Геометрическая вероятность.

Геометрическая
вероятность
Теория вероятностей,
12 класс.
Пример 1. Выберем на географической карте мира
случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем
указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в
России?
Число исходов бесконечно.
Вероятность будет зависеть от
размера карты (масштаба).
Пример 1. Выберем на географической карте мира
случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем
указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в
России?
S ( A)
P( A) 
?
S ( )
Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую
часть всей карты занимает Россия.
Точнее, какую часть всей площади карты
составляет Россия.
Отношение этих площадей и даст искомую
вероятность.
Общий случай: в некоторой ограниченной
области  случайно выбирается точка. Какова
вероятность, что точка попадет в область А?
На прямую L?
L
А

S ( A)
P( A) 
S ( )
S ( L)  0;
0
P ( L) 
0
S ( )
Геометрическое определение
вероятности
Если предположить, что попадание в
любую точку области  равновозможно,
то вероятность попадания случайной
точки в заданное множество А будет
равна отношению площадей:
S ( A)
P( A) 
S ( )
Если А имеет нулевую площадь, то
вероятность попадания в А равна нулю.
Пример 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают»
точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки
до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?
Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от
ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.
Площадь закрашенной части квадрата
16см2 – 4см2 = 12см2.
Значит, P( A)  12  3  0,75
16 4
Пример 3. На тетрадный лист в линейку
наудачу бросается монета. Какова вероятность
того, что монета пересекла две линии?
1
рубль
Число исходов зависит от размеров
монеты, расстояния между линиями.
Пример 4. В центре вертушки закреплена
стрелка, которая раскручивается и останавливается
в случайном положении. С какой вероятностью
стрелка вертушки остановится на зеленом секторе?
Для решения этой задачи можно вычислить
площадь зеленных секторов и разделить ее на
площадь всего2круга:
R
1
S ( A) 
; S ()  R ; P( A)   0,25
4
4
2
Задача №1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На
отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова
вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ; 2) АС;
3)МС; 4) МВ; 5) АВ?
А
М
С
В
Решение.
1) A={точка Х попадает на отрезок АМ}, АМ=2см, АВ=12см,
P( A) 
AM
2 1


AB 12 6
2) В ={точка Х попадает на отрезок АС}, АС=2см+4см=6см,
P( B) 
AC 6 1


AB 12 2
3) С ={точка Х попадает на отрезок МС}, МС=4см, АВ=12см,
P(C ) 
MC 4 1


AB 12 3
4) D={точка Х попадает на отрезок МВ}, МВ=12см–2см=10см,
P( D) 
MB 10 5


AB 12 6
5) Е={точка Х попадает на отрезок АВ},
P( A) 
AB
1
AB
Задача №2.
Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг
радиусом 2см. Случайным образом внутри
квадрата отмечается точка. Какова вероятность
того, что она попадет в выделенный круг?
А

Независимые события
• Если производится некоторое
количество испытаний, в результате
которых может произойти или не
произойти событие А, и вероятность
появления этого события в каждом из
испытаний не зависит от результатов
остальных испытаний, то такие
испытания называются независимыми
относительно события А.
Формула Бернулли
Чтобы найти вероятность того, что в
серии из n независимых испытаний
событие А произойдет k раз с
вероятностью р надо использовать
формулу
m m nm
n
PC p q
где q = 1 - p
Задача
• Вероятность попадания в цель при
одном выстреле равна 0,6. Какова
вероятность того, что 8 выстрелов
дадут 5 попаданий?
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5
попаданий?
• Решение:
n=8;
m=5;
p=0,6;
q=1-0,6=0,4.
Используя формулу, имеем
8!
5
3
P
 0, 6   0, 4   0, 28
5!8  5!
Задача
• По цели производится 5
выстрелов. Вероятность
попадания для каждого выстрела
равна 0,4. Найти вероятность
того, что в цель попали не менее
трех раз
По цели производится 5 выстрелов. Вероятность
попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти
вероятность того, что в цель попали не менее трех раз
• Вероятность не менее трех попаданий
складывается из вероятности пяти
попаданий, четырех попаданий и трех
попаданий.
• В случае пяти попаданий из пяти
возможных: P  C55  0, 45  0, 60  0, 01024
• Четыре попадания из пяти выстрелов:
P  C54  0, 44  0, 61  0, 0768
• Три попадания из пяти:P  C53  0, 43  0, 62  0, 2304
• Окончательно, получаем вероятность не
менее трех попаданий из пяти выстрелов
P  0, 01204  0, 0768  0, 2304  0,31744
•
•
•
•
•
•
Решаем задачи
№846
№847
№848
№849
№854