СЕЧЕНИЙ, ПРИМЫКАЮЩИХ К УЗЛАМ, и распределения бимоментов в тонкостенной стержневой системе

«Компьютерное моделирование конструкций и сооружений»
Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ
СЕЧЕНИЙ,
ПРИМЫКАЮЩИХ К УЗЛАМ,
и распределения бимоментов
в тонкостенной стержневой системе
Численные исследования с
использованием комплекса SCAD++
Перельмутер А. В., Юрченко В. В.
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Цель работы




В последнее время повысился
интерес к расчету
пространственных конструкций,
состоящих из тонкостенных
стержней
Предпринималось немало
попыток построения достаточно
универсального алгоритма для
расчета произвольных
тонкостенных стержневых систем
При этом в качестве основной
проблемы рассматривали
формулировку краевых условий
на концах тонкостенного стержня
В большинстве работ исходили из того, что на конце стержня депланация либо
полностью отсутствует (абсолютно жесткий узел), либо не встречает никаких
препятствий (шарнир относительно депланации)
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
2/17
О РАСЧЕТЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
из тонкостенных стержней открытого профиля
Цель работы



Многие авторы полагают, что при
расчете конструкции, составленной из
тонкостенных стержней, достаточно
использовать семь неизвестных в
узле. Это было бы возможно, если
существует некоторая скалярная
величина, которую можно
интерпретировать как «депланацию
узла» (седьмое неизвестное).
Имеются конструкции, где такой подход
себя оправдывает, как например, в
балочном ростверке, рассмотренном
Горбуновым и Стрельбицкой
Но в общем случае указанная гипотеза
не верна, что и будет
продемонстрировано далее
Здесь депланация узла равна углу
поворота верхней фасонки
относительно нижней
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
3/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Методика исследований

Следуя основным гипотезам теории Власова о поведении
тонкостенных стержней открытого профиля выразим продольные
перемещения каждой i-й точки поперечного сечения таких
стержней с помощью уравнения:
ui    yi  zi  i

 x
 x,  x
ы   x 
ы y  s  , z  s 
i
i
ы   s 
i

в





(1)
продольное перемещение
центра тяжести сечения
поперечные перемещения
полюса
угол поворота сечения вокруг
полюса
глобальные координаты i-ой
точки
секториальная координата i-ой
точки
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
4/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Методика проверки



Рассматриваются конечноэлементные модели стержневых
конструкций, построенные с
использованием плоских конечных
элементов
Конечно-элементные модели
нагружены внешним крутящим
моментом и имеють произвольные
условия опирания
Для построенных конечноэлементных моделей стержневых
конструкций определяются:
продольные перемещения
точек сечений стержней,
примыкающих к расчетной
модели узла, а также
 продольные напряжения
этих же точках сечения.

Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
в
5/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Методика проверки
Гипотеза плоских
сечений
Сопоставление результатов численного
расчета с теоретическими
значениями продольных
перемещений и напряжений дает
возможность оценить величину
депланации сечения и бимомента
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
6/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Методика проверки
Отклонения результатов численного расчета от уравнения
Власова (1) для некоторой і-й точки сечения запишется как:

eiu    yi   zi  i  uˆ i

Используя идеологию метода наименьших квадратов, приходим
к необходимости минимизировать следующий функционал:
n
Ε       yi   zi  i  uˆ i   min
2
u
i 1

При этом на основе необходимых условий минимума:
 Ε u
Ε u
 0,
 0,

    
     

u
u

Ε

Ε

 0,
 0.
     
 

Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
7/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Методика проверки

Получаем систему линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных уравнения продольных перемещений
точек тонкостенного сечения:
n
n
n
n
n

2
   yi     yi zi   yi i   yi   yi uˆ i  0,
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
n
n
n

2
  zi yi     zi    zi i    zi   zi uˆ i  0,

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
n
n
n
   y     z     2      uˆ  0,




i i
i i
i
i
i i
 
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
n
n
  y    z     n  uˆ  0.




i
i
i
i

i 1
i 1
i 1
i 1


Составляя и решая такую систему для каждого из сечений
тонкостенного стержня, примыкающих к узлу, можно вычислить и
сравнить значения депланаций в этих сечениях, что дает
возможность проверить гипотезу об их совпадении.
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
8/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Методика проверки

Совершенно аналогично выполняется проверка статических условий
в узле. При этом сравниваются значения напряжений в точках сечений
оболочечной конечно-элементной модели с теоретическими значениями
напряжений, вычисленными по формуле, учитывающей влияние
бимомента :
M
N My
B
i 

z i  z yi 
i
A
Iy
Iz
I

Отклонения результатов численного расчета от уравнения (2) для
некоторой і-й точки сечения запишется как:
ˆi 
ei   i  

(2)
M
N My
B
ˆi

zi  z yi 
i  
A
Iy
Iz
I
Используя идеологию метода наименьших квадратов, приходим
к необходимости минимизировать функционал:
2
 N My

Mz
B

ˆ i   min
Ε  

zi 
yi 
i  


Iy
Iz
I
i 1  A

n
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
9/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Методика проверки

На основе необходимых условий минимума запишем систему
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
уравнения продольных напряжений (2) в рассматриваемых точках
тонкостенного сечения:
n
My n
 N Mz n
B n
n A  I  yi  I  zi  I   i  ˆ i  0,
i 1
z i 1
y i 1
 i 1

n
N n
My n
Mz n
B n
2
  yi 
 yi    yi zi   yii   yiˆ i  0,

I z i 1
I y i 1
I i 1
 A i 1
i 1

n
n
My n
Mz n
B n
2
N
zi 
z i yi 
zi    zi i   ziˆ i  0,




 A i 1
I z i 1
I y i 1
I i 1
i 1

n
My n
N n
Mz n
B n
2
 i yi 
 i zi    i     iˆ i  0,


 i 
I z i 1
I y i 1
I i 1
i 1
 A i 1
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
10/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Численный эксперимент 1
Характеристика
Ригель 1
Ригель 2
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-5 мм-1
-11,0397
+ 11,16
+ 9,6751
Сравнивая результаты
численного расчета для
трех сечений,
примыкающих к узлу,
видим, что депланации
практически совпадают
только для сечений
ригелей, примыкающих к
узлу (они расположены в
одной горизонтальной
плоскости), и резко
отличаются от
депланации сечения
стойки, примыкающего к
узлу.
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
11/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Численный эксперимент 2
Изменение конструкции узла
заметно меняет распределение
депланаций и бимоментов.
Характеристика
Ригель
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-3 мм-1
+ 0,00512
+ 0,0006
Бимомент В, Нм2
– 52,0886
+7,781292
Характеристика
Ригель
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-3 мм-1
+ 0,00541333
+ 0,00010667
Бимомент В, Нм2
– 52,9171
– 10,5611
Характеристика
Ригель
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-3 мм-1
+ 0,00362667
– 0,00198
Бимомент В, Нм2
+118,1281
– 60,2334
Характеристика
Ригель
Стойка
Депланация
θ'(х), ×10-3 мм-1
+ 0,0020933
– 0,00044
Бимомент В, Нм2
+246,8
–50,0292
Во всех случаях депланации и
бимоменты в ригеле и стойке различны
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
12/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Численный эксперимент 3
Значения депланаций сечений ригеля и стойки, ×10-2 м-1
Конструктивное
решение узла
Узел 1
Узел 2
Узел 3
Узел 1
Приложение внешнего крутящего момента
Элемент
рамы
На конце ригеля
В середине ригеля
В середине стойки
Ригель
1,6428
0,844576
1,78992
Стойка
1,1995
0,60955
2,4204
Ригель
1,61008
0,805494
–2,0744
Стойка
–1,3974
–0,6968
2,40584
Ригель
1,38199
0,696314
–1,8117
Стойка
–1,2153
–0,60951
2,10829
Узел 2
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
Узел 3
13/17
ОЦЕНКА ДЕПЛАНАЦИЙ СЕЧЕНИЙ В УЗЛАХ
и распределения бимоментов в тонкостенных стержневых системах
Численный эксперимент 4
Результаты численных расчетов на конечно-элементных моделях показали, что
предположение о существовании «депланации узла» часто не подтверждается
даже в тех случаях, когда рассматриваются плоские, но пространственно
нагруженные стержневые системы.
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
14/17
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
тонкостенных стержневых систем
Метод решения*
* S. Koczubiej. Modelowanie skończenie elementowe rzeczywistych warunkow
brzegowych w ramach cienkościennych. Zeszyty naukowe Politechniki Śląskiej, 1799,
Budownictwo, 113, s. 115–124, 2008.
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
15/17
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
тонкостенных стержневых систем
Метод решения*
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Узлы оболочечной
модели со своими
степенями свободы
Контактные узлы с
трансляционными
степенями свободы
Узлы стыковки с
семью степенями
свободы
* S. Koczubiej. Modelowanie skończenie elementowe rzeczywistych warunkow
brzegowych w ramach cienkościennych. Zeszyty naukowe Politechniki Śląskiej, 1799,
Budownictwo, 113, s. 115–124, 2008.
Компьютерное моделирование конструкций и сооружений, Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
16/17
«Компьютерное моделирование конструкций и сооружений»
Киев, КНУСА, 22-23 октября 2015
Спасибо за внимание
ПЕРЕЛЬМУТЕР А. В., д.т.н., иностранный член РААСН
НПО SCAD Soft, Киев
ЮРЧЕНКО В. В., к.т.н.
Киевский национальный университет строительства и архитектуры
Кафедра металлических и деревянных конструкций