Математическая модель источника тока

Математическая модель источника тока.
Рис.1. Источник тока.
Оценим влияние разброса резисторов R1-R4 для этого построим математическую модель
без учета Uсм и Iвх.
Запишем исходные соотношения для схемы приведенной на рис1
I1  I 2 I 3  I 4
I1 
Uc  U 1
R1
Iz 
U 0  Uout
Rz
In  Iz
I2 
U1  U 2 Uout  U 3
U1  U 0
R2
In 
I3 
U 2
R3
I4 
U 2 U3
R4
Uout
 Uout  Iz  Rn
Rn
R2
 R2 
I 1  I 2  U 0  1 
Uc
 U1 
R1 
R1

 R3 
I 3  I 4  U 2  U 3

 R3  R 4 
Исходя из условия, что U1  U 2 U 3  Uout найдем Iz
Iz 
U 0  Uout
 Iz 
Rz

 R3R 2  R 4 R1 
R2

Uc  Uout
R1
 ( R3  R 4) R1 
Rz
Выходной ток зависит от выходного напряжения, значит, источник тока не идеален.
Оценим неидеальность источника тока, для этого найдем дифференциальное выходное
сопротивление

Iz 
 R3R 2  R 4 R1 
R2

Uc  Uout
R1
 ( R3  R 4) R1   Uout  Iz  Rz  R 2  Uc
Rz
 R3R 2  R 4 R1 


 ( R3  R 4) R1 
Отсюда, дифференциальное выходное сопротивление будет равно
dUout
Rz

dIz
 R3R 2  R 4 R1 


 ( R3  R 4) R1 
 R3R 2  R 4 R1 

Примем величину, вызванную разбросом примененных резисторов за K  
 ( R3  R 4) R1 
Отсюда
dUout Rz

А Iz  
dIz
K

R2
Uc  Uout  K
R1
Rz
Поскольку при построении схемы источника тока используются одинаковые резисторы,
то R1, R2, R3, R4 можно представить в виде R1= R(1+  1), R2= R(1+  2), R3= R(1+  3),
R4 = R(1+  4). Поскольку величины  много меньше 1, а величина  2 много меньше
 величиной  2 можно пренебречь и допустить, что R(1+  х)+R(1+  y)=2R.
K
( 2   3   1   4)
( R(1   3)  R(1   2)  R(1   4)  R(1   1))
K
2
R(1   1)( R(1   2)  R(1   4))
dUout
2  Rz

dIz
( 2   3   1   4))
Выходной ток зависит от выходного напряжения, значит от сопротивления нагрузки.
Найдем зависимость тока от сопротивления нагрузки.
Uout  Iz  Rn
Iz  

R2
Uc  Uout  K
R2
R1
 Iz  Rz  
Uc  Uout  K
Rz
R1
Следовательно Iz  
или IzREAL  
Uc
Rz  Rn  K
Uc
Uc
1
где Iz0  
ток идеального источника тока

Rz
Rz 1  Rn  K
Rz
Построим ависимость отличия выходного тока идеального источника от реального в
зависимости от соотношения сопротивления нагрузки Rn к задающему сопротивлению Rz
по формуле I 


Iz
 Iz0
IzREAL  Iz0
или? I  REAL
 100 %
Iz0
Iz0


I1( Rn) 0.2
I2( Rn)
I3( Rn) 0.1
0
0.01
0.1
1
10
Rn
Rz
Рис.2. Относительная зависимость выходного тока от соотношения сопротивления
нагрузки Rn к задающему сопротивлению Rz в зависимости от точности резисторов R1—
R4, где I1 для случая резисторов с точностью 1%, I2 для точности 0.1%, I3 для точности
0.01%.
Теперь оценим влияние входных токов и напряжений смешения, а также конечность
коэффициента усиления. Для этого построим математическую модель c учетом Uсм и Iвх.
Рис.3. Источник тока с учетом Uсм и Iвх.
Где: In1, In2, Ip1, Ip2, - входные токи операционных усилителей (отрицательные и
положительные соответственно); Us1, Us2- напряжения смещения операционных
усилителей;
Исходные соотношения
U 2'  U 2  Usm1
I1  I 2  In1
I 3  I 4  Ip1
I1 
Uc  U 1
U1  U 0
 U 2'
(U 2  Us1)
I2 
I3 

R1
R2
R3
R3
Iz 
U 0  Uout
Rz
In 
Uout
Rn
I4 
U 2'U 3 U 2  Us1  U 3

R4
R4
U 0  (U 2  U 1)  A1  U 2  U 1 
 A2 
U 3  (U 4  U 3)  A2  U 3  U 4

 A2  1 
 A2 
U 4  Uout  Us 2 Значит U 3  Uout  Us 2 

 A2  1 
R2
 R1  R 2 
I1  I 2  In1  U 0  
Uc  R 2 In1
U 1 
R1
 R1 
I 3  I 4  Ip1  U 2 
In  Iz  Ip2
R3  U 3  R3R 4 Ip1
 Us1
( R 4  R3)
U0
A1
из условий
R3  U 3  R3R 4 Ip1
R2
U0
 R1  R 2 
U0  
Uc  R 2 In1 , U 1  U 2 
 Us1
иU 2 
U 1 
A1
R1
( R 4  R3)
 R1 
Получаем

 R2
R1  A1

  R1  R 2  R3  U 3  R3R 4 Ip1
U0  
 Us1 
Uc  R 2 In1
 

( R 4  R3)
 R1  A1  R1  R 2   R1 
 R1

поскольку U 3  Uout  Us 2 
Iz 
 A2 
U 3  Uout  Us 2

 A2  1 
U 0  Uout

Rz




 A2 
 A2 


 R3  Uout 

  R3  Us 2
  R3R 4 Ip1
R
1

A
1
R
1

R
2
R
2
A
2

1
A
2

1

 






 Us1 
Uc  R 2 In1  Uout

 

 R1
( R 4  R3)
 R1  A1  R1  R 2   R1 








Rz
R2
R1  A1


Uc  

R1
R1  A1  R1  R 2 

Iz 

Rz



 A2 

 R3  Us 2  

  R3R 4 Ip1
R1  A1
A2  1 


 R1  R 2 

 Us1 

 R 2 In1  


R
1

A
1

R
1

R
2
R
1
(
R
4

R
3
)










Rz
  A2   R1  A1  R1  R 2  
R1  A1
R3

  R1  R 2 
  
Uout  
 


 
R1  A1
 R1  A1  R1  R 2   R1  ( R 4  R3)   A2  1  


Rz

Выходной ток и для этого случая зависит от выходного сопротивления, значит, источник
тока не идеален.
Оценим неидеальность источника тока, для этого найдем дифференциальное выходное
сопротивление
Uout 
Iz  Rz
R1  A1
R3

  R1  R 2 
 A2    R1  A1  R1  R 2  


 

   

R1  A1
 R1  A1  R1  R 2   R1  ( R 4  R3)  A2  1   





 A2 

 R3  Us2  

  R3R 4 Ip1
R2
R1  A1
R1  A1
A2  1 

 

 R1  R 2 

Uc  
 Us1 

 R 2 In1  


R1
R
1

A
1

R
1

R
2
R
1

A
1

R
1

R
2
R
1
(
R
4

R
3
)

 





 





R1  A1
R3

  R1  R 2 
 A2    R1  A1  R1  R 2  


 

   

R1  A1
 R1  A1  R1  R 2   R1  ( R 4  R3)  A2  1   

Значит, дифференциальное выходное сопротивление будет равно
dUout
Rz


dIz
R1  A1
R3

  R1  R 2 
 A2    R1  A1  R1  R 2  


 

   

R1  A1
 R1  A1  R1  R 2   R1  ( R 4  R3)  A2  1   

Примем величину, вызванную разбросом примененных резисторов и неидеальностью
операционных
усилителей
за
R1  A1
R3

  R1  R 2 
 A2    R1  A1  R1  R 2  
K1  

 

   

R1  A1
 R1  A1  R1  R 2   R1  ( R 4  R3)  A2  1   

Соответственно для этого случая
dUout Rz
а ток для этого случая

dIz
K1
R2
R1  A1


Uc  

R1
R1  A1  R1  R 2  Uout  K1

Iz 


Rz
Rz



 A2 

 R3  Us 2  

  R3R 4 Ip1
R1  A1
A2  1 


 R1  R 2 

 Us1 

 R 2 In1  


( R 4  R3)
 R1  A1  R1  R 2 
 R1 






Rz

Поскольку при построении схемы источника тока используются одинаковые резисторы,
то R1, R2, R3, R4 можно представить в виде R1= R(1+  1), R2= R(1+  2), R3= R(1+  3),
R4 = R(1+  4). Поскольку величины  много меньше 1, а величина  2 много меньше
 величиной  2 можно пренебречь и допустить, что R(1+  х)+R(1+  y)=2R.
K1 
 2   3   1   4  A1  A2  4  A2  2   1   3   4  A1  4
2   A1  2   A2  1
Тогда
dUout Rz
2  Rz   A1  2   A2  1


dIz
K1  2   3   1   4  A1  A2  4  A2  2   1   3   4   A1  4
Можно заметить, что в случае идеальности операционных усилителей, а именно при
A1   и A2   K1  K 
( 2   3   1   4)
dUout
2  Rz

и
2
dIz
( 3   2   4   1))
Ток проходящий через нагрузку In  Iz  Ip2
Выходной ток зависит от выходного напряжения, значит от сопротивления нагрузки.
Найдем зависимость тока от сопротивления нагрузки.
Uout  In  Rn  Iz  Ip2  Rn
R2
R1  A1


Uc  

R1
 R1  A1  R1  R 2   Ip2  Rn  K1 
Iz 
Rz  Rn  K1
Rz  Rn  K1



 A2 

 R3  Us 2  

  R3R 4 Ip1
R1  A1
A2  1 


 R1  R 2 

 Us1 

 R 2 In1  


( R 4  R3)
 R1  A1  R1  R 2 
 R1 







Rz  Rn  K1

Поскольку при построении схемы источника тока используются одинаковые резисторы,
то R1, R2, R3, R4 можно представить в виде R1= R(1+  1), R2= R(1+  2), R3= R(1+  3),
R4 = R(1+  4). Поскольку величины  много меньше 1, а величина  2 много меньше
 величиной  2 можно пренебречь и допустить, что R(1+  х)+R(1+  y)=2R.
 A1   A1  R  In1  Us 2   A2   R  Ip1  2  Us1
 Uc  



 
 Ip2  Rn  K1
A1  2   A1  2 
 A2  1 


Iz 

Rz  Rn  K1
Rz  Rn  K1
Rz  Rn  K1
Теперь оценим влияние шумов, при этом входные токи, напряжения смешения, а также
конечность
коэффициента
усиления
учитывать
не
буем.
Для
этого
построим
математическую модель c учетом Uсм и Iвх.
Рис.1. Эквивалентная шумовая схема источника тока.
R1, R2, R3, R4 равны между собой и равны R.
Ri сопротивление источника сигнала (он являются источником шума, который
рассчитывается по формуле Найкеста: e  4  K  T  Re[ Z ] , е- спектральная плотность
2
шума).
UnRi- генератор шума, причиной возникновения которого является сопротивление Ri.
UnR1, UnR2, UnR3, UnR4 , UnRz, UnRn – генераторы шума, обусловленного
сопротивлениями R1, R2, R3, R4, Rz, Rn соответственно.
Un1, Un2- генераторы шума, приведенные ко входу.
Inn1, Inn2, Inp1, Inp2, - токи шума, приведенные ко входу (к отрицательному и к
положительному соответственно).
U 2'  U 2  Un1
I1  I 2  Inn1
I 3  I 4  Inp1
Iz  In  Inp2
Uc  UnRi  UnR1  U 1
U 1  UnR 2  U 0
I1 
I2 
R1
R2
UnR3  U 2'
(U 2  Un1  UnR3)
U 2'UnR 4  U 3 U 2  Un1  UnR 4  U 3
I3 

I4 

R3
R3
R4
R4
U 0  UnRz  Uout
Uout  UnRn
Iz 
In 
Rz
Rn
U 2  U1 U 3  U 4
U 4  Uout  Un 2 Значит U 3  Uout  Un2
Поскольку R1, R2, R3, R4 равны между собой и равны R. И URнапряжения шума
равны….
Uc  UnRi  UnR1  U 1 U 1  UnR2  U 0

 Inn1 
R1
R2
Uc  UnRi  UnR  U 1 U 1  UnR  U 0

 Inn1 
R
R
Uc  UnRi  2UnR  U 0  2U 1
  Inn1
R
U 0  Inn1 R  2U1  Uc  UnRi  2UnR
(U 2  Us1  UnR3) U 2  Us1  UnR4  U 3
I 3  I 4  Inp1  

 Inp1
R3
R4
(U 2  Us1  UnR3) U 2  Us1  UnR4  U 3


 Inp1
R
R
 2U 2  2Un1  2UnR  U 3
 Inp1 2U 2  2Un1  2UnR  U 3  R  Inp1
R
U 3  R  Inp1  Un1  UnR
U2 
2

U 3  R  Inp1
U2 
 Un1  UnR
2
из условий
U 3  R  Inp1  Un1  UnR
U 0  Inn1  R  2U1  Uc  UnRi  2UnR U 2 
2
Получаем
 U 3  R  Inp1

U 0  Inn1  R  2  
 Un1  UnR   Uc  UnRi  2UnR 
2


U 0  Inn1  R  U 3  R  Inp1  2  Un1  2  UnR  Uc  UnRi  2UnR 
U 0  U 3  Uc  R  Inn1  R  Inp1  2  Un1  4  UnR  UnRi
I1  I 2  Inn1
  R1  R 2  U 0  R 2
 R1  R 2  R3  U 3  R3R 4 Ip1
U0  
 Us1  
Uc  R 2 In1 



( R 4  R3)
 R1 
  R1  A1  R1
Iz:
Iz 
U 3  Uout  Un 2 
U 0  UnRz  Uout
Rz
In 
Uout  UnRn
Rn
Iz 
U 0  UnRz  Uout

Rz
U 3  Uc  R  Inn1  R  Inp1  2  Un1  4  UnR  UnRi  UnRz  Uout

Rz
Uout  Un 2  Uc  R  Inn1  R  Inp1  2  Un1  4  UnR  UnRi  UnRz  Uout
Rz



 A2 

 R3  Us 2

  R3R 4 Ip1
R1  A1
A
2

1

 R 2
 R1  R 2 


Uc  R 2 In1  
 Us1 

 


( R 4  R3)
 R1  A1  R1  R 2  R1
 R1 


 




Rz



 A2  


 R3  

R1  A1

  R1  R 2 
 A2  1     R1  A1  R1  R 2  
Uout  
 



R1  A1
 R1  A1  R1  R 2   R1  ( R 4  R3)  









Rz