Эконометрика: идентификация, оценивание и анализ статических моделей Учебный курс

Учебный курс
Эконометрика:
идентификация, оценивание и
анализ статических моделей
Лекция 8
кандидат технических наук, доцент
Поляков Константин Львович
Нарушение предположения
о полноте ранга
2
Матрица “X” имеет полный ранг
Y=Xa+v, XMT,n,
rank{X}=n
Не существует линейной связи
между независимыми
переменными.
3
Как это проверить ?
4
rank{X}= rank{X’X}
D=X’XMn,n,
|D-lI|=0
Коэффициент
толерантности
Полная коллинеарность –
Мультиколлинеарность –
Рангматрица
равенrank{X}<n
количеству
ненулевых
‘D’ близка
к
i собственных
i
i
чисел
xi ,t вырожденной,
 d 0  d1 x1,t  ...у нее
di есть
1 xi 1,t 
маленькие
собственные
числа.
i
i
i
 di 1 xi 1,t  ...  d n xn,t  vt
Tli  1 
2
Ri
Tl  min Tli
i
5
Мультиколлинеарность
Переменные
с маленькими
приводит
к низкой
точности
значениями
коэффициента
МНК
оценивания.
толерантности
избыточны.
6
Гребневая регрессия
ridge regression
Для полной коллинеарности
В случае " d>0
мультиколлинеарности
lX’X+dI)=
lX’X)
Избыточные
0, $ l(X’X)0 переменные
l(X’X)+d) >0
гребневая
регрессия
удалять из
модели
уменьшает
дисперсии
1 МНК
нежелательно.
оценок
значений параметров
R
линейной регрессии.
aˆ   X X  dI  X Y
Линейная, НО смещенная оценка.
7
Плотность
.5
распределения
МНК
- оценки
.4
Плотность
распределения R оценки
.3
â R
.2
Смещение
.1
.0
-6
-4
-2
âМНК
0
2
4
a
6
8
10
12
*
8
Нарушение предположения
о гомоскедастичности и
отсутствии автокорреляции
9
Гомоскедастичность и
отсутствие автокорреляции
Y=Xa+v
Гомоскедастичность
2
"t=1,…T D[vt|X]=s
Отсутствие автокорреляции
"t,s=1,…T, ts,
сov[vt,vs|X]=0
10
Как это проверить ?
11
s
0 ... 0 


2
0 s 2 ... 0 
Гетероскедастичность
2

E vv ' 
s I
 ... это
... …
... ... 

2
0 ... s T 
 0
2
1
Дисперсии разные
12
Критерий Уайта
2
D[v
|X]=s
(X)
t
гомоскедастичность
H0:
H1: гетероскедастичность
13
e  Y  Yˆ  Y  Xaˆ мнк
n
H
 a0 0   ak xk ,t 
2
2k 1
2
et
TR




N

1
~
n
a
x
x

w
 kl k ,t l ,t t
k ,l 1
14
Насколько серьезны
последствия ?
15
Нарушаются
условия
МНК оценки параметров
линейной
регрессии
теоремы
Гаусса
- Маркова
больше не являются
наилучшими в своем классе
16
Неверная оценка дисперсии
случайной составляющей
e=MY=Mv
 
e’e=v’Mv
E[e’e|X]=tr{ME[vv’|X]}
2
2
E
s

s
Cov(v|X)=E[vv’|X]=W
E[e’e|X]=tr{M W}
2
s (T-n)
17
Искажение оценки
ковариационной матрицы
МНК - оценки
2
Cov(v|X)=E[vv’|X]=s I

Covaˆ | X   s  X ' X 
2
1
18
Стандартные ошибки
в форме Уайта
Cov(v|X)=E[vv’|X]=W
WM – неизвестная матрица,

TxT
размерность которой растет с
1
1
ростом
числа
наблюдений
‘T’.
ˆ
Cova | X    X ' X  X ' WX  X ' X 
T

1
1
1
2
'
Covaˆ | X   T  X ' X    et xt xt  X ' X 
 T t 1

19
Зависимость дисперсии
случайной составляющей
Будет ли
от независимой
переменной
выполняться
предположение
об экзогенности
?
~
vt  s  xt vt 
~
Evt | X   Es  xt vt | X  
 s  xt Evt | X   0
20
Зависимость дисперсии
случайной составляющей
от независимой переменной
16
12
YG
8
4
ygt=a0+a1xt+v
0
-4
-8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
X
21
Переменная
Оценка
Ст. ошибка
C
1.084224
0.321116
3.376421
0.0008
X
2.171267
0.273957
7.925564
0.0000
t-статистика p-уровень
Критерий Уайта
TR  47.49
2
p  уровень  0.05
22
12
15
10
8
5
4
RG
RG
0
0
-5
-4
-10
-15
-8
-20
-12
40
0.2
80
0.4
120
0.6
160
0.8
200
1.0
1.2
240
1.4
280
1.6
320
360
1.8
T
X
23
~
~
yt  yt xt , xt  1 xt
~
~
yt  a1  a0 xt  wt
8
6
4
RN
2
0
-2
-4
-6
-8
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
X1
24
Автокорреляция
случайной составляющей
covvt , vs 
v vt , vs  
Dvt Dvs 
k=|t-s| - лаг
25
Статистика Дарбина - Уотсона
(Darbin – Watson)
T
 e  e 
2
t
t 1
DWСтандартные

 2в1форме
  e 1
T
ошибки
2
Ньюи-Веста
 et
t 2
0
t 1
2
4
dU d L 4  dU 4  d L
26
Нарушение нормальной
гипотезы
27
Нормальная гипотеза
v|X~N(0, s2I)
vt – независимы
28
Как это проверить ?
29
Критерий Жака-Бера
(Jarque-Bera)
T  2 Kt  3
JB   Sq 
6
4
2
Коэффициент
Число
Коэффициент
степеней
асимметрии
эксцесса
свободы
H0
0, Kt  3 наблюдений)
 H 0 : Sq (количество


H1  H 0




JB ~  2 
2
30
Нормальная кривая
 ( x) 
1
Fn
x;0,1  ( Fn ( x; m,s ))  x  m s
Для выборки из
Эмпирическая функция
нормального
распределения
распределения
k x;T 
FT x  
T
Число элементов
выборки меньших ‘x’.
 ( FT ( x))   ( Fn ( x; m,s ))  x  x 
s
2
31
g  x    ( FT ( x))
y  x  x 
Асимметрия вправо
Положительный
эксцесс
s2
Асимметрия влево
Отрицательный
эксцесс
32