Методы вычисления случайных погрешностей физических

Методы вычисления случайных
погрешностей физических величин из
экспериментальных данных
Щелканов Николай Николаевич
г. Томск
1
Необходимость разработки новых методов
вычисления случайных погрешностей
1. Сравнение качества разных данных и приборов
2. Вычисление коэффициентов регрессии уравнения
(1) с учетом их случайных погрешностей
Y = K0 + K1 X
(1)
Формула Кендалла и Стьюарта
(разброс точек обусловлен только случайными погрешностями)

1
K1  Y 
X 2  XY

  
  
  Y  X  X  Y  
 X Y Y X 
2

 Y X X Y 


  4  2XY 



 X Y Y X 

(2)
Обобщенная формула
(разброс точек обусловлен как случайными погрешностями,
так и неконтролируемыми параметрами)
 B
1
K1  Y  
X A 2  XY
где
A  1   XY
2


 A B 

A B
         4  2XY 
 B A
 B A




1   2X  2X

1   2Y  2Y
B  1   XY
1   2Y  2Y

1   2X  2X
(3)
2
Классический метод вычисления
случайных погрешностей
Классическая формула для нахождения
случайной погрешности любого физического
параметра Y=Y(Zi) (i= 1, ..., k), где Zi –
измеряемые величины, записывается в виде
2
 Y( Zi )

Y   
Zi  .
i 1 Zi

n
(4)
Поскольку погрешности измеряемых величин
оцениваются не точно, то этот метод расчета
дает приближенные оценки случайной
погрешности.
3
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ПОГРЕШНОСТЕЙ НЕПОСРЕДСТВЕННО ИЗ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
В методах 1 - 3 используется известная формула
XY X Y =X0Y0 X0 Y0
(5)
МЕТОД №1
Если известна одна из погрешностей, например Y, а разброс
точек в искомой зависимости обусловлен только случайными
погрешностями (X0Y0=1), то значение другой погрешности
будут вычисляться по формуле
2

X  X  1  2XY  2 Y 2
Y  Y
(6)
Если при этом одна из погрешностей (Y) равна нулю, то, как
следует из (7), значение другой погрешности будут вычисляться
по формуле
(7)
 X  X 
2
1  XY
4
Верхние оценки случайных среднеквадратических
погрешностей двух МИСПА из экспериментальных
данных
0,10
Y=0.0050+0.969*X
Y=СКОY=0.0072 км
X=(0.69) км (12 000 м)
0,08
-1
0,06
=0.944
0,04
0,04
0,08
X= 0.0018+0.921*Y
-1
X=СКОX=0.0070 км
Y=0
-1
X=0
-1
Y=(0.69) км (4 630 м)
0,10
0,06
0,08
-1
X=(0.69), км (12 000 м)
Рис. 1
0,10
0,06
0,04
0,04
0,06
0,08
0,10
-1
Y=(0.69), км (4 630 м)
Рис. 2
5
• МЕТОД №2
Выберем величины X и Y, незначительно
отличающиеся друг от друга. Полагая, что разброс
точек в корреляционной связи величин X и Y
обусловлен только случайными погрешностями и
X = Y получим приближенные оценки для X и Y
 2X   2Y
 2X   2Y 2
X  Y 
 (
)   2XY   2X   2Y (8)
2
2
Если в (9) будут выполнено условие X = Y, то
получается простая формула для вычисления
случайной погрешности
 X   Y   X  1   XY
(9)
6
0,10
0,08
X=-0.002+0.975*X
X=0.0051 км
-1
-1
X=(0.69), км (12 000 м)
Приближенная оценка случайной
среднеквадратической погрешности двух МИСПА
из экспериментальных данных
0,06
Y=0.0051 км
0,04
0,04
0,06
-1
0,08
-1
0,10
Y=(0.69), км (4 630 м)
Рис. 3
7
МЕТОД №3
0,10
Пусть имеются две величины X и Y, которые теоретически связаны
функциональной зависимостью, а практически между двумя
массивами имеется регрессионная связь
Вычисляются величины σX, σY, ρXY
Задается одна из погрешностей
2

1


X = [0 - X
XY ]
(10)
и вычисляется другая погрешность
X
0,08
2

Y  Y  1  2XY  2 X 2
X  X
0,06
0,04
0,04
0,06
0,08
Y
Рис.4.
0,10
(11)
Находится коэффициент К1 регрессии
линейного уравнения по ф.(12)
 B
1
K1  Y  
X A 2  XY
2


 A B 
A B
2  (12)
         4  XY 
 B A
 B A




Когда К1 становится равным теоретическому значению,
находят погрешности X и Y
8
0,10
0,08
X=-0.003+1.000*Y
-1
X=0.0037 км
-1
X=(0.69), км (12 000 м)
Высокоточные оценки случайных
среднеквадратических погрешностей двух МИСПА
из экспериментальных данных
0,06
Y=0.0062 км
0,04
0,04
0,06
-1
0,08
-1
0,10
Y=(0.69), км (4 630 м)
Рис. 5
9
0,10
Y=0.0050+0.969*X
Y=СКОY=0.0072 км
X=(0.69) км (12 000 м)
0,08
-1
0,08
X= 0.0018+0.921*Y
-1
X=СКОX=0.0070 км
Y=0
-1
X=0
-1
Y=(0.69) км (4 630 м)
0,10
0,06
=0.944
0,04
0,04
0,06
0,08
0,06
0,04
0,04
0,10
Y=0.0051 км
0,04
0,06
0,10
0,08
X=-0.003+1.000*Y
-1
X=0.0037 км
-1
0,06
0,04
X=(0.69), км (12 000 м)
-1
-1
X=(0.69), км (12 000 м)
X=-0.002+0.975*X
X=0.0051 км
0,10
Y=(0.69), км (4 630 м)
-1
0,08
0,08
-1
X=(0.69), км (12 000 м)
0,10
0,06
-1
0,08
0,10
Y=(0.69), км (4 630 м)
-1
Рис. 6
0,06
Y=0.0062 км
0,04
0,04
0,06
-1
0,08
0,10
Y=(0.69), км (4 630 м)10
-1
0,008
-1
, км
0,007
4 630 м
0,006
0,005
0,004
0,003
12 000 м
0,002
-1
, км
0,001
0,04
0,06
0,08
0,10
Рис. 7
11
Оценки случайных среднеквадратических
погрешностей двух солнечных фотометров:
CE-318 и SP-4 Сакерин С.М., Кабанов Д.М.,
τ0.50 (СЕ 318 )
τ0.50 (SP-4)
Рис. 8 Сравнение АОТ атмосферы на
длине волны 0.50 мкм, измеренной двумя
фотометрами - СЕ 318 и SP-4.
Панченко М.В., Полькин В.В.,
Холбен Б.Н., Смирнов А.В.,
Береснев С.А., Горда С.Ю.,
Корниенко Г.И., Николашкин
С.В., Поддубный В.А.,
Тащилин М.А. Результаты
мониторинга атмосферного
аэрозоля в азиатской части
России по программе
AEROSIBNET в 2004 г. //
Оптика атмосферы и океана.
2005. Т. 18. № 11. С. 968-975.
(Суммарная погрешность
определения АОТ у каждого
прибора оценивается авторами
как 0,01-0,02)
12
Случайные погрешности аэрозольной оптической толщи
атмосферы, полученные фотометром SP-4 (ИОА СО РАН) в 1.5-2.5
раза меньше, чем СЕ 318 (NASA).
Случайная среднеквадратическая
погрешность АОТ
CE-318 (NASA)
0,015
0,010
SP-4 (ИОА СО РАН)
0,005
0,000
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
, мкм
Рис. 9 Случайные среднеквадратические
погрешности АОТ двух фотометров – СЕ 318 и SP-4.
13
Заключение
• Впервые предложен высокоточный
метод вычисления случайных
погрешностей любых физических
величин непосредственно из
экспериментальных данных.
• Метод позволяет оценить качество
разных массивов данных и
приборов.
14