.
2
1  cos x
1
cos x
 x
 1.  sin 2   dx = 
dx =  dx  
dx
2
2
2
2
=
1
1
1
1
dx

cos
x
dx
=
x

sin x  C.


2
2
2
2
В интегралах вида
 cos x dx,  sin
3
5
x dx ,  cos x sin x dx, 
4
3
3
x
cos
cos x sin x dx, 
dx,
4
sin x
3
характерной особенностью которых является наличие в числителе
sin x или cos x в н е ч е т н о й степени используется прием
подведения под знак дифференциала:
cos x dx = d (sin x)
sin x dx = d (cos x),
 3.  sin 3 x dx =  sin 2 x (sin x dx) =  sin 2 x d (cos x) =
= (1  cos2 x) d (cos x) = (d (cos x)  cos2 x d (cos x)) =
3
x
cos
= d (cos x)   cos2 x d (cos x) =  cos x 
 C.
3
Интегрирование иррациональных функций
При решении большинства типов интегралов от иррациональных функций
применяется метод замены переменной (или подстановки).
Целью замены является избавление от иррациональности.
 1.
x
 1  4 x dx =
x = t 4 , dx = 4t 3dt
t 2  4t 3dt
t 5 dt
=
= 4
=
4
4
1 t
1 t
1  x = 1  t, t x
1 
 4 3 2
= 4   t  t  t  t  1 
dt =
1 t 

(здесь выполнено деление t 5 на
(1  t ) )
 t5 t 4 t3 t 2


= 4      t  ln | 1  t |  = (возвращаемся к переменной
 5 4 3 2

 4 x5 x 4 x3

x 4
4

=4 
 

 x  ln | 1  x |   c


5
4
3
2


x)
 2. x 2  x  7 dx =
1) Применим подстановку
2) Найдем
x7 =t
x  7 = t 2 , x = t 2  7, dx = (t 2  7)dt = 2t dt
3) Подставим в исходный интеграл и проинтегрируем
= (t 2  7) 2  t  2t dt = 2t 2 (t 2  7) 2 dt = 2t 2 (t 4  14t 2  49) dt =
 t7
t5
t3 
= 2 (t  14t  49t ) dt = 2  14  49 .
5
3
7
6
4
2
4) Возвращаемся к старой переменной
с помощью обратной замены:
2
x
 x  7 dx =
x
t = x7
2
28
98
( x  7) 7 
( x  7)5 
( x  7)3  C.
7
5
3
В следующих примерах для того, чтобы избавиться
от иррациональности применяются тригонометрические подстановки.
При этом используются формулы тригонометрии
1
2
2
2
sin x  cos x  1 и 1  tg x  cos2 x
 4.

x 2 dx
4x
2
=
x = 2 sin t ,
t = arcsin
x
2 =
dx = 2 cost dt
2
4 sin 2 t  2 cost dt
t cost
sin

=
4
dt =

2
cost
44 sin t
 4  sin 2 t dt = 2  (1cos 2t ) dt = 2t  sin 2t =
(возвращаемся к переменной
x
)
x
x
x
=| t = arcsin |= 2 arcsin  sin (2 arcsin )  c.
2
2
2