Тема «Разложение многочленов на множители»

МБОУ
Ильино-Заборская СОШ
Маликова
Ольга
Александровна
Образование высшее
Арзамасский Государственный педагогический институт
имени А.П.Гайдара
Почетный работник общего образования
Стаж работы 39 лет
Алгебра 7 класс
Тема: «Разложение
многочленов на
множители»
Содержание









Пояснительная записка
Дидактические цели
Ожидаемые результаты освоения темы
Психолого-педагогическое объяснение специфики
восприятия и освоения учебного материала учащимися в
соответствии с возрастными особенностями
Педагогические технологии
Обоснование проекта
Планирование
Проект урока «Квадрат суммы. Квадрат разности».
Литература
Пояснительная записка
Тема «Разложение многочленов на множители» занимает
важное место в Федеральном компоненте государственного
образовательного стандарта основного общего образования по
математике.
Основная цель – выработать умения выполнять разложение
многочленов на множители различными способами и применять
формулы сокращенного умножения для преобразований
алгебраических выражений.
При изучении данной темы рассматриваются такие способы
разложения на множители, как вынесение общего множителя за
скобки, группировка, использование формул сокращенного
умножения. Особое внимание следует уделить темам «Способ
группировки» и «Применение нескольких способов разложения на
множители» как традиционно трудным, но необходимым для
подготовки к изучению темы «Алгебраические дроби».
Дидактические цели
Образовательная:
Формировать умения:
Применять формулы
сокращенного умножения
в преобразованиях целых
выражений в многочлены
и разложении многочленов
на множители;
выполнять тождественные
преобразования целых
выражений;
формировать знания:
о способах разложения
многочленов на множители,
о применении различных
приемов разложения
многочленов на множители
Развивающая:
Развивать:
логическое и
алгоритмическое
мышление,
способность к контролю
и самоконтролю,
стремление к творческому
решению учебных
и практических задач;
умение сравнивать,
выявлять, обобщать
закономерности.
Воспитательная:
Воспитывать:
трудолюбие, волю,
настойчивость для
достижения конечных
результатов;
способность к преодолению
трудностей;
отношение к математике как
к части общечеловеческой
культуры.
Ожидаемые результаты освоения темы
В результате изучения темы «Разложение многочленов на
множители» ученик должен
знать (понимать):
- формулы сокращенного умножения и соответствующие словесные
формулировки;
- уметь применять формулы как «слева направо», так и «справа
налево»;
- как применять различные приемы разложения многочленов на
множители.
уметь:
- применять формулы сокращенного умножения:
для решения уравнений;
для преобразований числовых и алгебраических выражений;
для решения широкого круга задач.
- выполнять тождественные преобразования целых выражений;
- использовать знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни.
Специфика восприятия учебного материала
учащимися 7 класса
Проблемы восприятия
и освоения учебного
материала
Недостаточно развитое
абстрактное мышление
Недостаточно хорошо
понимают необходимость
изучения темы, поскольку еще
не владеют всей системой
знаний по алгебре
Трудно применять
конкретную
формулу для широкого
класса задач
Неосознанно запоминают
формулы и их выводы,
поэтому быстро забывают
Полярность психики –
характерная
особенность
подросткового возраста
Эти проблемы определяют подходы к изучению
одной из самых важных глав алгебры
Желание делать
«все и сразу»
сменяется апатией
Информационнокоммуникационные
технологии
Технология
организации
самостоятельной
деятельности
Педагогические
технологии
Технологии
использования
игровых
методов
Технологии
диагностики
Обоснование проекта
Выбор данного раздела обусловлен наличием богатого
материала для реализации основных принципов педагогических
технологий, применяемых на уроках: информационных и
коммуникационных технологий, технологии использования в
обучении игровых моментов, технологии организации
самостоятельной деятельности учащихся, технологий диагностики,
традиционных технологий. Типы уроков при изучении темы
разнообразны – это урок изучения нового; урок формирования знаний,
умений, навыков; урок обобщения и систематизации знаний; урок
проверки и оценки знаний; комбинированный урок. На этих уроках
предполагается работа с современными средствами обучения, такими
как компьютер, проектор.
Для поддерживания мотивации учащихся необходимо
использовать игровые моменты, занимательный материал, практикоориентированные задачи. История развития математики формирует у
школьников представление о математике как части общечеловеческой
культуры.
Элементы игры, включенные в уроки, оказывают влияние на
познавательную активность, мыслительную деятельность школьника,
создают дополнительные условия для появления радости и успеха.
Тематическое планирование учебного
материала (17 часов)
№ урока
Тема урока
Кол-во час.
Тип урока
Ресурсы ИКТ
Формы контроля
1-3
Вынесение общего
множителя за скобки.
3
Урок изучения нового
Комбинированный
Урок закрепления
Устная работа
Устная работа
Устная работа
С. Р. №1
4-6
Способ группировки.
3
Урок изучения нового
Комбинированный урок
Урок закрепления
Презентация
Устная работа
Устная работа
Проверочная работа
Тест
7-9
Формула разности
квадратов.
3
Урок изучения нового
Комбинированный урок
Урок формирований
знаний, умений и навыков
Презентация
Устная работа
Устная работа
10-12
Квадрат суммы. Квадрат
разности.
3
Урок изучения нового
Комбинированный урок
Урок закрепления
Презентация
Устная работа
Устная работа
С.р. №2
Тест
13
Квадрат суммы трехчлена
(а + в + с )2.
1
Комбинированный урок
Устная работа
С.р. №3
Применение нескольких
способов разложения
многочлена на
множители.
2
Урок изучения нового
Комбинированный урок
Презентация
С.р. №4
16
Обобщающий урок.
1
Урок – игра
Устная работа
Графический диктант
17
Контрольная работа №4.
1
Урок контроля
14-15
Итого:
17
Контрольная работа №4
Проект урока № 10
Девиз урока:
«Математику нельзя изучать наблюдая,
как это делает сосед».
Тема урока:
«Квадрат суммы. Квадрат разности»
Тип урока: Урок изучения нового
Цели и задачи урока:
 Вывести формулы квадрата суммы и квадрата разности:
(а + в)2 = а2 + 2ав + в2 и (а – в)2 = а2 – 2ав + в2.
 Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать,
сравнивать, делать выводы;
 Выработать потребность в обосновании своих высказываний
 Формировать умения:
применять формулы для приведения многочленов к стандартному виду, а
также для приближенных вычислений значений выражения (1 + а)2;
выполнять тождественные преобразования выражений.
Формировать знания:
о новом способе приведения многочлена к стандартному виду.
Методы обучения:
объяснительно –
иллюстративный, частично
-поисковый.
Формы обучения:
индивидуальная, работа в
группах, коллективная.
Средства обучения:
компьютер, экран, доска,
таблицы, презентация,
сигнальные карточки.
План урока:
Этап урока
Содержание этапа
№
1.
Организационный момент
Постановка цели урока. Создание условий для
успешной совместной деятельности.
2.
Проверка домашнего задания .
Самостоятельная работа
Индивидуальная проверка знаний и умений учащихся
по теме: «Формула разности квадратов».
3.
Подготовка к изучению нового материала
Устная работа. Решение подготовительных
упражнений.
4.
Изучение нового материала
Формирование опорных знаний, формулировка
правил, решение задач, анализ результатов, ответы
на вопросы учащихся, обобщение.
5.
Закрепление изученного материала
Заучивание рассмотренного материала путем решения
задач по аналогии под контролем учителя.
6.
Подведение итогов урока
Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний
и понимания формулировок с помощью
графического диктанта.
7.
Домашнее задание
Ознакомление учащихся с содержанием домашнего
задания и получение необходимых пояснений.
8.
Резервные задания
Разноуровневые задания для обеспечения развития
учащихся.
Взаимодействие деятельности учителя и учащихся на уроке
№
Этап урока
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
1.
Оргмомент
Сообщает тему урока, ставит перед
учащимися цели и задачи.
2.
Проверка домашнего
задания.
Обучает приемам самостоятельной
работы.
Слушают, осмысливают
информацию, настраиваются
на работу.
Самостоятельно применяют
полученные знания,
определяют способы решения.
3.
Изучение нового
материала.
4.
Закрепление.
5.
Подведение итогов.
6.
Домашнее задание.
7.
Рефлексия.
Объясняет материал, попутно
выдвигая задачи, требующие
обоснования, и привлекает
учащихся к выводу формул квадрата
суммы, квадрата разности.
а) Развивает умение учащихся
применять формулы к решению
упражнений.
б) Учит анализировать ответы
учащихся.
а) Определяет выполнимость
поставленных задач.
б) Предлагает проверить
правильность решения упражнений.
в) Анализирует ответы учащихся,
оценивает их деятельность.
а) Объясняет домашнее задание.
б) Предлагает дополнительно
решить вариант из резервных
упражнений.
Предлагает оценить умения и
навыки. Полученные на уроке.
Самостоятельно выводят
формулы.
а) Ищут пути решения задач,
применяя ранее выведенные
формулы.
б) Осмысливают приемы
решения.
а) Слушают и осмысливают
информацию, делают выводы.
б) Самостоятельно определяют
правильность решения задач.
Осмысливают, уточняют, ищут
пути решения.
Отмечают положительные
моменты, недочеты своей
деятельности на уроке.
I. Организационный момент.
Сообщение темы урока, формулировка цели урока.
II. Проверка домашнего задания.
Самостоятельная работа.
Вариант №1
1.Разложите на множители:
а) 64х2 – 1;
б) 4m2 –a2;
в) х2у2 – 1;
г) 36х2 – 121а2 ;
д) (а – в)2 – 9а2.
2. Выполните умножение:
а) (5 – у)(5 + у);
б) (2а – в)(в +2а);
в) (5х + 2у2)(5х – 2у2).
Вариант №2
1. Разложите на множители:
а) 1 – 16а 2;
б) в2 – 9n2;
в) с2 – а2в2;
г) 100с2 – 49d2 ;
д) (х – у)2 – 4у2.
2.Выполнить умножение:
а) (а – 6)(а + 6);
б) (9х – у)(у + 9х);
в) (11с + 3d2)(11c – 3d2).
III. Подготовка к изучению нового материала
а) Чему равен квадрат одночлена: х; 2х; 0,3с?
б) Найдите удвоенное произведение одночленов: а и в; 2а и в;
а и 3в; 2а и 3в; а и в.
в) Прочитайте выражение:
(х + у)2; х2 + у2; х2 – у2; 2(а – в)2; 3(а2 + в2).
г) Запишите:
сумму и разность одночленов 2а и 3в.
квадрат суммы и разности одночленов х и 3у.
IV. Изучение нового материала
Немного истории
Найденные древневавилонские
клинописные тексты свидетельствуют, что
формулы квадрата суммы и квадрата
разности были известны еще около 4000 лет
назад. Их знали кроме вавилонян и другие
народы древности. Конечно, они были
известны не в нашем символическом виде, а
словесно, или – как, например, у древних
греков – геометрически.
Ученые древней Греции величины
обозначали не цифрами и буками, а
отрезками прямых. Они говорили не «а в
квадрате», а квадрат на отрезке а», не
«произведение а и в» - «прямоугольник,
содержащийся между отрезками а и в».
Например, тождество во второй книге
«Начал»: «Если прямая линия (имеется в
виду отрезок( как либо рассечена, то квадрат
на всей прямой равен квадратам на отрезках
вместе с дважды взятым прямоугольником,
заключенным между отрезками».
4.1
Сформулируем квадрат суммы.
(а +в)2 = (а +в)(а + в) = а2 + ав + ав + в2 = а2 + 2ав + в2.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа
плюс удвоенное произведение первого числа на второе
плюс квадрат второго числа.
Приведем примеры:
(в + 5)2 = в2 + 10в + 25;
(2х + 3у)2 = (2х)2 + 2•(2х)•(3у) + (3у)2 = 4х2 + 12у +9у2.
4.2 Геометрический смысл квадрата
суммы
Известные нам алгебраические
тождества во второй книге
знаменитых «Начал» Евклида
представлены в геометрическом виде
Например, «Если отрезок каклибо разбит на два отрезка, то
площадь квадрата, построенном на
всем отрезке, равна сумме площадей
квадратов, построенных на каждом из
двух отрезков, и удвоенной площади
прямоугольника сторонами которого
служат эти два отрезка».
Очевидно, это формула квадрата
суммы двух чисел:
(а + в)2 = а2 + 2ав + в2.
а2
аb
аb
b2
4.3. Сформулируем квадрат разности.
(а – в)2 = (а – в)(а – в) =а2 – ав – ав +в2 = а2 - 2ав + в2.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату
первого числа минус удвоенное произведение первого
числа на второе плюс квадрат второго числа.
Приведем примеры:
(х -0,4)2 = х2 – 2•0,4 + (0,4)2 = х2 – 0,8 + 0,16;
4
2
2
4
2 2
2 2
2
2
(-у + ) = ( – у) = ( ) – 2 у +у = 9 – у +у2.
3
3
3
3
3
4.4. Геометрический смысл
квадрата разности
Геометрическая версия известного
тождества:
а2 = (а – в )2 + 2ав –в2.
Перенесем из правой части в левую 2ав
и в2 и получим:
а2 – 2ав +в2 =(а – в )2.
Отсюда следует: (а – в)2 = а2 - 2ав +в2.
Промежуточные результаты можно
не писать, производя необходимые
вычисления устно.
Например,
(5х2 – в)2 = 25х4 -10х2в + в2.
(а –в)2
(а – в)в
(а-в)в
в2
4.5. Применение формул
Формулы квадрат суммы и квадрат
разности называются формулами
сокращенного умножения. Они
применяются для упрощения вычислений и
для разложения на множители многочленов.
Примеры:
992 = (100 – 1)2 = 10000 -200+1 = 9801;
522 = (50 +2)2 = 2500+200+4=270.
V. Закрепление изученного материала
Представить квадрат двучлена в
виде многочлена.
Решить упражнения № 370 (1,3)
(самостоятельно с последующей
проверкой).
Проверь себя:
(с + d)2 = c2 + 2cd +d2;
(2 + х)2 = 4 + 4х + х2.
Выполнить
№ 371(1,3) (на доске)
Проверь себя:
(q + 2p)2 = q2 + 4qp = p2;
(6а – 4в)2 = 36а2 – 48ав +16в2.
V. Закрепление изученного материала
№ 373. Перед выполнением этого номера
доказать с учащимися равенство
( -а – в)2 = (а + в)2.
 (-4ав – 5а2)2 = (4ав + 5а2)2 = 16а2в2 +
40 а3в + 25а4;
 (-3в2 – 2ав)2 = (3в2 + 2ав)2 = 9в4 + 12ав3
+ 4а2в2;
 (0,2х2 +5ху)2 = 0,04х4 +2х3у + 25х2у2;
 (4ху +0,5у2)2 = 16х2у2 + 4ху3 + 0,25у4.
Выполнить действия, используя формулы
сокращенного умножения.
Решить № 374 (1,3) (Работа в парах).
Проверь себя:
(90 -1)2 = 8100 – 180 + 1 = 7921;
1012 = (100 +1)2 = 10000 + 200 + 1 = 10201.
V. Закрепление изученного материала
Формула квадрат суммы применяется также для
приближенных вычислений значений выражения (1+а)2.
Если модуль числа а мал по сравнению с единицей (а =
0,0064, а = -0,035), то число а2 тем более мало и поэтому
равно:
(1+а)2 = 1+2а+а2 можно заменить равенством: (1+а)2≈1+2а.
Пример:
(1,002)2 = (1+0,002)2 ≈1+2•0,002 ≈ 1,004
(1,002)2 ≈ 1,004
Выполнить № 376 (1,3)
Проверь себя:
1,0052 = (1 + 0,005)2 ≈ 1 +20,005 ≈ 1,01;
0,9922 = (1 + (-0,008))2 ≈ 1 + 2(-0,008) ≈ 0,984.
VI. Подведение итогов урока
а)
 Какие новые формулы сокращенного умножения вы
сегодня узнали на уроке?
 Чему равен квадрат суммы двух выражений?
 Чему равен квадрат разности двух выражений?
 Чем отличаются правые части этих формул?
VI. Подведение итогов урока
б) Графический диктант
1. (2а)2 =4а2;
2. (3в2)2 = 3в4;
3. (-5а2в)2 = -25а4в2;
4. (в +5)2 = в2 + 10в +25;
5. (2х +3у)2 = 4х2 – 12ху + 9у2;
6. (3с – 1)2 = 9с2 – 6с +1;
7. (2х – 7у)2 = 4х2 -14х + 49у2.
Взаимопроверка.
Ответ: __/ \/ \__/ \__/ \.
VI. Подведение итогов урока
в) Узелок на память
Знает каждый из ребят
Как возвести двучлен в квадрат:
Квадрат первого числа
Пиши и не раздумывай,
Затем удвой произведенье,
А напоследок не зевай
Квадрат второго прибавляй.
VII. Домашнее задание
§22, №370(2,4), 371(2,4), 374(2,4), 375.
VIII. Резервные задания.
Уровень А.
•
•
•
•
Преобразуйте в многочлен:
А) (х + у)2;
Б) (а – 8)2;
В) (5х – 3у)2;
Г) (2m + 4n)2.
2. Вычислите, используя формулу
квадрата суммы или разности:
А) 1012; б) 972; в) 10,22; г) 9,92.
Уровень Б.
•
•
•
•
Преобразуйте в многочлен:
а) (2m -3)2;
б) (5х + 7у)2;
б) (3с – 1)2:
г) (а + 3b)2.
2) Упростите выражение:
а) 5(3х – 2)2;
б) -12(2у + 3)2;
в) (а – 8)2 + 16а;
г) 4(х – 2)2 + 10а.
Уровень С.
•
•
•
•
•
•
•
Преобразуйте в многочлен:
а) (а2 –в2)2;
Б) (х4 + 0,1у4)2;
В) (2х2 + х6)2;
Г) (0,4в2 – 0,1в)2.
2) Представьте в виде многочлена:
А) 4ab – (2a – b)2; б) (х – 1)2 – х(2 – х);
В) 8у(3у – 1) – (4у +2)2;
г) (4а – b)2 – 4(2a – b)2.
Основные результаты:




Мы познакомились с формулами сокращенного
умножения квадратом суммы и квадратом разности.
С помощью этих формул научились приводить
многочлен к стандартному виду.
Учились применять квадрат суммы и квадрат разности
для упрощения вычислений.
Применяя формулу (1 + а)2 ≈ 1 +2а находили
приближенное значение числа.
Рефлексия
У каждого на парте лежат кружочки красного, желтого и
зеленого цветов.
Уходя с урока ученики бросают в почтовый ящик круг
определенного цвета:
зеленый – все понял и научился применять формулы;
желтый – понял, но затрудняюсь применять;
красный – ничего не понял, нуждаюсь в
дополнительной консультации.
Результаты выполнения самостоятельных и контрольных работ по
теме «Разложение многочлена на множители»
Вид работы
С. р №1
Проверочная
работа
С. Р. №2
Тест
С. Р. №2
Тест
С. Р. №3
С. Р. №4
Графический
диктант
Контрольная
работа
Количество
учеников
Получили «5»
Получили «4»
Качество
знаний
Уровень
обученности
7
2
2
57%
86%
7
3
1
57%
86%
6
7
6
6
7
7
6
3
2
1
2
2
3
3
1
2
2
2
2
1
1
67%
57%
50%
67%
57%
57%
67%
100%
100%
100%
100%
86%
86%
100%
6
2
2
67%
100%
Литература
1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра 7.М.: Просвещение, 2006г.
2. Бурмистрова Т.А. Алгебра. Программы общеобразовательных
учреждений . М.: Просвещение, 2008г.
3. Ганенкова И.С. Математика . Многоуровневые самостоятельные
работы 5-7 классы. Волгоград, 2006г.
4. Жохов В.И., Макарычев Ю.Н. Дидактические материалы.
Алгебра 7 класс. М.: Просвещение, 2007г.
5. Иванова Т.А. Современный урок математики: теория, технология,
практика, Н.Новгород, 2010г.
6. Бессонова М.Ю. Поурочное планирование по алгебре 7 класса.
Москва. Издательство «Экзамен». 2008 год.
7. Нечаев М.П. Разноуровневый контроль качества знаний по
математике в 5-11 классы Москва 2007г.
8. Ткачева М.В. Алгебра. Тематические тесты 7. М.: Просвещение,
2010 г
9. Интернет ресурсы.