Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль

Решение уравнений и неравенств,
содержащих модуль
Определение модуля (правило
раскрытия модульных скобок)
|a|=
a, условие
a≥0
-a, условие
a<0
Модулем
действительного числа а
называется само это число,
если оно неотрицательное, и
противоположное ему
число, если данное число
отрицательно.
Из определения модуля следует:
1) |a| ≥0
2) |a|= |-a|
Геометрический смысл модуля
A1
A
-a
a
0
OA=OA1
x
|a|= |-a|
Модуль – расстояние от начала отсчета на
координатной прямой до точки, изображающей
число.
Пример 1 |х-8|=5.
По определению модуля имеем
совокупность уравнений
Х-8=5 или Х-8= -5
Откуда х=13, х=3.
Ответ: 3;13.
Ответ: 3;13.
Уравнения и неравенства с модулем можно
решить используя геометрическое определение
модуля.
|a-b|-это расстояние между a и b.
Решим предыдущее уравнение |х-8|=5.
Х-8 это расстояние от 8 до некоторой точки х, которое равно 5.
3
8
13
Видно, что х = 3 или х=13
x
Пример 2.
Рассмотрим уравнение |2х-3|=4.
Решить самостоятельно двумя способами
2 x  3  4
2x  3  4  
 2 x  3  4,
 x  3,5
 x  0,5

Решите уравнений
1. |х|=2,6
2. |х+5|=3
Решение неравенств
|х| ≤ a
|х| ≥ a
Решение:
Решение:
-a
a
-a≤ х ≤ a
x ͼ [ -a; a ]
x
-a
a
x
х ≤ -a ; x ≥ a
x ͼ (- ∞; -a ] U [a; + ∞)
Проверка
1. |х-6|<5
Решение:
-5< х-6 <5
1< х-6 <11
7< х < 17
2. |х+5|>2
х+5<-2 ; х+5>2
x<-2 -5
х>2-5
х< -7
х> -3
3. |6х+1|<2
-2<6х+1<2
-3<6х<1
-1/2 <х< 1/6