Действительные числа. Приближенные вычисления

Действительные числа. Приближенные вычисления. Приближенное значение
величины и погрешности приближений
1. Введение.
2. Действительные числа.
3. Приближённые вычисления и вычислительные средства
1. Введение
Курс математики рассчитан на три семестра, что составляет 117 часов. Итогом первого и
третьего семестров является контрольная работа, рассчитанная на два часа. Итогом второго семестра,
является комплексный экзамен по дисциплинам «Математика» и «Информатика».
2. Действительные числа
Понятие натуральных чисел
Понятия «число» и «операция» не так просты, как это может показаться с первого взгляда.
Почему, пользуясь одними и теми же числами, мы можем считать камушки и звезды? Это позволяет
нам думать, что, сколько бы ни было объектов, мы всегда сможем их пересчитать, и операции
сложения, умножения будут также применимы к ним. Подобные вопросы ставились и древними
греками, и в наше время.
В этом курсе мы будем исходить из того, что умение считать и различать разные количества
предметов – врожденные способности человека. Возьмем в руки камушки, как это делали
пифагорейцы, будем прибавлять их по одному, называть последовательно каждое количество своим
именем и таким «наглядным» способом определим сразу два основных для алгебры понятия – число
и операцию увеличения на единицу. Повторяя эту процедуру и предполагая, что ничто не мешает
нам делать это бесконечно, мы сможем определить сложение и умножение на бесконечном
множестве натуральных чисел.
Натуральными называются числа, которые используются для счёта предметов или
обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …
При сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число.
Целые числа
Теперь, когда у нас уже определены натуральные числа и число 0, мы можем расширить
числовое множество так, чтобы операция вычитания была
определена на всем множестве.
Рассмотрим координатную прямую x (рис.1). Заметим, что
единичный отрезок можно откладывать на этой прямой не
только вправо от точки O, обозначая тем самым
натуральные числа, но и влево. Рассмотрим, например,
точку A, как было сказано выше, отвечающую числу 5.
Рис.1
Построим теперь точку A', симметричную точке
A
относительно точки O. Координатой точки A считается число 5, а координату точки A' записывают
так: –5 и читают «минус пять». По определению, координатой точки O считается число 0 (нуль).
Числа 5 и –5 называют числами противоположными. Аналогично, любому натуральному числу
соответствует противоположное.
Множество всех чисел, противоположных натуральным, называется множеством целых
отрицательных чисел. Сами натуральные числа при этом называют целыми положительными
числами. Множество целых отрицательных чисел, множество целых положительных чисел и число
нуль вместе называются множеством целых чисел.
4. Рациональные числа
Обыкновенные дроби
Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над
натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби. Обыкновенной
m
, где m и n – натуральные числа. Число m называется числителем
n
m
этой дроби, а число n – её знаменателем. Если n = 1, то дробь имеет вид 1 и её часто записывают
просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде
a
c
обыкновенной дроби со знаменателем 1. Две дроби b и d называются равными, если ad = cb
Десятичные дроби
Дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и вообще 10n, может быть записана в виде
десятичной дроби.
Числа, которые не являются рациональными, то есть не являются ни целыми, ни представимыми в
m
виде дроби вида n , где m – целое число, а n – натуральное, называются иррациональными.
Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и
любая непериодическая дробь является иррациональным числом.
Изученные множества чисел обозначаются следующим образом:
N– множество натуральных чисел;
Z0– множество неотрицательных целых чисел
(расширенный ряд натуральных чисел);
Z
N
Q
Z– множество целых чисел;
Q– множество рациональных чисел;
I– множество иррациональных чисел;
R– Множество действительных чисел.
R
NZQR
дробью называется число вида
I
Действительные числа
Множество всех бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел и
обозначается R . Как следует из предыдущего, множество Q всех рациональных чисел является
подмножеством множества R.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.
Множество целых чисел Z содержится во множестве рациональных чисел Q которое, в свою очередь,
является частью всего множества действительных чисел R. Эти отношения можно записать кратко в
виде Z  Q, Q  R.
1.
Приближённые вычисления и вычислительные средства
Округление чисел
В практической деятельности человека бывают числа двух видов: точные и приближённые.
Часто знание лишь о приближённом числе достаточно для понимания сути дела. Иногда
употребляют приближённые числа, так как точное не требуется, а иногда точное число невозможно
найти в принципе.
Пример 1.
У треугольника 3 стороны. Число 3 – точное.
Пример 2.
Сколько студентов в вашем техникуме? Вряд ли кто-нибудь, кроме директора, ответит точно на этот
вопрос. Студент же посчитает так: 20 групп примерно по 25 человек, получится примерно 500. Если
спрашивающего устраивает такая точность, можно считать, что мы получили хорошее приближение.
В приближённых вычислениях часто приходится округлять как точные, так и приближённые
числа. Под округлением понимают отбрасывание одной или нескольких последних цифр в
десятичном представлении числа. При округлении соблюдают следующие правила.
Правило 1.
Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из сохраняющихся цифр увеличивается
на 1. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней следуют одна или несколько значащих
цифр, то последняя из сохраняющихся цифр также увеличивается на 1.
Пример 3.
Округлить число 74,28 до десятых.
Решение
При округлении числа 74,28 до десятых следует написать 74,3. Действительно, за цифрой 2,
обозначающей разряд десятых следует цифра 8, которая больше 5. Следовательно, цифру 2 нужно
увеличить на 1. Получается, как и было сказано, 74,3.
Ответ. 74,3.
Пример 4.
Округлить число 74,253 до десятых.
Решение
При округлении числа 74,253 до десятых также следует написать 74,3. Действительно, за цифрой 2,
обозначающей разряд десятых, следует цифра 5, причём за этой цифрой есть ещё одна значащая
цифра. Следовательно, цифру 2 нужно увеличить на 1. Получается, как и было сказано 74,3.
Ответ. 74,3.
Правило 2.
Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых цифр остаётся
неизменной.
Пример 5.
Округлить число 74,24 до десятых.
Решение
При округлении числа 74,24 до десятых следует написать 74,2. Действительно, за цифрой 2,
обозначающей разряд десятых, следует цифра 4, которая меньше 5. Следовательно, цифру 2 нужно
оставить без изменения. Получается, как и было сказано, 74,2.
Ответ. 74,2.
Правило 3.
Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет и никогда не было, значащих цифр, то последняя из
сохраняемых цифр остаётся неизменной, если она чётная, и увеличивается на 1, если она нечётная.
Пример 6.
Округлить до десятых число 74,25.
Решение
Так как отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, причём сохраняемая цифра 2 – чётная,
то её нужно оставить без изменений. Окончательно: 74,2.
Ответ. 74,2.
Пример 7.
Округлить до десятых число 74,35.
Решение
Так как отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, причём сохраняемая цифра 3 – нечётная,
то её нужно увеличить на единицу (до чётного числа). Окончательно: 74,4.
Ответ. 74,4.
Замечание. Во многих практических задачах пользуются упрощёнными правилами округления,
согласно которым цифра, если за ней стоят цифры 0, 1, 2, 3, 4, при округлении не изменяется и
увеличивается на 1 в противоположном случае. Это правило немного отлично от строгого правила,
приведённого в нашем курсе. Будьте внимательны при решении задач – следует пользоваться
строгими правилами округления.
Действия на МК с учетом правила округления числа (простейшие вычисления)
Комбинированные действия на МК.
(
2
,
7

3
,
6
)

(
4
,
1

5
,
87
)

(
6
,
12

3
,
7
)

152
1)
,
2

5
,
8

5
,
1
:
3
,
78

12
,
7

2
,
3

71
,
9
2) 17
Можно использовать скобки.
5,132,784
3)
8.39 – 2.492 = X  M
8,392,492=1.342 ;
13
,
6

0
,
4

0
,
264

29
,
4

3
,
07

1
,
56
4)
=32.0
0
,
266
Формулы сокращенного умножения
;
(а + в)2 = а2 + 2 а в + в2
(а - в)2 = а2 - 2 а в + в2
(а2 - в2) = (а + в) (а - в)
(а3 - в3 ) = (а - в) (а2 + а в + в2 )
(а3 + в3) = (а + в) (а2 - а в + в2 )
(а + в)3 = а3 + 3 а2 в + 3 а в2 + в3
5.13 + 2.784 =  MR
2
Выполнить
(а - в)3 = а3 - 3действия
а2в + 3 а в(самостоятельно)
- в3
(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2 а в + 2 а с +2 в с
2
1. ( 4а + 3с )
2. ( х3 - 2у + 3ху )2
3. ( 2х - 3у2 - х3у )2
2
2
2
2
4. ( х - 3у ) ( х + 3у )
5. ( х + 2у ) (х - 2ху + 4у )
Вычислите:
(
7

6
,
35
)
:6
,
5

9
,
9
5 169
а) (
(20)
1
,
2
:36

1
,
2
:0
,
25

1)
:
16
24
7
47
6
17
19
)
:
1
,
25

(

)
:
(
0
,
358

0
,
108
))
*
1
,
6
(1)
б) (( 
9
72
7
28
25
17
18
812
16

13
)
*
2
,
2
(
)
 (2)
в) (
29
33
33
11
11
7 4 3
(0
,5:1
,25
 :1  )*3
5 7 11
г)
(32)
1
1
(1
,5 ):18
4
3
1
(
2
,7

0
,8
)*
2
1
3

0
,
125
):2 
0
,43 (0,5)
д) (
3
2
(
5
,2

1
,4
):
70
Домашнее задание.
Вычислить:
4 26
8 :2
5
1
2
,2:3 ) 7 77 
1) (26 :6,4)*(19
(10)
2
9
18
3
0
,5:18*11
3
3
3 1
1
520
*
0
,
43
)
:
0
,
26

217
*
2
)

(
31
,
5
:
12

114
*
2

61
)
2) ((
(3)
7
5 3
2
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
Всякая ли обыкновенная дробь - число рациональное?
Может ли быть рациональное число отрицательным?
Почему бесконечную периодическую десятичную дробь считают рациональным числом?
Назовите числа рациональные, иррациональные
5. 2,75354276;
5, 3 (71);
6. 15,171 171 171 …;
4, 36 (5);
7
4
;
9
∏;
7. 0, 36 78 ..;
1,276 ..;
8. Какие числа, кроме рациональных и иррациональных являются действительными?
9. Можно ли утверждать, что квадратный корень из любого натурального числа есть число
иррациональное?